1998等數(shù)學(xué)下冊(cè)統(tǒng)考試卷及解答一、試解下列各題1、4分設(shè)是由所確定的立體，試將化成ZYX22DVZYXF,2球面坐標(biāo)下的三次積分。解在球坐標(biāo)下為Z222COS,0COS,02補(bǔ)充，0從而2COS222200,IN,CSINFXYZDVFD2、4分設(shè)是在右半平面內(nèi)的任意一條閉的光滑曲線，試證明LLXDY1解當(dāng)時(shí)由定理故有0221,YXYPQPQXLDYX012二、試解下列各題1、3分設(shè)，求YXZYXZ,解1,LNXY2、3分設(shè)，求XZ2XZ解LLXYY3、3分設(shè)可導(dǎo)，求PGFZFU,ZYXU,解,XYZFGPXFGP三、試解下列各題1、3分設(shè)單調(diào)減少，且收斂于0，問級(jí)數(shù)是否收斂NA1NA解不一定收斂。例如單調(diào)減少，且收斂于0，但發(fā)散；1N1NA1N而單調(diào)減少，且收斂于0，但收斂。2NA21N2、3分試證級(jí)數(shù)是發(fā)散的。1LN證令，LN1LXXFELNLN1IMLI0NIXXEE所以，從而級(jí)數(shù)是發(fā)散的。LIM0N1LN四、計(jì)算下列各題1、6分利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分（）DXYDYAY0220A解20,DXAY在極坐標(biāo)下為22COSSIN,SI,2RARRR24222008AYADXDD2、6分設(shè)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分,YXFDXYFDY120,的積分次序。DYXFDY01,解由上下限知積分區(qū)域D兩部分為及21,0YYX，作圖發(fā)現(xiàn)即為0,0YX22X故原式221,XDFYD3、6分計(jì)算，其中是立方體，DXYZYZX222AX0，表面的外側(cè)，。AY0Z0A解222002AAXDYXDYXYZDVXYZD22233000AAAAZ或由對(duì)稱2223006AAXDYZXZDYXYZDVXYZD五、解答下列各題1、5分求全微分方程的通解。4232YXY解原式即2323440,0XXYDXYDYXDYDY為通解22220,DXC另解法23344,1YXXYDXYDPQ,2233220,110,021XUDYDXYXY由此推出為通解2XYC2、5分已知，試問是否存在函數(shù)YXEPSIN,2YXQCOS,2，使得,YXUDDU解因?yàn)?COSYXY,2CS,XYPX所以不存在函數(shù)，使得QDU六、解答下列各題1、5分判別級(jí)數(shù)的斂散性。12NE解2211,LIMLINNNNUEUE故正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂12N2、5分設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且。已知展XF,LLFFXF成以為周期的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為。試用表示L,21,0NBANBA,0的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)XF,0BAN解011LLAFXDFX1COSCOSSINLLNNNXXFFFXDL10SIN,12,LNXFDBL1ISICOSLLNXNXBFFFXDL10COS,2,LNNXFDAL注意用的展開式求導(dǎo)來推不給分因缺乏理論依據(jù)。FX七、解答下列各題1、7分利用二重積分計(jì)算由曲面所圍成的曲頂矩22,01,XYZYXZ體的體積解21122263DXVXYDDD12460683351052、7分利用曲線積分計(jì)算橢圓圓周所圍成的面積。2SINCOTBYAX解2011SINICSLSXDYBTTTDTABA3、7分試求在極坐標(biāo)下由所確定圖形的面積。CO0RA解由知1COSRA1S,224000COCOSDSDRDADAD24220318COS8ATA八、解答下列各題1、6分利用近似公式時(shí)，試估計(jì)當(dāng)時(shí)所產(chǎn)生的2319XX05X最大誤差。解在內(nèi)收斂12331498XX1,13231498XX當(dāng)時(shí)，05X350602、6分求微分方程的一條積分曲線，使其在點(diǎn)處有水平2Y1,0切線。解特征方程為通解21,2120,COSINXRRIEX由過點(diǎn)知1,00COSNE由在點(diǎn)處有水平切線知,。00222CSISICOS0,1YEE從而為所要求的特解ONXX3、6