概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的基本概念2樣本空間、隨機(jī)事件1事件間的關(guān)系則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生A稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅X或當(dāng)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)且A，B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生BA稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅X且當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的，則稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件且SBA與事件B互為對立事件2運(yùn)算規(guī)則交換律BA結(jié)合律CC分配律B）（AA徳摩根律B3頻率與概率定義在相同的條件下，進(jìn)行了N次試驗(yàn)，在這N次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)稱為AN事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值稱為事件A發(fā)生的頻率A概率設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A），稱為事件的概率1概率滿足下列條件（1）非負(fù)性對于每一個(gè)事件A10P（2）規(guī)范性對于必然事件S（3）可列可加性設(shè)是兩兩互不相容的事件，有NA,21（可以?。㎞KKNKPA112概率的一些重要性質(zhì)（I）0（II）若是兩兩互不相容的事件，則有（可以?。㎞A,21NKKNKAP11（III）設(shè)A，B是兩個(gè)事件若，則，BBAP（IV）對于任意事件A，1（V）（逆事件的概率）1P（VI）對于任意事件A，B有ABP4等可能概型（古典概型）等可能概型試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同若事件A包含K個(gè)基本事件，即，里21KIIIEE個(gè)不同的數(shù)，則有中某，是，KKN2,1II,21中基本事件的總數(shù)包含的基本事件數(shù)S1JAEPJI5條件概率（1）定義設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且，稱為事件A發(fā)生的0AP|PBA條件下事件B發(fā)生的條件概率（2）條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1。非負(fù)性對于某一事件B，有0|2。規(guī)范性對于必然事件S，1|AP3可列可加性設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有,2111IIIABPP（3）乘法定理設(shè)，則有稱為乘法公式0|BAP（4）全概率公式NIIIBPA1|貝葉斯公式NIIIKKKA1|6獨(dú)立性定義設(shè)A，B是兩事件，如果滿足等式，則稱事件A,B相互獨(dú)BP立定理一設(shè)A，B是兩事件，且，若A，B相互獨(dú)立，則0PBPA|定理二若事件A和B相互獨(dú)立，則下列各對事件也相互獨(dú)立A與與，與，第二章隨機(jī)變量及其分布1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函XES數(shù)，稱為隨機(jī)變量XE2離散性隨機(jī)變量及其分布律1離散隨機(jī)變量有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量滿足如下兩個(gè)條件（1），（2）1KPXXP0KP1KP2三種重要的離散型隨機(jī)變量（1）分布01設(shè)隨機(jī)變量X只能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是，則稱X服從以P為參數(shù)的分布或,KPK1PP（，）（01兩點(diǎn)分布。（2）伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果A與，則稱E為伯努利實(shí)驗(yàn)設(shè)A，此時(shí)將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行N次，則稱這一串重復(fù)的1P0P（P1P獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為N重伯努利實(shí)驗(yàn)。滿足條件（1），（2）1注意N2,0KQKXN，0KP1KP到是二項(xiàng)式的展開式中出現(xiàn)的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)KNQPNP）（K為N，P的二項(xiàng)分布。（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個(gè)值的概率為其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記,210,KEP0為）（3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，X是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)X,PXF稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù)，具有以下性質(zhì)1是一個(gè)不減函數(shù)（2）PXF（3）1,010F，且是右連續(xù)的即,0XFX4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（X），存在非負(fù)可積函數(shù)，使XF對于任意函數(shù)X有則稱X為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)FX稱為X,DTFFX）（的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度1概率密度具有以下性質(zhì)，滿足（1）；F12,0DXFF（3）；（4）若在點(diǎn)X處連續(xù)，則有21XDFXXPF，F(xiàn)2,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量1均勻分布若連續(xù)性隨機(jī)變量X具有概率密度，則成X在區(qū)間A,B上服，其他，0AB1BXXF從均勻分布記為），（BAU2指數(shù)分布若連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度為其中為常數(shù)，則稱，其他，00E1XF0X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（3）正態(tài)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，）XEXFX212的正態(tài)分布或高斯分布，記為，服從參數(shù)為為常數(shù)，則稱（，其中0），（2N特別，當(dāng)時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1，5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度又設(shè)函數(shù)處處可導(dǎo)且恒有,XF，XG，則Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為0,XGG其他，,YHYFYFXY第三章多維隨機(jī)變量1二維隨機(jī)變量定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是和是定義在SXESYE上的隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量（X，Y）叫做二維隨機(jī)E變量設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)X，Y，二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）的PYXPYXF，記成），（分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量（X，Y）全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱（X，Y）是離散型的隨機(jī)變量。我們稱為二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的，2,1JIYYJJIPXP分布律。對于二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)），（YXFF（X，Y），使對于任意X，Y有則稱（X，Y）是連續(xù)性，），（），（YDUVFF的隨機(jī)變量，函數(shù)F（X，Y）稱為隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。2邊緣分布二維隨機(jī)變量（X，Y）作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)而X和Y都是隨），（YXF機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為，依次稱為二維隨機(jī)變量）（,XXY（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。，2,1IXPP1JII，2,1JYPP1IIJJ分別稱為（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。IJ分別稱，DYXFF）,DXYFYFY）,XFX為X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。YY3條件分布定義設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的J，若,0JYYP則稱為在條件下,21,IPYYPXXYXPJJIJIJ隨機(jī)變量X的條件分布律，同樣為在條件下隨機(jī)變量X,JXXYYIIJIJIXX的條件分布律。設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為，（X，Y）關(guān)于Y的邊緣概,YXF率密度為，若對于固定的Y，0，則稱為在YY的條件下X的條件YFYFFY概率密度，記為XFYX,FY4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義設(shè)及，分別是二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的分布），（YXFXXFY函數(shù)及邊緣分布函數(shù)若對于所有X,Y有，即YPY,XXXP，則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。,YXXY對于二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y），X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)05兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1，ZXY的分布設(shè)X,Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度則ZXY仍為連續(xù)性,YXF隨機(jī)變量，其概率密度為或DYZFZFYX）,DXZFZYX）,又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為則YXY和這兩個(gè)公式稱為DYFZFZFY（）DZFXZFYX）的卷積公式Y(jié)X,有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布2，的分布的分布、XYZZ設(shè)X,Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度，則,YXFXYZ，仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為DZFZFXY,又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別DXZFZFXY,1為則可化為,YFXYDXZFFYYDXZFZFX1X3的分布及，,MINNAXYM設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為由于,YFXYX不大于Z等價(jià)于X和Y都不大于Z故有A，又由于X和Y相互獨(dú)立，得到的分布函Z,PXZMYXMAX，M數(shù)為MAXFY的分布函數(shù)為,INN11MINZFZYX第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為，K1,2，若級數(shù)絕KPXP1KPX對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即1KPXXEIXE設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積XFDXF分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即DXFXEXF定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)YG是連續(xù)函數(shù)G（I）如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為，K1,2，若KPPX絕對收斂則有KKPXG1）EGKK1）（II）如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為，若絕對收斂則XFDXFG有YEGDXF數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有CE2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有XE3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有；YY4設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有2方差定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱為X的方2XE2E差，記為D（X）即D（X），在應(yīng)用上還引入量，記為，XDX稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。222E方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有,0CD2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有，C2XDDXC3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有EY2EYYDD4的充要條件是X以概率1取常數(shù)，即0XX1XP切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，則對于任意正數(shù)，不等式2E成立2P3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義量稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差為，即YEXE,YXCOV,EYXCOV而稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)D），對于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，,2_YXCOVD協(xié)方差具有下述性質(zhì)1,YXABOVCOVVYCOV2,2121YXX定理1Y2的充要條件是，存在常數(shù)A,B使X1BXAYP當(dāng)0時(shí)，稱X和Y不相關(guān)XY附幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布10P，1,01KPKXPP1二項(xiàng)式分布N，NCKNKN,N泊松分布0,210,KEXP幾何分布1P,1PP12均勻分布BA，其他0,BXABXFBA12指數(shù)分布0其他,01XEXF2正態(tài)分布2XEXF2第五章大數(shù)定律與中心極限定理1大數(shù)定律弱大數(shù)定理（辛欣大數(shù)定理）設(shè)X1，X2是相互獨(dú)立，服從統(tǒng)一分布的隨機(jī)變量序列，并具有數(shù)學(xué)期望作前N個(gè)變量的算術(shù)平均，則對于任意,KEKNKX1，有011LIMNKNP定義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列，A是一個(gè)常數(shù)，若對于任意正數(shù)，有NY,21，則稱序列依概率收斂于A，記為LIAYNNNY,21AYPN伯努利大數(shù)定理設(shè)是N次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P是事件A在每次試AF驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)0