專題:三角形的五心三角形五心將在本節(jié)詳細(xì)介紹,其難度較大,望量力而行三角形中有許多重要的特殊點，特別是三角形的“五心”，在解題時有很多應(yīng)用，在本節(jié)中將分別給予介紹三角形的“五心”指的是三角形的外心，內(nèi)心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點,這點稱為三角形的外心(外接圓圓心)三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等 都等于三角形的外接圓半徑銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；直角三角形的外心在斜邊中點；鈍角三角形的外心在三角形外2、三角形的內(nèi)心三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點,這點稱為三角形的內(nèi)心(內(nèi)切圓圓心)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于三角形內(nèi)切圓半徑內(nèi)切圓半徑r的計算：設(shè)三角形面積為S，并記p=(a+b+c)，則r=特別的，在直角三角形中,有 r=(a+bc) 3、三角形的重心三角形的三條中線交于一點,這點稱為三角形的重心上面的證明中，我們也得到了以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點與到相應(yīng)頂點的距離之比為 1 24、三角形的垂心三角形的三條高交于一點,這點稱為三角形的垂心 斜三角形的三個頂點與垂心這四個點中，任何三個為頂點的三角形的垂心就是第四個點所以把這樣的四個點稱為一個“垂心組”5、三角形的旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個外角平分線交于一點,稱為三角形的旁心(旁切圓圓心)每個三角形都有三個旁切圓A類例題例1 證明重心定理。 證法1 如圖，D、E、F為三邊中點，設(shè)BE、CF交于G，連接EF，顯然EFBC，由三角形相似可得GB2GE，GC=2GF 又設(shè)AD、BE交于G，同理可證GB=2GE，GA=2GD，即G、G都是BE上從B到E的三分之二處的點，故G、G重合 即三條中線AD、BE、CF相交于一點G 證法2 設(shè)BE、CF交于G，BG、CG中點為H、I連EF、FH、HI、IE，因為EFBC，HIBC， 所以 EFHI為平行四邊形 所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF同證法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共點即定理證畢鏈接 證明外心、內(nèi)心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因為O到三頂點的距離相等，故點O是ABC外接圓的圓心因而稱為外心內(nèi)心定理的證明：如圖，設(shè)A、C的平分線相交于I、過I作IDBC，IEAC，IFAB，則有IE=IF=ID因此I也在C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點 上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學(xué)們自己完成 例2證明垂心定理分析 我們可以利用構(gòu)造外心來進(jìn)行證明。證明 如圖，AD、BE、CF為ABC三條高，過點A、B、C分別作對邊的平行線相交成ABC，顯然AD為BC的中垂線；同理BE、CF也分別為AC、AB的中垂線，由外心定理，它們交于一點，命題得證鏈接 （1）對于三線共點問題還可以利用Ceva定理進(jìn)行證明，同學(xué)們可以參考第十八講的內(nèi)容。（Ceva定理）設(shè)X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于一點的充要條件是=1（2）對于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n（3）邊形某頂點同除該點以外的n-1個頂點所決定的n-1邊形的重心的連線，為n邊形的中線，（當(dāng)n-1=2時，n-1邊形退化成一線段，此時重心即為線段的中心）那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線(若有重合，只算一條）相交于一點，各中線被該點分為：（n-1）1的兩條線段，這點叫n邊形的重心請同學(xué)們自己研究一下其他幾個“心”的推廣。情景再現(xiàn)1設(shè)G為ABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點，求證：四邊形GMAN和GBC的面積相等2三角形的任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍B類例題例3 過等腰ABC底邊BC上一點P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作點P關(guān)于MN的對稱點P.試證：P點在ABC外接圓上.(杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析 分析點M和N的性質(zhì)，即能得到解題思路。證明 由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故點M是PBP的外心，點N是PPC的外心.于是有 BPP=BMP=BAC， PPC=PNC=BAC. BPC=BPP+PPC=BAC. 從而，P點與A、B、C共圓，即P在ABC外接圓上.鏈接 本題可以引出更多結(jié)論，例如PP平分BPC、PB:PC=BP:PC等等例4 AD，BE，CF是ABC的三條中線，P是任意一點證明：在PAD，PBE，PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)證明 設(shè)G為ABC重心，直線PG與AB，BC相交.從A，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F(xiàn). 易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC， EE=DD+FF. 有SPGE=SPGD+SPGF.兩邊各擴(kuò)大3倍，有SPBE=SPAD+SPCF.例5 設(shè)A1A2A3A4為O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置. (1992，全國高中聯(lián)賽)證明 連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由A2A3A4知 =2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A3A4得 A1H2=2RcosA3A1A4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1A1A2，于是，A2H1A1H2， 故得H1H2A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點成中心對稱. 同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于M點成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4在同一個圓上.后者的圓心設(shè)為Q，Q與O也關(guān)于M成中心對稱.由O，M兩點，Q點就不難確定了.鏈接三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如： （1）三角形的重心與三頂點的連線所構(gòu)成的三個三角形面積相等； （2）三角形的外心到三頂點的距離相等； （3）三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構(gòu)成的三角形的垂心； （4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中點三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中點三角形的重心； （8）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心情景再現(xiàn)3在ABC的邊AB，BC，CA上分別取點P，Q，S.證明以APS，BQP，CSQ的外心為頂點的三角形與ABC相似. (B波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.C類例題例6 H為ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個以H為圓心的H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析 只須證明AA1=BB1=CC1即可.證明 設(shè)BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圓半徑為R，H的半徑為r. 連HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+bc-(4R2-a2)= (a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，= (a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.例7 已知O內(nèi)接ABC，Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與O內(nèi)切.試證：EF中點P是ABC之內(nèi)心.(B波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)證明 如圖，顯然EF中點P、圓心Q，中點K都在BAC平分線上.易知AQ=. QKAQ=MQQN， QK= =. 由RtEPQ知PQ=. PK=PQ+QK=+=. PK=BK. 利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是ABC這內(nèi)心.說明 在第20屆IMO中，美國提供的一道題實際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC.例8 在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)證明 設(shè)RtABC中，c為斜邊，先來證明一個特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)= (a+b+c)(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)= (-a+b+c)(a-b+c) =c2-(a-b)2= ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c)=p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及圖形易證.例9 M是ABC邊AB上的任意一點.r1，r2，r分別是AMC，BMC，ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在ACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明=.(IMO-12)證明 對任意ABC，由正弦定理可知OD=OA =AB =AB，OE= AB.亦即有= =.例10 銳角ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂. 求證：1d垂+2d外=3d重.證明 設(shè)ABC外接圓半徑為1，三個內(nèi)角記為A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC， 2d外=2(cosA+cosB+cosC). AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC， 同樣可得BH2CH3. 3d重=ABC三條高的和 =2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) =2， HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同樣可得HH2，HH3. d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 欲證結(jié)論，觀察、，須證(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.說明 本題用了三角法。情景再現(xiàn)5.設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.(1991，國家教委數(shù)學(xué)試驗班招生試題)6ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點，E是ACD的重心.證明OE丄CD. (加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)7ABC中C=30，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE. (1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題) 習(xí)題171在ABC中，A是鈍角，H是垂心，且AH=BC，則cosBHC=( ) A B C D2如果一個三角形的面積與周長都被一條直線平分，則此直線一定通過三角形的( ) A內(nèi)心 B外心 C重心 D垂心(1996年全國初中聯(lián)賽)3(1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競賽)若0a90，那么，以sina，cosa，tanacota為三邊的三角形有內(nèi)切圓、外接圓的半徑之和是( ) A B C2sinacosa D 4ABC中，A=45，BC=a，高BE、CF交于點H，則AH=( ) Aa Ba Ca Da5下面三個命題中： 設(shè)H為ABC的高AD上一點，BHC+BAC=180，則點H是ABC的垂心； 設(shè)G為ABC的中線AD上一點，且SAGB=SBGC，則點G是ABC的重心； 設(shè)E是ABC的外角BAK的角平分線與ABC的外接圓O的交點，ED是O的直徑，I在線段AD上，且DI=DB，則I是ABC的內(nèi)心正確命題的個數(shù)是( ) A0個 B1個 C2個 D3個6設(shè)ABC的A=60，求證：ABC的外心O、內(nèi)心I、垂心H及點B、C五點在同一個圓上7已知P是ABCD內(nèi)的一點，O為AC與BD的交點，M、N分別為PB、PC中點，Q為AN與DM的交點求證： P、Q、O三點在一條直線上； PQ=2OQ8.I為ABC之內(nèi)心，射線AI，BI，CI交ABC外接圓于A，B，C .則AA+BB+CCABC周長.(1982，澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克)9.T的三邊分別等于T的三條中線，且兩個三角形有一組角相等.求證這兩個三角形相似.(1989，捷克數(shù)學(xué)奧林匹克)10.I為ABC的內(nèi)心.取IBC，ICA，IAB的外心O1，O2，O3.求證：O1O2O3與ABC有公共的外心.(1988，美國數(shù)學(xué)奧林匹克)11.AD為ABC內(nèi)角平分線.取ABC，ABD，ADC的外心O，O1，O2.則OO1O2是等腰三角形.12.ABC中C90，從AB上M點作CA，CB的垂線MP，MQ.H是CPQ的垂心.當(dāng)M是AB上動點時，求H的軌跡.(IMO-7)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答1證明 如圖，連GA，因為M、N分別為AB、CA的中點，所以AMG的面積=GBM的面積，GAN的面積=GNC的面積, 即四邊形GMAN和GBC的面積相等2證明 如圖，O為ABC的外心，H為垂心，連CO交ABC外接圓于D，連DA、DB，則DAAC，BDBC，又AHBC，BHAC所以DABH，BDAH，從而四邊形DAHB為平行四邊形。又顯然DB=2OM，所以AH=2OM 同理可證 BH=2ON，CH=2OK證畢3提示：設(shè)O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質(zhì)可知PO1S=2A，QO2P=2B，SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360.從而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360將O2QO3繞著O3點旋轉(zhuǎn)到KSO3，易判斷KSO1O2PO1，同時可得O1O2O3O1KO3.O2O1O3=KO1O3=O2O1K= (O2O1S+SO1K)= (O2O1S+PO1O2)= PO1S=A； 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.4提示：將ABC簡記為，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差數(shù)列.若ABC為正三角形，易證.不妨設(shè)abc，有 CF=，BE=，AD=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CF=，BE=，AD=. CF:BE:AD =:=a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c2成等差數(shù)列.當(dāng)中abc時， 中CFBEAD.，()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=. =3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.5.證明 連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是ACE的三條內(nèi)角平分線，I為ACE的內(nèi)心.從而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC. 再由BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，利用 不等式有： BI+DI+FI2(IP+IQ+IS). 不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FIIA+IE+IC. AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI) (IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF. I就是一點兩心.6提示：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點F，E必在DF上且DE:EF=2:1.設(shè)CD交AM于G，G必為ABC重心.連GE，MF，MF交DC于K.易證：DG:GK=DC:()DC=2:1. DG:GK=DE:EFGEMF. OD丄AB，MFAB， OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是ODE之垂心. 易證OE丄CD.7提示：輔助線如圖所示，作DAO平分線交BC于K. 易證AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB. 利用內(nèi)心張角公式，有 AIB=90+C=105， DIE=360-1053=45. AKB=30+DAO=30+ (BAC-BAO)=30+ (BAC-60)=BAC=BAI=BEI. AKIE. 由等腰AOD可知DO丄AK，DO丄IE，即DF是DIE的一條高. 同理EO是DIE之垂心，OI丄DE.由DIE=IDO，易知OI=DE.習(xí)題17解答1 B；2A；3A；4C；5選B，只有（3）是對的；6略；7略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H的軌跡是一條線段.補(bǔ)充：第五講 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心.一、外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例1過等腰ABC底邊BC上一點P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作點P關(guān)于MN的對稱點P.試證：P點在ABC外接圓上.(杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析：由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故點M是PBP的外心，點N是PPC的外心.有 BPP=BMP=BAC， PPC=PNC=BAC. BPC=BPP+PPC=BAC. 從而，P點與A，B，C共圓、即P在ABC外接圓上. 由于PP平分BPC，顯然還有 PB:PC=BP:PC.例2在ABC的邊AB，BC，CA上分別取點P，Q，S.證明以APS，BQP，CSQ的外心為頂點的三角形與ABC相似. (B波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質(zhì)可知 PO1S=2A， QO2P=2B， SO3Q=2C. PO1S+QO2P+SO3Q=360.從而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360 將O2QO3繞著O3點旋轉(zhuǎn)到KSO3，易判斷KSO1O2PO1，同時可得O1O2O3O1KO3. O2O1O3=KO1O3=O2O1K =(O2O1S+SO1K) =(O2O1S+PO1O2) =PO1S=A； 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.二、重心 三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心.掌握重心將每條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便于解題.例3AD，BE，CF是ABC的三條中線，P是任意一點.證明：在PAD，PBE，PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)G為ABC重心，直線PG與AB，BC相交.從A，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F(xiàn). 易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC， EE=DD+FF. 有SPGE=SPGD+SPGF. 兩邊各擴(kuò)大3倍，有SPBE=SPAD+SPCF.例4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.分析：將ABC簡記為，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差數(shù)列. 若ABC為正三角形，易證. 不妨設(shè)abc，有 CF=， BE=， AD=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得 CF=，BE=，AD=. CF:BE:AD =: =a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c2成等差數(shù)列. 當(dāng)中abc時， 中CFBEAD.，()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=. =3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心 三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.例5設(shè)A1A2A3A4為O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置. (1992，全國高中聯(lián)賽)分析：連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由A2A3A4知 =2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A3A4得 A1H2=2RcosA3A1A4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1A1A2，于是，A2H1 A1H2， 故得H1H2 A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點成中心對稱. 同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于M點成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4在同一個圓上.后者的圓心設(shè)為Q，Q與O也關(guān)于M成中心對稱.由O，M兩點，Q點就不難確定了.例6H為ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個以H為圓心的H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：只須證明AA1=BB1=CC1即可.設(shè)BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圓半徑為R，H的半徑為r. 連HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心.對于內(nèi)心，要掌握張角公式，還要記住下面一個極為有用的等量關(guān)系：設(shè)I為ABC的內(nèi)心，射線AI交ABC外接圓于A，則有A I=AB=AC.換言之，點A必是IBC之外心(內(nèi)心的等量關(guān)系之逆同樣有用).例7ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，取DAB，ABC，BCD，CDA的內(nèi)心O1， O2，O3，O4.求證：O1O2O3O4為矩形. (1986，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)證明見中等數(shù)學(xué)1992；4例8已知O內(nèi)接ABC，Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與O內(nèi)切.試證：EF中點P是ABC之內(nèi)心.(B波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：在第20屆IMO中，美國提供的一道題實際上是例8的一種特例，但它增加了條件AB=AC.當(dāng)ABAC，怎樣證明呢？ 如圖，顯然EF中點P、圓心Q，BC中點K都在BAC平分線上.易知AQ=. QKAQ=MQQN， QK= =. 由RtEPQ知PQ=. PK=PQ+QK=+=. PK=BK. 利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是ABC這內(nèi)心.五、旁心 三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個內(nèi)角的外角平分線相交于一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心.旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起，旁心還與三角形的半周長關(guān)系密切.例9在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p. 式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析：設(shè)RtABC中，c為斜邊，先來證明一個特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)=(a+b+c)(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c) =c2-(a-b)2=ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c) =p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及圖形易證.例10M是ABC邊AB上的任意一點.r1，r2，r分別是AMC，BMC，ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在ACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明：=.(IMO-12)分析：對任意ABC，由正弦定理可知OD=OA =AB =AB，OE= AB.亦即有= =.六、眾心共圓這有兩種情況：(1)同一點卻是不同三角形的不同的心；(2)同一圖形出現(xiàn)了同一三角形的幾個心.例11設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點； (2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF. (1991，國家教委數(shù)學(xué)試驗班招生試題)分析：連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是ACE的三條內(nèi)角平分線，I為ACE的內(nèi)心.從而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，利用 不等式有： BI+DI+FI2(IP+IQ+IS). 不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FIIA+IE+IC. AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) (IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I就是一點兩心.例12ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點，E是ACD的重心.證明OE丄CD. (加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點F，E必在DF上且DE:EF=2:1.設(shè)CD交AM于G，G必為ABC重心.連GE，MF，MF交DC于K.易證：DG:GK=DC:()DC=2:1. DG:GK=DE:EFGEMF. OD丄AB，MFAB， OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是ODE之垂心. 易證OE丄CD.例13ABC中C=30，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE. (1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)分析：輔助線如圖所示，作DAO平分線交BC于K. 易證AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB. 利用內(nèi)心張角公式，有 AIB=90+C=105， DIE=360-1053=45. AKB=30+DAO =30+(BAC-BAO) =30+(BAC-60) =BAC=BAI=BEI. AKIE. 由等腰AOD可知DO丄AK， DO丄IE，即DF是DIE的一條高. 同理EO是DIE之垂心，OI丄DE. 由DIE=IDO，易知OI=DE.例14銳角ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂. 求證：1d垂+2d外=3d重.分析：這里用三角法.設(shè)ABC外接圓半徑為1，三個內(nèi)角記為A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC， 2d外=2(cosA+cosB+cosC). AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC， 同樣可得BH2CH3. 3d重=ABC三條高的和 =2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) =2， HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同樣可得HH2，HH3. d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 欲證結(jié)論，觀察、，須證(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.練 習(xí) 題1.I為ABC之內(nèi)心，射線AI，BI，CI交ABC外接圓于A，B，C .則AA+BB+CCABC周長.(1982，澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克)2.T的三邊分別等于T的三條中線，且兩個三角形有一組角相等.求證這兩個三角形相似.(1989，捷克數(shù)學(xué)奧林匹克)3.I為ABC的內(nèi)心.取IBC，ICA，IAB的外心O1，O2，O3.求證：O1O2O3與ABC有公共的外心.(1988，美國數(shù)學(xué)奧林匹克)4.AD為ABC內(nèi)角平分線.取ABC，ABD，ADC的外心O，O1，O2.則OO1O2是等腰三角形.5.ABC中C90，從AB上M點作CA，CB的垂線MP，MQ.H是CPQ的垂心.當(dāng)M是AB上動點時，求H的軌跡.(IMO-7)6.ABC的邊BC=(AB+AC)，取AB，AC中點M，N，G為重心，I為內(nèi)心.試證：過A，M，N三點的圓與直線GI相切.(第27屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)7.銳角ABC的垂心關(guān)于三邊的對稱點分別是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作ABC.(第7屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)8.已知ABC的三個旁心為I1，I2，I3.求證：I1I2I3是銳角三角形.9.AB，AC切O于B，C，過OA與BC的交點M任作O的弦EF.求證：(1)AEF與ABC有公共的內(nèi)心；(2)AEF與ABC有一個旁心重合.三角形五心定理 （三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。一、 三角形重心定理 三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。三中線交于一點可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名） 重心的性質(zhì)： 1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為21。 2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。 3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。 4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。二、三角形外心定理 三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。 外心的性質(zhì)： 1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為該三角形外心。 2、若O是ABC的外心，則BOC=2A（A為銳角或直角）或BOC=360-2A（A為鈍角）。 3、當(dāng)三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)