2.2.1向量加法及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1 .理解向量加法的概念，理解向量加法的幾何意義和運(yùn)算律2 .掌握向量加法的規(guī)律，能很好地進(jìn)行向量加法3 .能區(qū)點(diǎn)數(shù)的加算和向量的加算的聯(lián)系和不同1 .通過向量加法三角定律和平行四邊形定律的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)2 .通過向量加算法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1 .向量加法的定義定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法對(duì)于零矢量和任意矢量a，都規(guī)定為0 a=a 0=a .2 .向量加法定律三角法若知道零以外矢量a、b，取平面內(nèi)的任意點(diǎn)a，設(shè)=a、=b，則矢量被稱為a與b之和，a b即a b=。平行四邊形定律已知兩個(gè)不共享線矢量a、b在設(shè)=a、=b、相鄰邊為abcd時(shí)，對(duì)角線上的矢量=a、b .想一想：兩個(gè)向量之和是兩個(gè)向量之和嗎？提示：否，向量加法滿足三角定律，模型加法是數(shù)量加法3 .向量加法的算術(shù)律(1)交換律： a b=b a(2)結(jié)合法律： (a b) c=a (b c )1 .以下各式不一定成立的是()a.a b=b ab.0 a=ac.=d.|a b|=|a| |b|d a、b、c項(xiàng)滿足運(yùn)算律，但d項(xiàng)矢量和的類型不一定與矢量類型的和相等，滿足三角形法則2.222222220000航空653a.b .c. dc222222220000000000003 .如圖所示，在平行四邊形abcd中，=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _根據(jù)平行四邊形法則=.4 .小船以10 km/h的速度向與對(duì)岸垂直的方向行駛，同時(shí)河流的流速為10 km/h，小船的實(shí)際航行速度大小為_km/h20 根據(jù)平行四邊形法則，由于水流的方向與船速的方向垂直，因此船的實(shí)際速度大小為=20(km/h矢量加法的三角形定律和平行四邊形定律探索問題求兩個(gè)矢量和的法則是什么？這些法則的物理模型是什么提示： (1)平行四邊形定律，對(duì)應(yīng)的物理模型是力的合成等(2)三角形法則、對(duì)應(yīng)的物理模型是位移的合成等。2 .設(shè)a 1、a2、a3、an(nn且n3 )為平面內(nèi)的點(diǎn)，通常，的運(yùn)算結(jié)果是什么？提示：如果我們推廣三角形定律，=圖1】 (1)如圖所示，在abc中，d、e分別是ab、ac上的點(diǎn)，f是線段de的延長線上的點(diǎn)，若用debc、abcf將cd連接起來(在橫線上僅寫入一個(gè)向量)。=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)如圖甲所示，求出矢量和a b如圖b所示，求出矢量和a b c。甲乙想法要點(diǎn)： (1)首先從平行四邊形的性質(zhì)得到相關(guān)的相等矢量，置換，用三角形法則簡化(2)用三角形法則或平行四邊形法則描繪(1) 如問題圖所示，已知四邊形dfcb為平行四邊形，由矢量加法的算法可知：是=。=。2222222222222222埃及6(2)解首先設(shè)向量=a，其次設(shè)向量=b，則向量=a b。法律1 (三角形法則):如圖所示，首先取平面內(nèi)任意點(diǎn)o，取向量=a，接著取向量=b，取向量=a b，接著取向量=c，則求出向量=(a b) c=a b c .法二(平行四邊形法則):如圖所示，首先將平面內(nèi)的任意的點(diǎn)o設(shè)為矢量=a、=b、=c，將oa、ob作為鄰接邊來連接oadb、od時(shí)，如果將=a b.od、oc作為鄰接邊來連接odec、oe，則求出=a b c .1 .在本例(1)條件下求出.因?yàn)榻鈈cdf，bdcf，所以四邊形bcfd為平行四邊形=2 .在本例(1)曲線圖中，求出矢量.解過去a的agdf交叉cf的延長線在點(diǎn)g=、=、和連接=2222222222222222卡卡6531 .向量加法的注意事項(xiàng)(1)三角形法則也適用于兩個(gè)矢量位于同一直線上的情況.(2)兩個(gè)向量的和向量仍然是一個(gè)向量(3)平行四邊形的法則不適用于2個(gè)向量在同一直線上的情況2 .在利用三角形定律的情況下，注意兩個(gè)向量“首尾順序地連接”，其和向量為利用“起點(diǎn)和終點(diǎn)”的向量即平行四邊形的定律，關(guān)注兩個(gè)向量“共起點(diǎn)”，其和向量為共起點(diǎn)的“對(duì)角線”向量注意： (1)2個(gè)向量不在同一線上時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的(2)用三角形法則制作的圖形是用平行四邊形法則制作的圖形的一半矢量加算法的應(yīng)用【例2】 (1)簡化：；2222222222222222個(gè)卡6532222222222埃及6(2)圖、e、f、g、h分別是梯形abcd邊ab、bc、cd、da的中點(diǎn)，如下簡化222222222氣動(dòng)氣體65322222000000000000000000653想法要點(diǎn)：根據(jù)向量加法的交換規(guī)則順利連接各向量，利用向量的結(jié)合規(guī)則調(diào)整向量順序進(jìn)行加法運(yùn)算解 (1)=；2222222200000埃及62222222222222氣動(dòng)氣體653(2)22222222222000000065222222222222222222222222222矢量加算法的意義及應(yīng)用原則(1)含義：向量加算的算術(shù)律為向量加算提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)了恰當(dāng)利用向量加算法則運(yùn)算的目的實(shí)際上，由于矢量相加滿足交換規(guī)則和結(jié)合規(guī)則，因此多個(gè)矢量的相加能夠以任意的順序、任意的組合進(jìn)行.(二)應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法，在向量加法的交換律中，將各向量設(shè)為“首尾相連”，在向量加法的結(jié)合律中調(diào)整向量加法的順序跟進(jìn)培訓(xùn)1 .向量() () 簡化后等于()a. b. c. dd 表達(dá)式=()=0=矢量加法的實(shí)用化如圖所示，用兩根繩索將重量為10 n的物體w吊在水平棒ab上，設(shè)873acw=150、873bcw=120，求出a和b受到的力的大小(忽略繩索的重量).改變想法：如解圖所示，分別表示a、b所受到的力，當(dāng)表示10 n的重力時(shí)=易得ecg=180-150=30fcg=180-120=60|=|cos 30=10=5|=|cos 60=10=5。a受力的大小為5 n，b受力的大小為5 n利用向量相加解決實(shí)際問題的三個(gè)步驟跟進(jìn)培訓(xùn)2 .在某處抗震救災(zāi)中，飛機(jī)從a地向北偏東35方向飛行800 km，在b地接收傷員，然后從b地向南偏東55方向飛行800 km，飛往c地醫(yī)院，求出該飛機(jī)飛行路程和2次位移之和。解是指飛機(jī)從a地向北偏東35方向飛行800 km，從b地向南偏東55的方向飛行800 km時(shí)，飛機(jī)飛行的路程為|的意思兩次飛行的位移之和是=.題意：| |=800 800=1 600(km )另外，=35、=55、873、abc=35、55=90因此|=800(km )這里bac=45，因此方向?yàn)楸逼珫|35 45=80因此，飛機(jī)飛行的路程為1 600 km，兩次飛行的位移和大小為800 km，方向?yàn)楸逼珫|801 .三角形法則和平行四邊形法則是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的，兩個(gè)向量一致的情況下，總是在選擇三角形法則的兩個(gè)向量共有起點(diǎn)時(shí)，經(jīng)常選擇平行四邊形法則2 .由于向量的相加滿足交換規(guī)則，所以在進(jìn)行多個(gè)向量的相加時(shí)，能夠以任意的順序與任意的組合來進(jìn)行3 .使用向量加法的三角形法則時(shí)要特別注意“首尾相接”。 和向量的特征為從最初向量的起點(diǎn)朝向第2個(gè)向量的終點(diǎn)。 矢量相加的結(jié)果是矢量，結(jié)果是零矢量的話必須寫成0，不應(yīng)該寫成0。1 .下一個(gè)判斷正確的是()a .任意兩個(gè)向量之和仍然是一個(gè)向量b .兩個(gè)向量的相加實(shí)際上是兩個(gè)向量的模相加c .任意2個(gè)向量的和向量不能與這2個(gè)向量共線d.|a| |b|a b|a 任意兩個(gè)向量的和仍為一個(gè)向量，從向量相加的幾何意義知道b、c、d錯(cuò)誤2 .對(duì)于任何四邊形abcd，下列方程式不能簡化為()a. b .c.22222220000000000006c 在a中，=； 在b中，=； 在c中，=； 在d中，=.3 .如果a為向東8公里，b為向北8公里，則|a b|=_，