12.3離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差最新考綱考情考向分析1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，認(rèn)識(shí)分布列刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，會(huì)求某些取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列2.了解超幾何分布，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用3.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單問題.以理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念為主，經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體，結(jié)合頻率與概率，考查離散型隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量分布列的求法在高考中以解答題的形式進(jìn)行考查，難度多為中檔.1離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量(2)一般地，若離散型隨機(jī)變量x可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，x取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率p(xxi)pi，則稱表xx1x2xixnpp1p2pipn為離散型隨機(jī)變量x的概率分布列，簡(jiǎn)稱為x的分布列，具有如下性質(zhì)：pi0，i1,2，n；i1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和2兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量x的分布列為x01p1pp其中0p1，則稱離散型隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布其中pp(x1)稱為成功概率3離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量x的分布列為xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值稱e(x)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量x的均值或數(shù)學(xué)期望它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差稱d(x)(xie(x)2pi為隨機(jī)變量x的方差，它刻畫了隨機(jī)變量x與其均值e(x)的平均偏離程度，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差4均值與方差的性質(zhì)(1)e(axb)ae(x)b.(2)d(axb)a2d(x)(a，b為常數(shù))5超幾何分布一般地，在含有m件次品的n件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有x件次品，則p(xk) (k0,1,2，m)，即x01mp其中mminm，n，且nn，mn，n，m，nn*.如果一個(gè)隨機(jī)變量x的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量x服從超幾何分布題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)離散型隨機(jī)變量的概率分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象()(2)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.()(3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定()(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小()題組二教材改編2設(shè)隨機(jī)變量x的分布列如下：x12345pp則p為()a.b.c.d.答案c解析由分布列的性質(zhì)知，p1，p1.3已知x的分布列為x101p設(shè)y2x3，則e(y)的值為()a.b4c1d1答案a解析e(x)，e(y)e(2x3)2e(x)33.4有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)x的所有可能取值是_答案0,1,2,3解析因?yàn)榇纹饭灿?件，所以在取到合格品之前取出的次品數(shù)x的可能取值為0,1,2,3.題組三易錯(cuò)自糾5袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()a至少取到1個(gè)白球b至多取到1個(gè)白球c取到白球的個(gè)數(shù)d取到的球的個(gè)數(shù)答案c解析選項(xiàng)a，b表述的都是隨機(jī)事件；選項(xiàng)d是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)c是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.6一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的、3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)x是一個(gè)隨機(jī)變量，則p(x4)的值為_答案解析由題意知取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球、1個(gè)新球，故p(x4).分布列的求法例1甲同學(xué)參加化學(xué)競(jìng)賽初賽，考試分為筆試、口試、實(shí)驗(yàn)三個(gè)項(xiàng)目，各單項(xiàng)通過考試的概率依次為，.記甲同學(xué)三個(gè)項(xiàng)目中通過考試的個(gè)數(shù)為x，求隨機(jī)變量x的分布列解隨機(jī)變量x的所有可能取值為0,1,2,3.p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3).隨機(jī)變量x的分布列為x0123p思維升華求離散型隨機(jī)變量x的分布列的步驟(1)理解x的意義，寫出x的所有可能取值(2)求x取每個(gè)值的概率(3)寫出x的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)跟蹤訓(xùn)練1在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某10張劵中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒有獎(jiǎng)某顧客從此10張獎(jiǎng)券中任抽2張，求：(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率；(2)該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值x元的分布列解(1)該顧客中獎(jiǎng)，說明是從有獎(jiǎng)的4張獎(jiǎng)券中抽到了1張或2張，由于是等可能地抽取，所以該顧客中獎(jiǎng)的概率p.(2)依題意可知，x的所有可能取值為0,10,20,50,60，且p(x0)，p(x10)，p(x20)，p(x50)，p(x60).所以x的分布列為x010205060p均值與方差例2某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和.針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為x1萬(wàn)元，則x1的分布列為x1300150pe(x1)300(150)200.若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為x2萬(wàn)元，則x2的分布列為x25003000pe(x2)500(300)0200.d(x1)(300200)2(150200)235000，d(x2)(500200)2(300200)2(0200)2140000.e(x1)e(x2)，d(x1)0，所以a1，所以e(x)01.故選c.3設(shè)隨機(jī)變量x的分布列為x1234pm則p(|x3|1)等于()a.b.c.d.答案b解析根據(jù)分布列的性質(zhì)得出m1，則m，隨機(jī)變量x的分布列為x1234p所以p(|x3|1)p(x4)p(x2).4隨機(jī)變量x的分布列為x124p0.40.30.3則e(5x4)等于()a15b11c2.2d2.3答案a解析e(x)10.420.340.32.2，e(5x4)5e(x)411415.5若隨機(jī)變量x的分布列為x210123p0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)p(xa)0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a(，2 b1,2c(1,2 d(1,2)答案c解析由隨機(jī)變量x的分布列知，p(x1)0.1，p(x0)0.3，p(x1)0.5，p(x2)0.8，則當(dāng)p(x6)p(x7)p(x8).8隨機(jī)變量x的分布列為x01mpn且e(x)1.1，則d(x)_.答案0.49解析由n1，得n，e(x)1.1，01m1.1，得m2，d(x)(01.1)2(11.1)2(21.1)20.49.9若隨機(jī)變量的分布列為p(n)(n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則p的值為_答案解析p(n)(n1,2,3,4)，1，a.pp(1)p(2)a.10隨機(jī)變量x的分布列如下：x101pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則p(|x|1)_，公差d的取值范圍是_答案解析a，b，c成等差數(shù)列，2bac.又abc1，b，p(|x|1)ac.又ad，cd，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0d，0d，d.11(2019皖南八校模擬)小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友a(bǔ)，如果a猜中，a將獲得紅包里的所有金額；如果a未猜中，a將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友b，如果b猜中，a，b平分紅包里的金額；如果b未猜中，b將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友c，如果c猜中，a，b和c平分紅包里的金額；如果c未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)a，b，c猜中的概率分別為，且a，b，c是否猜中互不影響(1)求a恰好獲得4元的概率；(2)設(shè)a獲得的金額為x元，求x的分布列解(1)依題意，當(dāng)且僅當(dāng)c猜中時(shí)a恰好獲得4元，a恰好獲得4元的概率為.(2)x的所有可能取值為0,4,6,12，p(x0)，p(x4)，p(x6)，p(x12)，x的分布列為x04612p12為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽(1)設(shè)a為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件a發(fā)生的概率；(2)設(shè)x為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量x的分布列和均值解(1)由已知，有p(a).所以事件a發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量x的所有可能取值為1,2,3,4.p(xk)(k1,2,3,4)p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4).所以隨機(jī)變量x的分布列為x1234p均值e(x)1234.13如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為x，則x的均值e(x)等于()a.b.c.d.答案b解析由題意知x0,1,2,3，p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3)，e(x)0123.14(2020唐山模擬)某城市美團(tuán)外賣配送員底薪是每月1800元，設(shè)每月配送單數(shù)為x，若x1,300，每單提成3元，若x(300,600，每單提成4元，若x(600，)，每單提成4.5元，餓了么外賣配送員底薪是每月2100元，設(shè)每月配送單數(shù)為y，若y1,400，每單提成3元，若y(400，)，每單提成4元，小王想在美團(tuán)外賣和餓了么外賣之間選擇一份配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了美團(tuán)外賣配送員甲和餓了么外賣配送員乙在2019年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：美團(tuán)外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量x(單)131416171820天數(shù)2612622表2：餓了么外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量y(單)111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)美團(tuán)外賣配送員月工資為f(x)，餓了么外賣配送員月工資為g(y)，當(dāng)xy(300,600時(shí)，比較f(x)與g(y)的大小關(guān)系；(2)將4月份的日送餐量的頻率視為日送餐量的概率計(jì)算外賣配送員甲和乙每日送餐量的均值e(x)和e(y)；請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由解(1)因?yàn)閤y(300,600，所以g(x)g(y)，當(dāng)x(300,400時(shí)，f(x)g(x)(1 8004x)(2 1003x)x3000，當(dāng)x(400,600時(shí)，f(x)g(x)(1 8004x)(2 1004x)300g(y)，故x(400,600時(shí)，f(x)3 720元，故小王應(yīng)選擇做餓了么外賣配送員15(2019浙江)設(shè)0a1.隨機(jī)變量x的分布列是x0a1p則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，()ad(x)增大bd(x)減小cd(x)先增大后減小dd(x)先減小后增大答案d解析由題意可知，e(x)(a1)，所以d(x)，所以當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，d(x)先減小后增大16(2019全國(guó))為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為x.(1)求x的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i0,1，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中ap(x1)，bp(x0)，cp(x1)假設(shè)0.5，0.8.證明：pi1pi(i0,1,2，7)為等比數(shù)列；求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性(1)解x的所有可能取值為1,0,1.p(x1)(1)，p(x0)(1)(1)，p(x1)(1)所以x的分布列為x101p(1)(1)(1)(1)(2)證明由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5