第八節(jié) 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40,燈塔B在觀察站C的南偏東60,則燈塔A在燈塔B的( ) A.北偏東10B.北偏西10 C.南偏東10D.南偏西10 答案:B 解析:如圖所示,由已知-40-60=80, 又AC=BC, ,60-50=10. 燈塔A位于燈塔B的北偏西10. 2.海上有三個(gè)小島,其中兩個(gè)小島A,B相距10海里,從A島望B島和C島成60視角,從B島望C島和A島成75視角,則B,C間距離是( ) A.5海里B.海里 C.10海里D.海 答案:B 解析:180-60-75=45, 根據(jù)正弦定理. 3.如圖,在ABC中,若A=120,AB=5,BC=7,則 . 答案: 解析:在ABC中,由余弦定理得cos120, 即 解之得AC=3. sin. 4.設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且acosB=3,bsinA=4. (1)求邊長(zhǎng)a; (2)若ABC的面積S=10,求ABC的周長(zhǎng)l. 解:(1)由acosB=3與bsinA=4兩式相除,則 cotB, 又通過(guò)acosB=3,知cosB0, 則cossin則a=5. (2)由sinB,得到c=5. 由cos 解得. 最后. 課后作業(yè)題組一 三角形綜合應(yīng)用問(wèn)題 1.(2020上海高考,理6)在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若,則A、C兩點(diǎn)之間的距離為 千米. 答案: 解析:如圖所示,在ABC中, -(75+60)=45. 根據(jù)正弦定理,得千米). 2.從A處望B處的仰角為從B處望A處的俯角為則、的關(guān)系為( ) A.B. C.D. 答案:B 解析:根據(jù)仰角和俯角的定義可知. 3.在一幢20 m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0,塔基的俯角為45,那么這座塔吊的高是 ( ) A. mB. m C. mD. m 答案:B 4.某人向正東方向走x km后,他向右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km,那么x的值為( ) A.B. C.或D.3 答案:C 5.一船向正北方向航行,看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線(xiàn)上,繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60,另一燈塔在船的南偏西75,則這只船的速度是每小時(shí)( ) A.5海里B.海里 C.10海里D.海里 答案:C 解析:如圖,依題意有,所以,從而CD=CA=10. 在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是這只船的速度是海里/小時(shí)). 6.有一長(zhǎng)為1千米的斜坡,它的傾斜角為20,現(xiàn)要將傾斜角改為10,且坡高不變,則坡底要伸長(zhǎng) ( ) A.1千米B.sin10千米 C.cos10千米D.cos20千米 答案:A 7.在200 m高的山頂上,測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60,則塔高為 m. 答案: 解析:如圖所示,設(shè)塔高為h m.由題意及圖可知, tan60 解得 m. 8.在ABC中,若則A= . 答案:60 解析:cos A=60. 9.在ABC中cos則 . 答案: 解析:在ABC中,cos sinsin. 10.(2020湖南高考,理17)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足csin A=acos C. (1)求角C的大小; (2)求sin A-cos的最大值,并求取得最大值時(shí)角A,B的大小. 解:(1)由正弦定理得sin Csin A=sin A cos C. 因?yàn)?A0,從而sin C=cos C. 又cos所以tan C=1.則. (2)由(1)知于是 sin A-cossin A-cos(-A) sin A+cos A =2sin . .從而當(dāng)即時(shí),2sin取最大值2. 綜上所述sin A-cos的最大值為2,此時(shí). 11.如圖,一架直升飛機(jī)的航線(xiàn)和山頂在同一個(gè)鉛直平面內(nèi),已知飛機(jī)的高度為海拔10千米,速度為180千米/小時(shí),飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0,經(jīng)過(guò)2分鐘后又看到山頂?shù)母┙菫?5,求山頂?shù)暮０胃叨? 解:在ABP中-30=45. 根據(jù)正弦定理, . sin75sin(45+30. 所以,山頂P的海拔高度為千米). 12.在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距離1)n mile的B處有一艘走私船,在A處北偏西75的方向,距離A 2n mile的C處的緝私船奉命以n mile/h的速度追截走私船,此時(shí),走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄,問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船? 解:設(shè)緝私船用t h在D處追上走