2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題5分）1.已知全集 ，集合 ，則 （ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】直接利用補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】全集 ，集合 ，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)，則的值是（ ）a. -24b. -15c. -6d. 12【答案】c【解析】函數(shù)，故選c3.下列函數(shù)中，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式,即可直接判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【詳解】對(duì)于a, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以a錯(cuò)誤;對(duì)于b, 的對(duì)稱軸為,開口向上,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以b正確;對(duì)于c, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以c錯(cuò)誤;對(duì)于d, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以d錯(cuò)誤.綜上可知,正確為b故選:b【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性的判斷,根據(jù)解析式可直接判斷,屬于基礎(chǔ)題.4.已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】設(shè)冪函數(shù)，過點(diǎn)， ， ，故選b.5.已知，為兩條不同的直線，為三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】b【解析】【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,即可判斷出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)a,則與可以平行,可以相交,可以異面,故a錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)b,由線面垂直的性質(zhì)定理知,故b正確;對(duì)于選項(xiàng)c,可以平行,也可以在內(nèi),故c錯(cuò);對(duì)于選項(xiàng)d,與可以相交,d錯(cuò)綜上可知,b為正確選項(xiàng)故選:b【點(diǎn)睛】本題考查了空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定,尤其注意一些特殊位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.6.把正方形沿對(duì)角線折起,當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)三棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，棱錐的高最大，體積最大，解直角三角形可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，棱錐的高最大，由于底面積為定值，所以其體積最大，設(shè)是中點(diǎn)，連接，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，是直線和平面所成的角，因?yàn)椋?，故選b.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化以及直線與平面所成的角，屬于基礎(chǔ)題.7. 函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】分別畫出函數(shù)yln x(x0)和y|x2|(x0)的圖像，可得2個(gè)交點(diǎn)，故f(x)在定義域中零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.8.已知函數(shù)，且，則（ ）a. -8b. 3c. -3d. 2【答案】d【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式,可構(gòu)造函數(shù).利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求得解.【詳解】令,則,則有又所以為奇函數(shù),所以有所以故選:d【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)及簡單應(yīng)用,函數(shù)的求值,屬于基礎(chǔ)題.9.若函數(shù)且在上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則的圖象是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)題意先得到，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)且在上是奇函數(shù)，所以所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，它的圖象可以看作是由函數(shù)向左平移一個(gè)單位得到，故選d.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及函數(shù)圖象變換，熟記函數(shù)性質(zhì)即可，屬于常考題型.10.正三棱柱的三視圖如圖所示，該正三棱柱的表面積是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析】根據(jù)正三棱柱的三視圖，得出三棱柱的高已經(jīng)底面三角形的高，求出底面三角形的面積與側(cè)面積即可【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖得該幾何體是底面為正三角形，邊長為2，高為1的正三棱柱，所以該三棱柱的表面積為s側(cè)面積+s底面積=222+321=6+2故答案為d【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查三視圖還原幾何體原圖，考查幾何體表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2) 通過三視圖找?guī)缀误w原圖的方法有三種：直接法、拼湊法和模型法.11.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及在區(qū)間上單調(diào)遞增,結(jié)合不等式即可求得的取值范圍.【詳解】偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增則在區(qū)間上單調(diào)遞減若滿足則化簡可得解不等式可得,即故選:a【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)及簡單應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,屬于基礎(chǔ)題.12.已知正三棱柱的頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征,結(jié)合球的截面性質(zhì)求得球的半徑,即可得球的表面積.【詳解】根據(jù)對(duì)稱性,可得球心到正三棱柱的底面的距離為,球心在底面上的射影為底面的中心則由球的截面的性質(zhì)可得所以有所以球的表面積為故選:d【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱與外接球的關(guān)系,外接球表面積的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（每小題5分）13.已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的斜率為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式,可直接求解.【詳解】因?yàn)?則 故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的斜率公式,屬于基礎(chǔ)題.14.一條直線經(jīng)過點(diǎn)并且它的傾斜角等于直線的傾斜角的2倍，則這條直線的方程為_.【答案】【解析】【分析】先求得直線的傾斜角,即可由傾斜角的2倍求得該直線的斜率,進(jìn)而利用點(diǎn)斜式求得直線方程.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則所以 則該直線的傾斜角為斜率為由點(diǎn)斜式可得直線方程為 化簡可得故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了直線的斜率與傾斜角關(guān)系,點(diǎn)斜式求直線方程的方法,屬于基礎(chǔ)題.15.若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】（0，）（1，）【解析】【分析】對(duì)分類討論，再解不等式即得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為.當(dāng)時(shí)，不等式為.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）（1，）故答案為（0，）（1，）【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.16.如圖：點(diǎn)p在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：三棱錐的體積不變； 面；面面其中正確的命題的序號(hào)是_.【答案】. 【解析】對(duì)于，因?yàn)椋瑥亩矫?，故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，以為頂點(diǎn)，平面為底面，則三棱錐的體積不變，正確；對(duì)于，連接容易證明且相等，由于知：，平面平面，所以可得面，正確；對(duì)于，由于平面，若，則平面，則為中點(diǎn)，與動(dòng)點(diǎn)矛盾，錯(cuò)誤；對(duì)于，連接，由且，可得面，由面面垂直的判定知平面平面，正確，故答案為.三、解答題17.（1）已知，求邊的垂直平分線的方程.（2）求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距是互為相反數(shù)的直線的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）先求得中點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)垂直的斜率關(guān)系可求得直線的斜率,進(jìn)而利用點(diǎn)斜式求得直線方程,化簡為一般式即可.（2）討論截距是否為0:當(dāng)截距為0時(shí),可設(shè)正比例函數(shù),代入點(diǎn)求解;當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)截距式,代入點(diǎn)坐標(biāo)即可求得參數(shù),進(jìn)而得直線方程.【詳解】（1）因?yàn)?則中點(diǎn)坐標(biāo)為根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系可得所以由點(diǎn)斜式可得化簡得（2）當(dāng)截距為0時(shí),設(shè)直線方程為代入可得則此時(shí)當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)直線方程為 代入可得解得,即化簡可得綜上可知,直線方程為或【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)斜式方程的用法,截距相同時(shí),注意討論截距是否為0,屬于基礎(chǔ)題.18.（1）解方程：.（2）已知，且，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）將方程化簡后因式分解,即可解方程求解.（2）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化,可得,進(jìn)而利用換底公式即可求得的值.【詳解】（1）即所以則（舍）或（2）已知根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系可得,利用換底公式可得則,由題意即【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)方程的解法,指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化,對(duì)數(shù)的換底公式及求值應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19.如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面底面.（1）求證：平面.（2）求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì),由線面平行的判定即可證明平面.（2）根據(jù)矩形性質(zhì),易證平面,即可證明平面平面.【詳解】（1）四邊形是矩形平面,平面平面（2）四邊形是矩形又平面平面,平面平面平面平面平面平面【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行、平面與平面垂直的判定,依據(jù)條件找出直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系即可,屬于基礎(chǔ)題.20.某化工廠生產(chǎn)的一種溶液，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少（已知：，）（1）求雜質(zhì)含量與過濾次數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過01%問至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求？【答案】（1）；（2）至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求【解析】試題分析：（1）過濾一次時(shí)，；過濾兩次時(shí)，所以過濾x次時(shí)，（2）依據(jù)題意得到，然后解指數(shù)函數(shù)不等式，兩邊取對(duì)數(shù)即可試題解析：（1）（2） 設(shè)過濾次，則，即，又，即至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求考點(diǎn)：求函數(shù)解析式；解指數(shù)不等式，實(shí)為對(duì)數(shù)定義21.在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，.（1）求證：平面；（2）求四面體的體積.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意,結(jié)合勾股定理的逆定理,易證及,即可證明平面.（2）根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系,可先求得的面積,即可求得四面體的體積.【詳解】（1）證明：在中,因?yàn)?所以.又因?yàn)?所以平面（2）因?yàn)槠矫嫠砸驗(yàn)?所以平面在等腰梯形中,可得所以.所以的面積為所以四面體的體積為【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的判定,三棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.22.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍【答案】(1) (2) 減函數(shù)，證明見解析；(3) 【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)令，求解即可（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可（3）利用函數(shù)是奇函數(shù)以及函數(shù)單