2020屆高三數學章末綜合測試題（2）導數及其應用 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分1曲線yx3x在點處的切線與坐標軸圍成的三角面積為() A. B. C. D. 解析：yx21，當x1時，ky|x12， 切線方程為y2(x1)當x0時，y，當y0時，x. 三角形的面積S|. 答案：A2函數y4x2的單調增區(qū)間為()A(0，) B.C(，1) D.解析：由y4x2，得y8x. 令y0，即8x0，解得x， 函數y4x2在上遞增. 答案：B3若曲線f(x)xsinx1在x處的切線與直線ax2y10互相垂直，則實數a等于()A2 B1 C1 D2解析：據已知可得f(x)sinxxcosx，故f1.由兩直線的位置關系可得11，解得a2. 答案：D4設函數f(x)g(x)x2，曲線yg(x)在點(1，g(1)處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線的斜率為()A4 B C2 D解析：f(x)g(x)x2，f(x)g(x)2x，f(1)g(1)2224. 答案：A5已知f(x)x3ax在(，1上遞增，則a的取值范圍是()Aa3 Ba3 Ca3 Da3解析：由f(x)x3ax，得f(x)3x2a，由3x2a0對于一切x(，1恒成立，3x2a，a3.若a3，則f(x)0對于一切x(，1恒成立若a3，x(，1)時，f(x)0恒成立x1時，f(1)0，a3. 答案：D6設f(x)是一個三次函數，f(x)為其導函數，如圖所示的是yxf(x)的圖像的一部分，則f(x)的極大值與極小值分別是()Af(1)與f(1) Bf(1)與f(1)Cf(2)與f(2) Df(2)與f(2)解析：由yxf(x)的圖像知2是yf(x)的兩個零點，設f(x)a(x2)(x2)當x2時，xf(x)ax(x2)(x2)0，a0.由f(x)a(x2)(x2)知，f(2)是極大值，f(2)是極小值，故選D. 答案：D7若函數f(x)x3f(1)x2f(2)x3，則f(x)在點(0，f(0)處切線的傾斜角為()A. B. C. D.解析：由題意，得f(x)x2f(1)xf(2)，令x0，得f(0)f(2)，令x1，得f(1)1f(1)f(2)，f(2)1，f(0)1，即f(x)在點(0，f(0)處切線的斜率為1，傾斜角為. 答案：D8下圖所示為函數yf(x)，yg(x)的導函數的圖像，那么yf(x)，yg(x)的圖像可能是()解析：由yf(x)的圖像知，yf(x)在(0，)上單調遞減，說明函數yf(x)圖像上任意一點切線的斜率在(0，)也單調遞減，故可排除A，C.又由圖像知，yf(x)與yg(x)的圖像在xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖像在xx0處的切線斜率相同，故可排除B.故選D. 答案：D9若函數f(x)在R上滿足f(x)exx2xsinx，則曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程是()Ay2x1 By3x2Cyx1 Dy2x3解析：令x0，解得f(0)1.對f(x)求導，得f(x)ex2x1cosx，令x0，解得f(0)1，故切線方程為yx1. 答案：C10如圖，函數f(x)的導函數yf(x)的圖像，則下面判斷正確的是()A在(2,1)內f(x)是增函數B在(1,3)內f(x)是減函數C在(4,5)內f(x)是增函數D在x2時，f(x)取到極小值解析：在(2,1)上，導函數的符號有正有負，所以函數f(x)在這個區(qū)間上不是單調函數；同理，函數f(x)在(1,3)上也不是單調函數，在x2的左側，函數f(x)在上是增函數在x2的右側，函數f(x)在(2,4)上是減函數，所以在x2時，f(x)取到極大值；在(4,5)上導函數的符號為正，所以函數f(x)在這個區(qū)間上為增函數. 答案：C11已知函數f(x)x3px2qx的圖像與x軸相切于(1,0)點，則f(x)的極大值、極小值分別為()A.、0 B0、 C、0 D0、解析：f(x)3x22pxq，由f(1)0，f(1)0，得解得f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10，得x，或x1.從而求得當x時，f(x)取極大值；當x1時，f(x)取極小值0.故選A. 答案：A12如右圖，若函數yf(x)的圖像在點P處的切線方程為xy20，則f(1)f(1)()A1 B2C3 D4解析：由圖像知f(1)3，f(1)1，故f(1)f(1) 314. 答案：D第卷(非選擇共90分)二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分13設P為曲線C：yx2x1上一點，曲線C在點P處的切線的斜率的范圍是1,3，則點P縱坐標的取值范圍是_解析：設P(a，a2a1)，y|xa2a1，0a2.從而g(a)a2a12.當a時，g(a)min；a2時，g(a)max3. 故P點縱坐標范圍是.答案：14已知函數f(x)lnx2x，g(x)a(x2x)，若f(x)g(x)恒成立，則實數a的取值范圍是_解析：設F(x)f(x)g(x)，其定義域為(0，)，則F(x)22axa，x(0，)當a0時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調遞增，F(xiàn)(x)0不可能恒成立當a0時，令F(x)0，得x，或x(舍去)當0x時，F(xiàn)(x)0；當x時，F(xiàn)(x)0.故F(x)在(0，)上有最大值F，由題意F0恒成立，即ln10.令(a)ln1，則(a)在(0，)上單調遞減，且(1)0，故ln10成立的充要條件是a1.答案：1，)15設函數yax2bxk(k0)在x0處取得極值，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線x2y10，則ab的值為_解析：f(x)ax2bxk(k0)，f(x)2axb.又f(x)在x0處有極值，故f(0)0，從而b0.由曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線與直線x2y10垂直，可知該切線斜率為2，即f(1)2，2a2，得a1.ab101.答案：116已知函數f(x)的導函數的圖像如圖所示，則下列說法正確的是_(填寫正確命題的序號)函數f(x)在區(qū)間(3,1)內單調遞減；函數f(x)在區(qū)間(1,7)內單調遞減；當x3時，函數f(x)有極大值；當x7時，函數f(x)有極小值解析：由圖像可得，在區(qū)間(3,1)內f(x)的導函數數值大于零，所以f(x)單調遞增；在區(qū)間(1,7)內f(x)的導函數值小于零，所以f(x)單調遞減；在x3左右的導函數符號不變，所以x3不是函數的極大值點；在x7左右的導函數符號在由負到正，所以函數f(x)在x7處有極小值故正確答案：三、解答題：本大題共6小題，共70分17(10分)已知函數f(x)x3ax2bxa2(a，bR)(1)若函數f(x)在x1處有極值為10，求b的值；(2)若對任意a4，)，f(x)在x0,2上單調遞增，求b的最小值解析：(1)f(x)3x22axb，則或當時，f(x)3x28x11，641320，故函數有極值點；當時，f(x)3(x1)20，故函數無極值點；故b的值為11.(2)方法一：f(x)3x22axb0對任意的a4，)，x0,2都成立，則F(a)2xa3x2b0對任意的a4，)，x0,2都成立x0，F(xiàn)(a)在a4，)上單調遞增或為常數函數，得F(a)minF(4)8x3x2b0對任意的x0,2恒成立，即b(3x28x)max，又3x28x32，當x時，(3x28x)max，得b，故b的最小值為.方法二：f(x)3x22axb0對任意的a4，)，x0,2都成立，即b3x22ax對任意的a4，)，x0,2都成立，即b(3x22ax)max.令F(x)3x22ax32，當a0時，F(xiàn)(x)max0，于是b0；當4a0時，F(xiàn)(x)max，于是b.又max，b.綜上，b的最小值為.18(12分)已知函數f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)在(，)上是增函數，求b的取值范圍；(2)若f(x)在x1處取得極值，且x1,2時，f(x)c2恒成立，求c的取值范圍解析：(1)f(x)3x2xb，因f(x)在(，)上是增函數，則f(x)0，即3x2xb0，bx3x2在(，)恒成立設g(x)x3x2，當x時，g(x)max，b.(2)由題意，知f(1)0，即31b0，b2.x1,2時，f(x)c2恒成立，只需f(x)在1,2上的最大值小于c2即可因f(x)3x2x2，令f(x)0，得x1，或x.f(1)c，f()c，f(1)c，f(2)2c，f(x)maxf(2)2c，2cc2，解得c2，或c1，所以c的取值范圍為(，1)(2，)19(12分)已知函數f(x)(xR)(1)當m1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)當m0時，求函數f(x)的單調區(qū)間與極值解析：(1)當m1時，f(x)，f(2)，又因為f(x)，則f(2).所以曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(x2)，即6x25y320.(2)f(x).令f(x)0，得到x1，x2m.m0，m.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：xm(m，)f(x)00f(x)遞減極小值遞增極大值遞減從而f(x)在區(qū)間，(m，)內為減函數，在區(qū)間內為增函數，故函數f(x)在點x1處取得極小值f，且fm2，函數f(x)在點x2m處取得極大值f(m)，且f(m)1.20(12分)已知函數f(x)(a)x2lnx(aR)(1)當a1時，求f(x)在區(qū)間1，e上的最大值和最小值；(2)若在區(qū)間(1，)上，函數f(x)的圖像恒在直線y2ax下方，求a的取值范圍解析：(1)當a1時，f(x)x2lnx，f(x)x.對于x1，e有f(x)0，f(x)在區(qū)間1，e上為增函數，f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1).(2)令g(x)f(x)2ax(a)x22axlnx，則g(x)的定義域為(0，)在區(qū)間(1，)上，函數f(x)的圖像恒在直線y2ax下方等價于g(x)0在區(qū)間(1，)上恒成立g(x)(2a1)x2a，若a，令g(x)0，得極值點x11，x2，當x2x11，即a1時，在(x2，)上有g(x)0，此時g(x)在區(qū)間(x2，)上是增函數，并且在該區(qū)間上有g(x)(g(x2)，)，不符合題意；當x2x11，即a1時，同理可知，g(x)在區(qū)間(1，)上，有g(x)(g(1)，)，也不符合題意；若a，則有2a10，此時在區(qū)間(1，)上恒有g(x)0，從而g(x)在區(qū)間(1，)上是減函數要使g(x)0在此區(qū)間上恒成立，只需滿足g(1)a0a，由此求得a的取值范圍是.綜上可知，當a時，函數f(x)的圖像恒在直線y2ax下方21(12分)設函數f(x)lnx，g(x)ax，函數f(x)的圖像與x軸的交點也在函數g(x)的圖像上，且在此點有公共切線(1)求a，b的值；(2)對任意x0，試比較f(x)與g(x)的大小解析：(1)f(x)lnx的圖像與x軸的交點坐標是(1,0)，依題意，得g(1)ab0.又f(x)，g(x)a，且f(x)與g(x)在點(1,0)處有公共切線，g(1)f(1)1，即ab1.由得，a，b.(2)令F(x)f(x)g(x)，則F(x)lnxlnxx，F(xiàn)(x)20.F(x)在(0，)上為減函數當0x1時，F(xiàn)(x)F(1)0，即f(x)g(x)；當x1時，F(xiàn)(1)0，即f(x)g(x)；當x1時，F(xiàn)(x)F(1)0，即f(x)g(x)22(12分)設函數f(x)ax32bx2cx4d(a，b，c，dR)的圖像關于原點對稱，且x1時，f(x)取極小值.(1)求a，b，c，d的值；(2)當x1,1時，圖像上是否存在兩點，使得過兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論；(3)若x1，x21,1，求證：|f(x1)f(x2)|.解析：(1)函數f(x)的圖像關于原點對稱，對任意實數x有f(x)f(x)，ax32bx2cx4dax32bx2cx4d，即bx22d0恒成立，b0，d0，f(x)ax3cx，f(x)3ax2c，當x1時，f(x)取極小值，3ac0，且ac，解得a，c1.(2)當x1,1時，圖像上不存在這樣的兩點使結論成立假設圖像上存在兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得