定義規(guī)定平面區(qū)域D的邊界曲線L的正向如下：當(dāng)觀測者沿L的這個方向行走時，D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊.如圖,定理1.設(shè)區(qū)域D是由分段光滑正向曲線L圍成,則有,(格林公式),函數(shù),在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),1.格林公式,證先證,根據(jù)區(qū)域D的不同，我們分三種情況進行證明：,（1）,根據(jù)曲線積分的性質(zhì)及計算法，有,另一方面，根據(jù)二重積分的計算法，有,比較上面兩式，即得所要的公式（8.4）,(2)若D是單連通區(qū)域,但D的邊界線L與平行于y軸的直線之交點多于兩個.,則可通過加輔助線將其分割,為有限個上述形式的區(qū)域,如圖,證畢,(3)D是多連通區(qū)域,類似地可證,將前面已證明的關(guān)于及的公式相加，即得到格林公式.,解利用格林公式，,例2求橢圓的面積D.,解橢圓的邊界方程為,D的面積,例3求曲線積分,解,為利用格林公式，故需分兩種,情況討論.,(1)當(dāng)L所圍成的區(qū)域D內(nèi)不包含原點時,P(x,y),Q(x,y),在D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，這時可用格林公式.易算出,(2)當(dāng)L所圍的區(qū)域D包含原點作為其內(nèi)點時，由于P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)一點（即原點）處無定義，也就不滿足格林公式成立的條件，故不能在區(qū)域D上用格林公式.,為了能用格林公式，需要把原點“挖掉”.為此以原點為圓心，充分小的r(0)為半徑作一小圓C，使C整個包含在D內(nèi).在挖掉小圓域C之后的多連通區(qū)域上，可利用格林公式.設(shè)C的邊界曲線為，則有,此式說明，沿任意一條將原點包圍在其內(nèi)部的光滑正向閉曲線L的積分，都等于沿以原點為圓心的正向圓周的積分.,其中表示函數(shù)u(x,y)沿L的外法線方向的方向?qū)?shù)，,應(yīng)滿足,其中為z軸正方向的單位向量.由于,說明的方向余弦為.于是由方向?qū)?shù)的定義，有,例5設(shè)區(qū)域D的邊界為閉曲線L.某穩(wěn)定流體(即流體的流速與時間無關(guān)，只與點的位置有關(guān))在上每一點(x,y)處的速度為,其中P(x,y),Q(x,y)在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).該流體通過閉曲線L的流量定義為,其中為L的外法線方向的單位向量.試證明,證設(shè)的切向量的方向余弦為由例4知,（格林公式的另一種形式）,稱函數(shù)為平面向量場,的散度.,物理意義：穩(wěn)定流體通過某一閉曲線的流量，等,于其散度在該閉曲線所的區(qū)域上的二重積分之值.,提示,格林公式:,設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L則,在格林公式中令PyQx則有,用格林公式計算區(qū)域的面積,2.平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件,設(shè)G是一個開區(qū)域P(xy)、Q(xy)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),這是因為設(shè)L1和L2是D內(nèi)任意兩條從點A到點B的曲線則L1(L2-)是D內(nèi)一條任意的閉曲線而且有,定理2(曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法),證,充分性,已知上述等式在D內(nèi)處處成立.在D內(nèi)任,必要性我們假定上述積分與路徑無關(guān)，要證明等式,上述等式不成立，不妨設(shè),由假設(shè)可知函數(shù)在D內(nèi)連續(xù).因而在D內(nèi)存在以為圓心以充分小的正數(shù)r為半徑的小圓域，使在整上，有設(shè)的邊界線為，在上用格林公式，有,但是D內(nèi)的簡單閉曲線，由證明假設(shè)及前面命題，應(yīng)有于是發(fā)生矛盾.證畢,.,應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題,(1)區(qū)域D是單連通區(qū)域(2)函數(shù)P(xy)及Q(xy)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)如果這兩個條件之一不能滿足那么定理的結(jié)論不能保證成立,討論,提示,在例4中已看到,當(dāng)L所圍成的區(qū)域含有原點時,上面的閉路積分不等于0,其原因在于區(qū)域內(nèi)含有破壞函數(shù)P,Q,及,連續(xù)性條件的點O.,例6求曲線積分,解,因為,又它們在全平面上連續(xù)，所以積分與路徑,無關(guān).取下列直線段為積分路徑：,當(dāng)曲線積分與路徑無關(guān)時，它只是起點A與點的函數(shù)，可記作,下面我們給出第二型曲線積分與路徑無關(guān)的另一個充分條件.,定理3,設(shè)函數(shù)P(xy)及Q(xy)在單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則等式,du(x,y)=P(xy)dxQ(xy)dy,證充分性,已知存在函數(shù)u(x,y),使du=PdxQdy.于是,由此可得,必要性,已知等式在D內(nèi)處處成立，由定理,2，曲線積分,與路徑無關(guān).,現(xiàn)在我們固定起點而點B(x,y)可在D移動，則上述曲線積分就是點(x,y)的函數(shù)，用u(x,y)表示這個函數(shù)，即令,現(xiàn)在，我們來證明有上式所確定的函數(shù)u(x,y)滿足關(guān)系式：,在D內(nèi)任意取定點B(x,y),再任取且使也在D內(nèi).由于積分與路徑無關(guān)，因此,其中介于x與之間.,另一方面，P(x,y),Q(x,y)的連續(xù)性意味著的連續(xù)性，從而推出函數(shù)u(x,y)在D可微且,推論設(shè)函數(shù)P(xy)及Q(xy)在單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)對任意兩點曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件是：P(xy)dxQ(xy)dy恰是某一函數(shù)u(xy)的全微分，此外，當(dāng)PdxQdy是u(xy)的全微分時，有,(8.7),其中u(A)表示函數(shù)u(x,y)在A點處的函數(shù)值，u(B)的含意類似.,證現(xiàn)證公式(8.7).,過A，B兩點在D內(nèi)任意作一曲線,設(shè)的參數(shù)方程為,如果函數(shù)u(xy)滿足du(xy)=P(xy)dxQ(xy)dy則函數(shù)u(xy)稱為P(xy)dxQ(xy)dy的原函數(shù).,例7求曲線積分,解,又P(x,y),Q(x,y)在任一包含點,A，B且不與y軸相交的單連通區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān).,于是,方法一,方法二,(1)先固定,將看作是的函數(shù),為了求的原函數(shù),顯然,令,對積分可求出,方法三:,湊全微分法,分無關(guān)；,對平面上任意兩點A，B，證明與積,例8,(2)求的原函數(shù)u(x,y);,(3)求曲線積分,解,(1)由于P(x,y),Q(x,y)在全平面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且所以曲線積分與路徑無關(guān).,(2)方法一用曲線積分法.選坐標(biāo)原點為曲線積分的起點，對平面上任意一點B(x,y),取積分路徑為折線OCB，其中C(x,0).,方法二固定y,關(guān)于對x求不定積分，得其一原函數(shù),這樣，的原函數(shù)u(x,y)可表成,其中是一待定函數(shù).再由,得求原函數(shù)得其中C為任意常