第 1頁（共 15頁） 第 21章 二次函數(shù)和反比例函數(shù) 一、選擇題 1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（ 1， 0）、（ 2， 0）和（ 0， 2）三點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式是（ ） A y=2x2+x+2 B y=x+2 C y=2x+3 D y=3x+2 2拋物線的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，拋物線的解析式可能是（ ） A y=x 2 B y= x+2 C y= x+1 D y= x2+x+2 3一拋物線的形狀、開口方向與 y=4x+3相同，頂點(diǎn)在（ 2， 1），則此拋物線的解析式為（ ） A y= （ x 2） 2+1 B y= （ x+2） 2 1 C y= （ x+2） 2+1 D y= （ x+2） 2+1 4把拋物線 先向右平移 1個單位，再向下平移 2個單位，得到的拋物線的解析式為（ ） A B C D 5已知某二次函數(shù)的圖象如圖 所示，則這個二次函數(shù)的解析式為（ ） A y=2（ x+1） 2+8 B y=18（ x+1） 2 8 C y= （ x 1） 2+8 D y=2（ x 1） 2 8 二、填空題 第 2頁（共 15頁） 6拋物線 y=bx+c（ a 0）經(jīng)過點(diǎn)（ 1， 2）和（ 1， 6）兩點(diǎn)，則 a+c= 7已知二次函數(shù) y=bx+c（ a 0）中自變量 x 1 0 1 y 2 2 0 則該二次函數(shù)的解析式為 8已知拋物線與 1， 0），（ 3， 0），并且與 6，則這個二次函數(shù)的解析式為 三、解答題 9已知二次函數(shù) y=bx+c，當(dāng) x=4時(shí)， y=3；當(dāng) x= 1時(shí)， y= 8；當(dāng) x=2時(shí)， y=1；求這個二次函數(shù)的解析式 10如圖，二次函數(shù) y=4x+ （ 4， 0） （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）在拋物線上存在點(diǎn) P，滿足 S ，請直接寫出點(diǎn) 11如圖，拋物線與 （ 1， 0）、 B（ 3， 0）兩點(diǎn)，與 （ 0， 3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D （ 1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn) （ 2）以 B、 C、 什么？ 12已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn) A（ 1， 0）、 B（ 0， 3），且對稱軸是直線 x=2，求其解析式 13在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 A（ 1， 4），且過點(diǎn) B（ 3， 0） 第 3頁（共 15頁） （ 1）求該二次函數(shù)的解析式； （ 2）將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可 使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得圖象與 14如圖所示，已知拋物線 y= 24，將其向右平移兩個單位后得到圖象 F求圖象 15已知二次函數(shù) y=3的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 3）， B（ 1， 0） （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）填空：要使二次函數(shù)的圖象與 把圖象沿 個單位 第 4頁（共 15頁） 第 21章 二次函數(shù)和反比例函數(shù) 參考答案與試題解析 一、選擇題 1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（ 1， 0）、（ 2， 0）和（ 0， 2）三點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式是（ ） A y=2x2+x+2 B y=x+2 C y=2x+3 D y=3x+2 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【分析】本題已知了拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，可直接用待定系數(shù)法求解 【解答】解：設(shè)這個二次函數(shù)的解析式是 y=bx+c，把（ 1， 0）、（ 2， 0）和（ 0， 2）代入得： ，解之得 ； 所以該函數(shù)的解析式是 y=3x+2 故本題選 D 【點(diǎn)評】主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般步驟是先設(shè) y=bx+c，再把對應(yīng)的三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入解出 a、 b、 2拋物線的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，拋物線的解析式可能是（ ） A y=x 2 B y= x+2 C y= x+1 D y= x2+x+2 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【專題】壓軸題 第 5頁（共 15頁） 【分析】在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè) 其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與 選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解 【解答】解： A、由圖象可知開口向下，故 a 0，此選項(xiàng)錯誤； B、拋物線過點(diǎn)（ 1， 0），（ 2， 0），根據(jù)拋物線的對稱性，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ， 而 y= x+2的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是 = ，故此選項(xiàng)錯誤； C、 y= x+1的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是 ，故此選項(xiàng)錯誤； D、 y= x2+x+2的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是 ，并且拋物線過點(diǎn)（ 1， 0），（ 2， 0），故此選項(xiàng)正確 故選 D 【點(diǎn)評】本題考查拋物線與系數(shù)的關(guān)系與及頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的計(jì)算公式，是開放性題目 一般式： y=a（ x x a， b， a 0） 3一拋物線的形狀、開口方向與 y=4x+3相同，頂點(diǎn)在（ 2， 1），則此拋物線的解析式為（ ） A y= （ x 2） 2+1 B y= （ x+2） 2 1 C y= （ x+2） 2+1 D y= （ x+2） 2+1 【考點(diǎn) 】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【分析】首先確定 利用頂點(diǎn)式即可解決問題 【解答】解： 拋物線的形狀、開口方向與 y=4x+3相同， a=1， 頂點(diǎn)為（ 2， 1）， 拋物線解析式為 y=（ x+2） 2+1 故選 C 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)有關(guān)知識、頂點(diǎn)式等知識，解題的關(guān)鍵是理解拋物線形狀、開口方向與y=4x+3相同，則 于中考?？碱}型 4把拋物線 先向右平移 1個單位，再向下平移 2個單位，得到的拋物線的解析式為（ ） 第 6頁（共 15頁） A B C D 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換 【分析】確定出平移前的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向下平移縱坐標(biāo)減求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式形式寫出拋物線解析式即可 【解答】解：拋物線 y= 1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 1）， 向右平移一個單位，再向下平移 2個單位， 平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 3）， 得到的拋物線的解析式為 y= （ x 1） 2 3 故選 B 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，利用頂點(diǎn)的變化確定函數(shù)解析式可以使計(jì)算更加簡便 5已知某二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個二次函數(shù)的解析式為（ ） A y=2（ x+1） 2+8 B y=18（ x+1） 2 8 C y= （ x 1） 2+8 D y=2（ x 1） 2 8 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【專題】壓軸題 【分析】頂點(diǎn)式： y=a（ x h） 2+k（ a， h， a 0），其中（ h， k）為頂點(diǎn)坐標(biāo) 【解答】解：由圖知道，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ 1， 8） 故二次函數(shù)的解析式為 y=2（ x 1） 2 8 故選 D 【點(diǎn)評】本題考查由頂點(diǎn)坐標(biāo)式看出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)， y=a（ x h） 2+h， k） 第 7頁（共 15頁） 二、填空題 6拋物線 y=bx+c（ a 0）經(jīng)過點(diǎn)（ 1， 2）和（ 1， 6）兩點(diǎn)，則 a+c= 2 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【分析】把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，通過 + ，得出 2a+2c= 4，即可得出 a+ 【解答】解：把點(diǎn)（ 1， 2）和（ 1， 6）分別代入 y=bx+c（ a 0）得： ， + 得： 2a+2c= 4， 則 a+c= 2； 故答案為： 2 【點(diǎn)評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式，解題的關(guān)鍵是通過 + ，得到 2a+2作為一個整體出現(xiàn)，不要單獨(dú)去求 a， 7已知二次函數(shù) y=bx+c（ a 0）中自變量 x 1 0 1 y 2 2 0 則該二次函數(shù)的解析式為 y=x2+x 2 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【專題】圖表型 【分析】可任選三組數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式 【解答】解：由于二次函數(shù)經(jīng)過（ 1， 2）、（ 0， 2）、（ 1， 0），則有： ，解得 ； 該二次函數(shù)的解析式為 y=x2+x 2 【點(diǎn)評】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，同時(shí)還考查了方程組的解法等知識，難度不大 第 8頁（共 15頁） 8已知拋物線與 1， 0），（ 3， 0），并且與 6，則這個二次函數(shù)的解析式為 y=24x 6 【考點(diǎn)】拋物線與 定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【分析】由于已知拋物線與 可設(shè)交點(diǎn)式 y=a（ x+1）（ x 3），然后把（ 0， 6）代入求出 【解答】解：設(shè)拋物線解析式為 y=a（ x+1）（ x 3）， 把（ 0， 6）代入得 a（ 3） = 6， 解得 a=2 所以拋物線解析式為 y=2（ x+1）（ x 3），即 y=24x 6 故答案為 y=24x 6 【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋 物線與 選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解 三、解答題 9已知二次函數(shù) y=bx+c，當(dāng) x=4時(shí)， y=3；當(dāng) x= 1時(shí)， y= 8；當(dāng) x=2時(shí)， y=1；求這個二次函數(shù)的解析式 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【分析】把三組對應(yīng)值分別代入 y=bx+a、 b、 后解方程組求出 a、 b、c 的值，從而得到二次函數(shù)解析式 【解答】解：根據(jù)題意，將 x=4， y=3； x= 1， y= 8； x=2， y=1代入 y=bx+c， 得： ， 解得： ， 第 9頁（共 15頁） 故二次函數(shù)的解析式為： y= x 【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列 三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與 選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解 10（ 2012綏化）如圖，二次函數(shù) y=4x+ （ 4， 0） （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）在拋物線上存在點(diǎn) P，滿足 S ，請直接寫出點(diǎn) 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 【分析】（ 1）把點(diǎn) 數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答； （ 2）根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn) O 的距離，然后分點(diǎn) P在 【解答】解：（ 1）由已知條件得 ， 解得 ， 所以，此二次函數(shù)的解析式為 y= 4x； （ 2） 點(diǎn) 4， 0）， ， 設(shè)點(diǎn) P到 h， 則 S 4h=8， 解得 h=4， 第 10頁（共 15頁） 當(dāng)點(diǎn) P在 4x=4， 解得 x= 2， 所以，點(diǎn) 2， 4）， 當(dāng)點(diǎn) P在 4x= 4， 解得 2+2 ， 2 2 ， 所以，點(diǎn) 2+2 ， 4）或（ 2 2 ， 4）， 綜上所述，點(diǎn) 2， 4）、（ 2+2 ， 4）、（ 2 2 ， 4） 【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，（ 2）要注意分點(diǎn) P在 11（ 2013秋 錦江區(qū)校級期中）如圖，拋物線與 （ 1， 0）、 B（ 3， 0）兩點(diǎn)，與 （ 0， 3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D （ 1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn) （ 2）以 B、 C、 ？為什么？ 【考點(diǎn)】拋物線與 【分析】（ 1）根據(jù)條件可設(shè)兩點(diǎn)式，把 求得頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）由勾股定理可分別求得 根據(jù)勾股定理的逆定理可判定 【解答】解： （ 1） 拋物線與 （ 1， 0）、 B（ 3， 0）兩點(diǎn)， 設(shè)拋物線為 y=a（ x+1）（ x 3）， 又過點(diǎn) C（ 0， 3）， 3= 3a，解得 a=1， y=2x 3， 其對稱軸為 x=1，當(dāng) x=1時(shí)， y= 4， 1， 4）； 第 11頁（共 15頁） （ 2）是直角三角，理由如下： 由題意可知 ， ， 8， 2+12=2， 2+（ 3 1） 2=20， 【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及勾股定理及逆定理的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的三種表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，即 一般式， 兩點(diǎn)式， 頂點(diǎn)式，在解題時(shí)注意靈活選擇 12（ 2014西安模擬）已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn) A（ 1， 0）、 B（ 0， 3），且對稱軸是直線 x=2，求其解析式 【考 點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【分析】因?yàn)閷ΨQ軸是直線 x=2，所以得到點(diǎn) A（ 1， 0）的對稱點(diǎn)是（ 3， 0），因此利用交點(diǎn)式 y=a（ x x 求出解析式 【解答】解： 拋物線對稱軸是直線 x=2且經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， 0） 由拋物線的對稱性可知：拋物線還經(jīng)過點(diǎn)（ 3， 0） 設(shè)拋物線的解析式為 y=a（ x x a 0） 即： y=a（ x 1）（ x 3） 把 B（ 0， 3）代入得： 3=3a a=1 拋物線的解析式為： y=4x+3 【點(diǎn)評】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，注意選擇 若知道與 用交點(diǎn)式比較簡單 13（ 2007上海）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 A（ 1， 4），且過點(diǎn) B（ 3， 0） （ 1）求該二次函數(shù)的解析式； （ 2）將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得圖象與 第 12頁（共 15頁） 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與幾何變換 【專題】壓軸題 【分析】（ 1）有頂點(diǎn)就用頂點(diǎn)式來求二次函數(shù)的解析式； （ 2）由于是向右 平移，可讓二次函數(shù)的 ，得到相應(yīng)的兩個 出負(fù)值相對于原點(diǎn)的距離，而后讓較大的值也加上距離即可 【解答】解：（ 1） 二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 A（ 1， 4）， 設(shè)二次函數(shù)解析式為 y=a（ x 1） 2 4， 把點(diǎn) B（ 3， 0）代入二次函數(shù)解析式，得： 0=4a 4，解得 a=1， 二次函數(shù)解析式為 y=（ x 1） 2 4，即 y=2x 3； （ 2）令 y=0，得 2x 3=0，解方程，得 ， 1 二次函數(shù)圖象與 3， 0）和（ 1， 0）， 二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)（ 1， 0）向右平移 1個單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 故平移后所得圖象與 4， 0） 【點(diǎn)評】考查用待定系數(shù)法來求函數(shù)解析式、坐標(biāo)系里點(diǎn)的平移的特點(diǎn) 14如圖所示，已知拋物線 y= 24，將其向右平移兩個單位后得到圖象 F求圖象 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換 【分析】將原拋物線的解析式變形為頂點(diǎn)式，再根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出平移后的拋物線的解析式 【解答】解：圖象 y= 24x= 2（ x+1） 2+2， 第 13頁（共 15頁） 根據(jù)平移的性質(zhì)可得出圖象 y= 2（ x 2） +12+2= 2x 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握圖象平移是 x、 15（ 2011秋 舒城縣校級月考）