解析函數(shù),第二章,2.1復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性,1.復(fù)變函數(shù)的概念,定義2.1設(shè)E為一復(fù)數(shù)集.若對E中的每一個復(fù)數(shù),按照某種法則f有確定的一個或幾個復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)（簡稱復(fù)變函數(shù)），記作.通常也稱w=f(z)為定義在E上的復(fù)變函數(shù)，其中E稱為定義域，E中所有的z對應(yīng)的一切w值構(gòu)成的集合稱為f(z)的值域，記作f(E)或G.,若z的一個值對應(yīng)著w的一個值，則稱復(fù)變函數(shù)f(z)是單值的；若z的一個值對應(yīng)著w的兩個或兩個以上的值，則稱復(fù)變函數(shù)f(z)是多值的.,復(fù)數(shù)z=x+iy與w=u+iv分別對應(yīng)實數(shù)對(x,y)和(u,v)，對于函數(shù)w=f(z)，u、v為x、y的二元實數(shù)函u(x,y)和v(x,y)，所以w=f(z)又常寫成w=u(x,y)+iv(x,y)。,函數(shù)w=z2+1.令z=x+iy，w=u+iv，那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,w=z2+1對應(yīng)于兩個實函數(shù)u=x2-y2+1和v=2xy.,對于復(fù)變函數(shù)w=f(z)即u+iv=f(x+iy)，可以理解為兩個復(fù)平面上的點集之間的映射，具體地說，復(fù)變函數(shù)w=f(z)給出了z平面上的點集E到w平面上的點集f(E)(或G)之間的一個對應(yīng)關(guān)系：其中w稱為z的像，z稱為w的原像.,例2.1函數(shù)將z平面上的直線x=1變成w平面上的何種曲線？,解：,z平面上的直線x=1對應(yīng)于w平面上的曲線,設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在E上，值域為G.若對于G中的任一點w,在E中存在一個或幾個點z與之對應(yīng)，則在G上確定了一個單值或多值函數(shù)，記作z=f-1(w)，它就稱為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù).,2.復(fù)變函數(shù)的極限,定義2.2設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域0|z-z0|r內(nèi)，若存在常數(shù)A，對于任意給定0的,都存在一正數(shù)(0r),使得當(dāng)0|z-z0|r時,有,則稱函數(shù)f(z)當(dāng)zz0時的極限存在，常數(shù)A為其極限值.記作或.,幾何意義,當(dāng)變點z進入z0的充分小的去心鄰域時，它的象點f(z)就落入A的一個預(yù)先給定的鄰域內(nèi).,定義中zz0的方式是任意的，也就是說，z在z0的去心鄰域內(nèi)沿任何曲線以任何方式趨于z0時，f(z)都要趨向于同一個常數(shù)A.,定理2.1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib，則,證明：先證必要性.,再證充分性.,當(dāng)時，有,因此,即,若兩個函數(shù)f(z)和g(z)在點z0處有極限，則其和、差、積、商(要求分母不為零)在點z0處的極限仍存在，并且極限值等于f(z)、g(z)在點z0處的極限值的和、差、積、商.,例2.2判斷下列函數(shù)在原點處的極限是否存在，若存在，試求出極限值：,解：(1)方法一,因為,所以，取，當(dāng)時，總有,根據(jù)極限定義,方法二,設(shè)z=x+iy,則,根據(jù)定理2.1，有,(2)方法一.,設(shè)z=x+iy,則,讓z沿直線y=kx趨向于0，有,方法二.,則,設(shè),3.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性,定義2.3若，則說函數(shù)f(z)在點z0處連續(xù).如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點都連續(xù)，那么稱函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).,定理2.3若f(z)、g(z)在點z0連續(xù)，則其和、差、積、商（要求分母不為零）在點z0處連續(xù).,(1)多項式在整個復(fù)平面上連續(xù)；(2)任何一個有理分式函數(shù)在復(fù)平面上除去使分母為零的點外處處連續(xù).,定理2.4若函數(shù)h=g(z)在點z0連續(xù)，函數(shù)=f(h)在h0=g(z0)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)=f(g(z)在z0處連續(xù).,定理2.5設(shè)函數(shù),則f(z)在點z0連續(xù)的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y)均在點(x0,y0)連續(xù).,例2.3討論函數(shù)argz的連續(xù)性.,解：當(dāng)z=0時,argz無定義，因而不連續(xù).,當(dāng)z0為負(fù)實軸上的點時，即z0=x00),只要y充分大，cosy就可以大于一個預(yù)先給定的正數(shù).,其它三角函數(shù)定義如下:,例2.14求函數(shù)cosz在z=1+i的值.,解：,三角函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)表示，由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以反三角函數(shù)作為三角函數(shù)的反函數(shù)可以用對數(shù)表示.,z=sinw,定義反正弦函數(shù)為,反余弦函數(shù),反余切函數(shù),反正切函數(shù),例2.15求函數(shù)Arcsinz在z=5的值.,解：,例2.16求函數(shù)Arctanz在z=2+3i的值.,解：,5.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),定義2.11規(guī)定并分別稱它們?yōu)殡p曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù).,性質(zhì),(1)周期性：shz和chz都是以2i為基本周期的周期函數(shù).,(2)奇偶性：shz為奇函數(shù)，chz為偶函數(shù).,(3)解析性：shz和chz在復(fù)平面上處處解析，且有(shz)=chz,(chz)