抽象函數(shù)經(jīng)典綜合題33例（含詳細解答）抽象函數(shù)，是指沒有具體地給出解析式，只給出它的一些特征或性質(zhì)的函數(shù)，抽象函數(shù)型綜合問題，一般通過對函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)表述，綜合考查學生對于數(shù)學符號語言的理解和接受能力，考查對于函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，考查學生對于一般和特殊關系的認識，是考查學生能力的較好途徑。抽象函數(shù)問題既是教學中的難點，又是近幾年來高考的熱點。本資料精選抽象函數(shù)經(jīng)典綜合問題33例（含詳細解答）1定義在R上的函數(shù)YFX，F(xiàn)00，當X0時，F(xiàn)X1，且對任意的A、BR，有FABFAFB，（1）求證F01；（2）求證對任意的XR，恒有FX0；（3）證明FX是R上的增函數(shù)；（4）若FXF2XX21，求X的取值范圍。解（1）令AB0，則F0F02F00F01（2）令AX，BX則F0FXFX1XF由已知X0時，F(xiàn)X10，當X0，F(xiàn)X001FF又X0時，F(xiàn)010對任意XR，F(xiàn)X03任取X2X1，則FX20，F(xiàn)X10，X2X1011FFFX2FX1FX在R上是增函數(shù)（4）FXF2XX2FX2XX2FX23X又1F0，F(xiàn)X在R上遞增由F3XX2F0得3XX2002時，12|A或4已知FX在1，1上有定義，F(xiàn)21，且滿足X，Y1，1有FXFYFX1證明FX在1，1上為奇函數(shù)；對數(shù)列X12，XN12NX，求FXN求證521FFFN證明令XY0，2F0F0，F(xiàn)00令YX，則FXFXF00FXFX0FXFXFX為奇函數(shù)解FX1F21，F(xiàn)XN1F2NXFNX1FXNFXN2FXN1NF2即FXN是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列FXN2N1解212121NNXFXFF211NNN而225N5112NXFXFF5已知函數(shù)NFFY,，滿足對任意,2121XNX都有12121XFXXF；（1）試證明F為N上的單調(diào)增函數(shù)；（2）N，且0，求證FN；（3）若1F，對任意,M,有1NFM，證明NIIF1432證明（1）由知，對任意,AB，都有0BFA，由于0BA，從而FF，所以函數(shù)XF為N上的單調(diào)增函數(shù)（2）由（1）可知NN都有FN1FN,則有FN1FN1FN1FN1,FNFN11F2F1F1F0由此可得FNF0NFNN1命題得證（3）（3）由任意,MN,有FMF得由F01得M01F則FN1FN1,則FNN1213133121NNNNIIF6已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足FX0,11對任意，總有；,2FX213F3若且，則有20,121212FXFXFI求的值；II求的最大值；FXIII設數(shù)列的前項和為，且滿足NANS23,NNAN求證12313FFFFA解（I）令，由3,則0X0,0F由對任意，總有,FXF（II）任意且，則12122121,XFX21FXFFFMA3III12NNSN123NNSA133,0A1334NNNNNNNFFFFFF，即。11414F2211221444333333NNNNNNFAFFA故12即原式成立。1213NFFFA7對于定義域為的函數(shù)，如果同時滿足以下三條對任意的，總有；0,1FX0,1X0FX；若，都有成立，則稱函數(shù)為理想1F212,X1212FXFF函數(shù)1若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值；F0F2判斷函數(shù)是否為理想函數(shù)，并予以證明；21XG,3若函數(shù)為理想函數(shù)，假定，使得，且，求證F0,1X0,1FX0FX0FX解（1）取可得021FFF又由條件，故F0（2）顯然在0，1滿足條件；12XG0XG也滿足條件若，則01X221X12112XXXGG，即滿足條件，0122121XXX故理想函數(shù)（3）由條件知，任給、0，1，當時，由知0，1，MNNMNFFFFNF若，則，前后矛盾；0X00X若，則，前后矛盾FFF故0X8已知定義在R上的單調(diào)函數(shù),存在實數(shù),使得對于任意實數(shù),總有FX0X12X恒成立。012012FXFX求的值；若,且對任意正整數(shù),有,求數(shù)列AN的通項公式；0FXN12NAF若數(shù)列BN滿足，將數(shù)列BN的項重新組合成新數(shù)列，具體法則如下12OGNC，求證。123456,CCB478910,C1231294NC解令，得，120X0FXF令，得，1,1010FF由、得，又因為為單調(diào)函數(shù)，0FXFFXX由（1）得，121212FF11,22FFF10,A，11112NNNNNFFFFFF1,22，1NNA1N11222NNNBOGOG由CN的構(gòu)成法則可知，CN應等于BN中的N項之和，其第一項的項數(shù)為12N111，即這一項為211NN111CNNN11NN13NN12N1N2N1N32319284當時，321112NNNA3331124834N11298N解法232340,41N333111248423119866NNNN9設函數(shù)FX是定義域在0,上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù),XY有FFXY，已知21F（1）求F的值；（2）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列NA滿足1NNNFSFAFN，其中NS是數(shù)列NA的前N項的和，求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）的條件下，是否存在正數(shù)M，使12NNA12A21NA對一切N成立若存在，求出M的取值范圍；若不存在，說明理由解（1）FXYFY，令1X，有12FF，10F再令12,，有2F，20FF，（2）1NNFSFANNAA,又X是定義域0,上單調(diào)函數(shù)，0S，12，12NNSA當1時，由112，得1A，當N時，11N由，得12NNSA，化簡，得2110A，10NN，0N，N，即NA，數(shù)列為等差數(shù)列1A，公差1D1D，故（3）212NNNA，1232NAN令12NNABA31N,而1231NN1NBN23N24813N，1N，數(shù)列NB為單調(diào)遞增函數(shù)，由題意NMB恒成立，則只需MINB123，230,M，存在正數(shù)M，使所給定的不等式恒成立，M的取值范圍為230,10定義在R上的函數(shù)F（X）滿足，且時，F(xiàn)（X）FXYFXYF112，120時，F(xiàn)NFMFN01；（2）求證F（X）在R上單調(diào)遞減；（3）設集合，AYFFYF,|221，若，求A的取值范圍。BXYFAA,|1，AB解（1）令M1，N0，得F（1）F（1）F（0）又當X0時，00令MX，NX，則F（0）F（X）F（X）所以F（X）F（X）1又00恒成立所以FXF2121所以021FX所以F（X2）0使，試問F（X）是否為周期函數(shù)若是，指出它的一個周期；若不F20是，請說明理由。解（1）令AB0則F（0）F（0）2F（0）F（0）所以2F（0）F（0）10又因為，所以F（0）1（2）令A0，BX，則F（X）F（X）2F（0）F（X）由F（0）1可得F（X）F（X）所以F（X）是R上的偶函數(shù)。（3）令，則ACB2，F(xiàn)XFXCFXCF22因為FC20所以F（XC）F（X）0所以F（XC）F（X）所以F（X2C）F（XC）F（X）F（X）所以F（X）是以2C為周期的周期函數(shù)。13已知函數(shù)F（X）的定義域關于原點對稱，且滿足（1）FFFX12121（2）存在正常數(shù)A，使F（A）1求證（1）F（X）是奇函數(shù)；（2）F（X）是周期函數(shù)，并且有一個周期為4A證明（1）設，則TX12FTFXFFFFXFT221211所以函數(shù)F（X）是奇函數(shù)。（2）令，則A12，F(xiàn)AFFA21即F解得F（2A）0所以FXFXAFFXFAXFX2121所以FAFXAFXF421因此，函數(shù)F（X）是周期函數(shù)，并且有一個周期為4A。14已知對一切，滿足，且當時，求證Y，F(xiàn)FXYFY0，X0FX1（1）時，（2）在R上為減函數(shù)。X01FX；證明對一切有。YR，F(xiàn)XYFY且，令，得，F(xiàn)X01現(xiàn)設，則，0FX而FFXFF1，0X設且，R12，X12則FX，X221FXFF1，12即為減函數(shù)。FX15已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對一切實數(shù)X，不等式，1恒成立，求K的值。FKXFKXSINSIN2分析由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號，得KXX222214ISNSII由題意知12兩式對一切恒成立，則有XRKXK222114941SINMIAX16設定義在上的函數(shù)對于任意都有成立，且，當RF,YFXYFY12F時，。0X0FX（1）判斷FX的奇偶性，并加以證明；（2）試問當20032003時，是否有最值如果有，求出最值；如果沒有，說明理由；FX（3）解關于的不等式，其中X2211FBBF2B分析與解令XY0，可得F00令YX，則F0FXFX，F(xiàn)XFX，F(xiàn)X為奇函數(shù)設3X1X23，YX1，XX2則FX2X1FX2FX1FX2FX1，因為X0時，F(xiàn)X0，故FX2X10，即FX2FX10。FX2FX1、FX在區(qū)間2003、2003上單調(diào)遞減X2003時，F(xiàn)X有最大值F2003F2003F20021F2002F1F2001F1F12003F14006。X2003時，F(xiàn)X有最小值為F20034006。由原不等式，得FBX2FB2XFXFB。即FBX2FB2X2FXFBFBX2B2X2FXB，即FBXXBFXBFXBFBXXBF2FXB由FX在XR上單調(diào)遞減，所以BXXB2XB，XBBX20B22,B或B2當B時，B，不等式的解集為BX|當B時，B，不等式的解集為22|或當B時，不等式的解集為RXX且,|當B時，不等式解集為217已知定義在上的函數(shù)滿足RFX（1）值域為，且當時，；1,010FX（2）對于定義域內(nèi)任意的實數(shù)，均滿足1FMFNFN,XY試回答下列問題（）試求的值；0F（）判斷并證明函數(shù)FX的單調(diào)性；（）若函數(shù)F存在反函數(shù)，求證G211532GGGN分析與解（）在中，令，則有即1FMNF0,N0FM也即100FMFF21FF由于函數(shù)的值域為，所以，所以X,2100F（）函數(shù)F的單調(diào)性必然涉及到，于是，由已知FXFY，我們可以聯(lián)想到是否有（）1FNFMN1FMFNFN這個問題實際上是是否成立FF為此，我們首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關系由于，所以，在XFXF與0F中，令，得所以，函數(shù)為奇函數(shù)故1FMFNFNMFFMFX（）式成立所以，任取，且，則1FFFNFN12,R12，故且所以，210X210X2,X，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減10FFFFFX（）由于函數(shù)在R上單調(diào)遞減，X所以，函數(shù)必存在反函數(shù)，F(xiàn)GX由原函數(shù)與反函數(shù)的關系可知也為奇函數(shù)；在上單調(diào)遞減；且當時，GX1,10X0GX為了證明本題，需要考慮的關系式GX在（）式的兩端，同時用作用，得，G1FMFNNG令，則，則上式可改寫為,FMXFNY,MXY1XYGX不難驗證對于任意的，上式都成立（根據(jù)一一對應）,1,這樣，我們就得到了的關系式GX這個式子給我們以提示即可以將寫成的形式，則可通過裂項相消的方法化簡求證式231NXY的左端事實上，由于，211211232NNNN所以，21GG所以，2153N112342122GGGNN點評一般來說，涉及函數(shù)奇偶性的問題，首先應該確定的值0F18已知函數(shù)F（X）對任意實數(shù)X、Y都有F（XY）F（X）F（Y），且F（1）1，F(xiàn)（27）9，當時，。（1）判斷F（X）的奇偶性；（2）判斷F（X）在0，）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求A的取值范圍。分析由題設可知F（X）是冪函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想F（X）是偶函數(shù)，且在0，）上是增函數(shù)。解（1）令Y1，則F（X）F（X）F（1），F(xiàn)（1）1，F(xiàn)（X）F（X），F(xiàn)（X）為偶函數(shù)。（2）設，時，F(xiàn)（X1）F（X2），故F（X）在0，）上是增函數(shù)。（3）F（27）9，又，又，故。19設函數(shù)的定義域為全體R，當XBC1,且A、B、C成等差數(shù)列，求證；2BFCFA（3）（本小題只理科做）若FX單調(diào)遞增，且MN0時，有，求證2NMFNFF2M解1取X1,Q2,有若存在另一個實根，使得的一個根，是即01012XFFF10X,001QFFQXX有成立，且對任意的10,001XXFXFXF有且只有一個實根與條件矛盾，（恒成立，（2），21,QBCACBA不妨設，則0，又AC2B,Q122121BFQFFFACB4C即AC0,G12,GX是增函數(shù)GM1XGGNGMNM、NR求證FX是R上的增函數(shù)解設X1X2GX是R上的增函數(shù),且GX0GX1GX20GX11GX210012XG1X021FX1FX2111XG121XG12XG021FX1FX2FX是R上的增函數(shù)25定義在R上的函數(shù)FX滿足對任意實數(shù)M,FXMMFXF211求證FXYFXFY對任意正數(shù)X,Y都成立2證明FX是R上的單調(diào)增函數(shù)3若FXFX32,求X的取值范圍解1令X2M,Y2N,其中M,N為實數(shù),則FXYF2MNMNF2MN又FXFYF2MF2NMF2NF2MN,所以FXYFXFY,2X,02NM121且使可令設證明0FFXFX1N21得由故FX10時,FX1,且對任意X,YR,有FXYFXFY,F1212F3XF21F2,4X3F1解方程解不等式解1先證FX0,且單調(diào)遞增，因為FXFX0FXF0,X0時FX1,所以F01則使假設存在某個又,0F,R,0F2FXOO2FXFXXOXOFXXOFXO0,與已知矛盾，故FX0任取X1,X2R且X10,FX2X11,所以FX1FX2FX2X1X1FX1FX2X1FX1FX1FX1FX2X110所以XR時,FX為增函數(shù)解得X|1X22F12,F22,F38,原方程可化為FX24FX50,解得FX1或FX5（舍由1得X028定義域為R的函數(shù)FX滿足對于任意的實數(shù)X，Y都有FXYFXFY成立，且當X0時FX0恒成立1判斷函數(shù)FX的奇偶性，并證明你的結(jié)論；2證明FX為減函數(shù)；若函數(shù)FX在3，3）上總有FX6成立，試確定F1應滿足的條件；A,N,AFXFN1FAXFN122是一個給定的自然數(shù)的不等式解關于解（1）由已知對于任意XR，YR，F(xiàn)（XY）F（X）F（Y）恒成立令XY0，得F（00）F（0）F（0），F(xiàn)（0）0令XY，得FXXFXFX0對于任意X，都有FXFXFX是奇函數(shù)（2）設任意X1，X2R且X1X2，則X2X10，由已知F（X2X1）0（1）又F（X2X1）F（X2）F（X1）F（X2）F（X1）（2）由（1）（2）得FX1FX2,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知FX0在，上是減函數(shù)FX在3，3上的最大值為F3要使FX6恒成立，當且僅當F36，又F（3）F（3）F（21）F（2）F（1）F（1）F（1）F（1）3F（1），F(xiàn)（1）2（3）F（AX2）F（X）F（A2X）F（A）NN1F（AX2）F（A2X）NF（X）F（A）F（AX2A2X）NF（XA）（10分）由已知得FN（XA）NF（XA）F（AX2A2X）FN（XA）F（X）在（，）上是減函數(shù)AX2A2XN（XA）即（XA）（AXN）0，A0，（XA）（X）0，（11分）A討論（1）當A0，即A時，NN原不等式解集為X|X或XA；（2）當A0即A時，原不等式的解集為；ANN（3）當A0時，即A0時，原不等式的解集為X|XA或X29已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的都滿足FX,ABRFABFA（）求的值；0,1F（）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；X（）若，求數(shù)列的前項的和22,NNFFUNNUNS解（）取AB0得F00,取AB1得F10,（）取AB1得F12F1,所以F10,取AX,B1得FXFXXF1FX,所以FX是奇函數(shù)；（）12NS30（2005年廣東省高考試題）設函數(shù)在上滿足，F(xiàn)X,2FXF，且在閉區(qū)間0，7上，只有7FXF130F（）試判斷函數(shù)的奇偶性；YFX（）試求方程0在閉區(qū)間2005，2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論解由F2XF2X,F7XF7X得函數(shù)的對稱軸為,XFY72X和從而知函數(shù)不是奇函數(shù),XFY由141472XFXFXFXFFF,從而知函數(shù)的周期為10XY0T又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)3FF而XFII由141472XFXFFFXFF10XII又0973,3FFFFF故FX在0,10和10,0上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在0,2005上有402個解,在20050上有400個解,XFY所以函數(shù)在2005,2005上有802個解31設定義在R上且對任意的有，求證是周期函數(shù)，并找FXXFFXF12FX出它的一個周期。分析這同樣是沒有給出函數(shù)表達式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關系式進行遞推，若能得出（T為非零常數(shù)）則為周期函數(shù)，且周期為T。FXFFX證明XF121FXF123得2X由（3）得FF364由（3）和（4）得。X上式對任意都成立，因此是周期函數(shù)，且周期為6。RFX32設是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關于直線對稱。對任意都有FXX1X120，。FX1212（I）設求