一、函數(shù)與極限1、集合的概念一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小寫拉丁字母A、B、C表示集合中的元素。如果A是集合A中的元素，就說A屬于A，記作AA，否則就說A不屬于A，記作AA。、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N或N。、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。集合的表示方法、列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合、描述法用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關(guān)系、子集一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB（或BA）。相等如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作AB。、真子集如何集合A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。、空集我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即AA、對(duì)于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運(yùn)算、并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作AB。（在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即ABX|XA，或XB。、交集一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作AB。即ABX|XA，且XB。、補(bǔ)集全集一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作U。補(bǔ)集對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集。簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA。即CUAX|XU，且XA。集合中元素的個(gè)數(shù)、有限集我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集。、用CARD來表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如AA,B,C，則CARDA3。、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、B，有CARDACARDBCARDABCARDAB我的問題1、學(xué)校里開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)AX|X是參加一百米跑的同學(xué)，BX|X是參加二百米跑的同學(xué)，CX|X是參加四百米跑的同學(xué)。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。、AB；、AB。2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合CX,Y|YX表示直線YX，從這個(gè)角度看，集合DX,Y|方程組2XY1,X4Y5表示什么集合C、D之間有什么關(guān)系請(qǐng)分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。3、已知集合AX|1X3，BX|X1XA0。試判斷B是不是A的子集是否存在實(shí)數(shù)A使AB成立4、對(duì)于有限集合A、B、C，能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢5、無限集合A1，2，3，4，N，B2，4，6，8，2N，你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎2、常量與變量、變量的定義我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。、變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間AXBA，B開區(qū)間AXB（A，B）半開區(qū)間AXB或AXB（A，B或A，B）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間A，表示不小于A的實(shí)數(shù)的全體，也可記為AX；，B表示小于B的實(shí)數(shù)的全體，也可記為XB；，表示全體實(shí)數(shù)，也可記為X注其中和，分別讀作“負(fù)無窮大“和“正無窮大“,它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。、鄰域設(shè)與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0滿足不等式X的實(shí)數(shù)X的全體稱為點(diǎn)的鄰域，點(diǎn)稱為此鄰域的中心，稱為此鄰域的半徑。2、函數(shù)、函數(shù)的定義如果當(dāng)變量X在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量Y按照一定的法則F總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱Y是X的函數(shù)。變量X的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通常X叫做自變量，Y叫做函數(shù)值（或因變量），變量Y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。注為了表明Y是X的函數(shù)，我們用記號(hào)YFX、YFX等等來表示。這里的字母“F“、“F“表示Y與X之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個(gè)函數(shù)相等。、域函數(shù)的表示方法A解析法用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例直角坐標(biāo)系中，半徑為R、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是X2Y2R2B表格法將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。C圖示法用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例直角坐標(biāo)系中，半徑為R、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為3、函數(shù)的簡單性態(tài)、函數(shù)的有界性如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有X值總有FXM成立，其中M是一個(gè)與X無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱FX在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題函數(shù)COSX在,內(nèi)是有界的、函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)在區(qū)間A,B內(nèi)隨著X增大而增大，即對(duì)于A,B內(nèi)任意兩點(diǎn)X1及X2，當(dāng)X1X2時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間A,B內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)在區(qū)間A,B內(nèi)隨著X增大而減小，即對(duì)于A,B內(nèi)任意兩點(diǎn)X1及X2，當(dāng)X1X2時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間A,B內(nèi)是單調(diào)減小的。例題函數(shù)X2在區(qū)間,0上是單調(diào)減小的，在區(qū)間0,上是單調(diào)增加的。、函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意X都滿足，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意X都滿足，則叫做奇函數(shù)。注偶函數(shù)的圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。、函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)L，使得關(guān)系式對(duì)于定義域內(nèi)任何X值都成立，則叫做周期函數(shù)，L是的周期。注我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；函數(shù)TGX是以為周期的周期函數(shù)。4、反函數(shù)、反函數(shù)的定義設(shè)有函數(shù)，若變量Y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值Y0時(shí)，變量X在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值X0與之對(duì)應(yīng)，即，那末變量X是變量Y的函數(shù)這個(gè)函數(shù)用來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù)注由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。、反函數(shù)的存在定理若在A，B上嚴(yán)格增減，其值域?yàn)镽，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增減注嚴(yán)格增減即是單調(diào)增減例題YX2，其定義域?yàn)?，值域?yàn)?,對(duì)于Y取定的非負(fù)值,可求得X若我們不加條件，由Y的值就不能唯一確定X的值，也就是在區(qū)間,上，函數(shù)不是嚴(yán)格增減，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求X0，則對(duì)Y0、X就是YX2在要求X0時(shí)的反函數(shù)。即是函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增減、反函數(shù)的性質(zhì)在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線YX對(duì)稱的。例題函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線YX對(duì)稱的。如右圖所示5、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義若Y是U的函數(shù)，而U又是X的函數(shù)，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，Y通過U的聯(lián)系也是X的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中U叫做中間變量。注并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。因?yàn)閷?duì)于的定義域,中的任何X值所對(duì)應(yīng)的U值（都大于或等于2），使都沒有定義。6、初等函數(shù)、基本初等函數(shù)我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下函數(shù)名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)A不論X為何值,Y總為正數(shù)B當(dāng)X0時(shí),Y1對(duì)數(shù)函數(shù)A其圖形總位于Y軸右側(cè),并過1,0點(diǎn)B當(dāng)A1時(shí),在區(qū)間0,1的值為負(fù)；在區(qū)間,的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增冪函數(shù)A為任意實(shí)數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。令A(yù)M/NA當(dāng)M為偶數(shù)N為奇數(shù)時(shí),Y是偶函數(shù)B當(dāng)M,N都是奇數(shù)時(shí),Y是奇函數(shù)C當(dāng)M奇N偶時(shí),Y在,0無意義三角函數(shù)正弦函數(shù)這里只寫出了正弦函數(shù)A正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)B正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)反正弦函數(shù)這里只寫出了反正弦函數(shù)A由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在/2,/2上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù)例題是初等函數(shù)。7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是用表格來描述函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦A其定義域?yàn)?；B是奇函數(shù)；C在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦A其定義域?yàn)?；B是偶函數(shù)；C其圖像過點(diǎn)0,1；雙曲正切A其定義域?yàn)?；B是奇函數(shù)；C其圖形夾在水平直線Y1及Y1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們?cè)賮砜匆幌码p曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)SHX與THX是奇函數(shù)，CHX是偶函數(shù)SINX與TANX是奇函數(shù)，COSX是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式、反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)A反雙曲正弦函數(shù)其定義域?yàn)?；B反雙曲余弦函數(shù)其定義域?yàn)?,；C反雙曲正切函數(shù)其定義域?yàn)?,1；8、數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。、數(shù)列若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)A1，第二個(gè)數(shù)A2，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)N對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)AN，那末，我們稱這列有次序的數(shù)A1，A2，AN，為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第N項(xiàng)AN叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)注我們也可以把數(shù)列AN看作自變量為正整數(shù)N的函數(shù)，即AN，它的定義域是全體正整數(shù)、極限極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去一般把內(nèi)接正62N1邊形的面積記為AN可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積A1，A2，A3，AN，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，AN也無限接近某一確定的數(shù)值圓的面積，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，AN，當(dāng)N讀作N趨近于無窮大的極限。注上面這個(gè)例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽公元三世紀(jì)的割圓術(shù)。、數(shù)列的極限一般地，對(duì)于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)不論其多么小，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于NN時(shí)的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)A是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于A記作或注此定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與A無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是隨著的給定而選定的。、數(shù)列的極限的幾何解釋在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為A的一個(gè)幾何解釋將常數(shù)A及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)A的鄰域即開區(qū)間A，A，如下圖所示因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)NN時(shí)，所有的點(diǎn)都落在開區(qū)間A，A內(nèi)，而只有有限個(gè)至多只有N個(gè)在此區(qū)間以外。注至于如何求數(shù)列的極限，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。、數(shù)列的有界性對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。定理若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注有界的數(shù)列不一定收斂，即數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例數(shù)列1，1，1，1，1N1，是有界的，但它是發(fā)散的。9、函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限函數(shù)的極值有兩種情況A自變量無限增大；B自變量無限接近某一定點(diǎn)X0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念、函數(shù)的極限分兩種情況A自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)不論其多么小，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式的一切X，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)X時(shí)的極限，記作下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)0，總可找到一正整數(shù)N，對(duì)于NN的所有都滿足則稱數(shù)列，當(dāng)X時(shí)收斂于A記。存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切X，都滿足，函數(shù)當(dāng)X時(shí)的極限為A，記。從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么試思考之B自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來看一個(gè)例子例函數(shù)，當(dāng)X1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢如何函數(shù)在X1處無定義我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把X1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖從中我們可以看出X1時(shí)，2而且只要X與1有多接近，就與2有多接近或說只要與2只差一個(gè)微量，就一定可以找到一個(gè)，當(dāng)時(shí)滿足定義設(shè)函數(shù)在某點(diǎn)X0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對(duì)任意給定的不論其多么小，總存在正數(shù)，當(dāng)0時(shí)，則稱函數(shù)當(dāng)XX0時(shí)存在極限，且極限為A，記。注在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢這是因?yàn)槲覀冎挥懻揦X0的過程，與XX0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是對(duì)給出的，是否存在正數(shù)，使其在去心鄰域內(nèi)的X均滿足不等式。有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是怎樣的呢A先任取0；B寫出不等式；C解不等式能否得出去心鄰域0，若能；D則對(duì)于任給的0，總能找出，當(dāng)0時(shí)，成立，因此10、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若已知XX0或X時(shí)，則推論在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡單的函數(shù)來求極限。例題求解答例題求此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢下面我們把它解出來。解答注通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。我們先來看一個(gè)例子例符號(hào)函數(shù)為對(duì)于這個(gè)分段函數(shù),X從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的為此我們定義了左、右極限的概念。定義如果X僅從左側(cè)XX0趨近X0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限記如果X僅從右側(cè)XX0趨近X0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限記注只有當(dāng)XX0時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在XX0時(shí)有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則一對(duì)于點(diǎn)X0的某一鄰域內(nèi)的一切X，X0點(diǎn)本身可以除外或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切X有，且，那末存在，且等于A注此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則二單調(diào)有界的函數(shù)必有極限注有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個(gè)重要的極限一注其中E為無理數(shù)，它的值為E2718281828459045二注在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明注我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們例題求解答令，則X2T，因?yàn)閄，故T，則注解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象X時(shí)，若用T代換1/X，則T0無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個(gè)例子已知函數(shù)，當(dāng)X0時(shí)，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下設(shè)有函數(shù)Y，在XX0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N一個(gè)任意大的數(shù)，總可找到正數(shù)，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大量。記為（表示為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)X時(shí)，無限趨大的定義設(shè)有函數(shù)Y，當(dāng)X充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N一個(gè)任意大的數(shù)，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)X時(shí)是無窮大量，記為無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)不論它多么小，總存在正數(shù)或正數(shù)M，使得對(duì)于適合不等式或的一切X，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)或X時(shí)為無窮小量記作或注意無窮大量與無窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的關(guān)于無窮小量的兩個(gè)定理定理一如果函數(shù)在或X時(shí)有極限A，則差是當(dāng)或X時(shí)的無窮小量，反之亦成立。定理二無窮小量的有利運(yùn)算定理A有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；B有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；C常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小那么兩個(gè)無窮小量的商會(huì)是怎樣的呢好接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。定義設(shè)，都是時(shí)的無窮小量，且在X0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，A如果，則稱是的高階無窮小或是的低階無窮??；B如果，則稱和是同階無窮?。籆如果，則稱和是等價(jià)無窮小，記作與等價(jià)例因?yàn)?，所以?dāng)X0時(shí)，X與3X是同階無窮?。灰?yàn)?，所以?dāng)X0時(shí)，X2是3X的高階無窮小；因?yàn)椋援?dāng)X0時(shí)，SINX與X是等價(jià)無窮小。等價(jià)無窮小的性質(zhì)設(shè)，且存在，則注這個(gè)性質(zhì)表明求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來簡化求極限問題。例題1求解答當(dāng)X0時(shí)，SINAXAX，TANBXBX，故例題2求解答注注從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念增量設(shè)變量X從它的一個(gè)初值X1變到終值X2，終值與初值的差X2X1就叫做變量X的增量，記為X即XX2X1增量X可正可負(fù)我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子函數(shù)在點(diǎn)X0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在領(lǐng)域內(nèi)從X0變到X0X時(shí)，函數(shù)Y相應(yīng)地從變到，其對(duì)應(yīng)的增量為這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述如果當(dāng)X趨向于零時(shí)，函數(shù)Y對(duì)應(yīng)的增量Y也趨向于零，即，那末就稱函數(shù)在點(diǎn)X0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)X0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點(diǎn)X0處連續(xù)，且稱X0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn)下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間A,B內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)B左連續(xù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間A,B內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)A右連續(xù)一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間A,B內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在A,B連續(xù)，若又在A點(diǎn)右連續(xù)，B點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間A，B連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù)注連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn)它包括三種情形A在X0無定義；B在XX0時(shí)無極限；C在XX0時(shí)有極限但不等于；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型例1正切函數(shù)在處沒有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)；例2函數(shù)在點(diǎn)X0處沒有定義；故當(dāng)X0時(shí)，函數(shù)值在1與1之間變動(dòng)無限多次，我們就稱點(diǎn)X0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)；例3函數(shù)當(dāng)X0時(shí)，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)X0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)X0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來如下間斷點(diǎn)的分類我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類如果X0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把X0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)若X0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但極限存在，那末X0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是不存在或者是存在但。我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn)X0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)X0稱為可去間斷點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論A有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；B有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；C兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)分母在該點(diǎn)不為零；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增或單調(diào)減且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增單調(diào)減且連續(xù)例函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間1,1上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)當(dāng)XX0時(shí)的極限存在且等于A，即而函數(shù)在點(diǎn)UA連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)XX0時(shí)的極限也存在且等于即例題求解答注函數(shù)可看作與復(fù)合而成，且函數(shù)在點(diǎn)UE連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)XX0連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)UU0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)XX0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù)對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下最大值最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。在此不作證明例函數(shù)YSINX在閉區(qū)間0，2上連續(xù)，則在點(diǎn)X/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間0，2上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn)X3/2處，它的函數(shù)值為1，且小于閉區(qū)間0，2上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值。介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即，在、之間，則在A，B間一定有一個(gè)，使推論在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題。例設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿X軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置X是時(shí)間T的函數(shù)，求質(zhì)點(diǎn)在T0的瞬時(shí)速度我們知道時(shí)間從T0有增量T時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量，這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段T的位移。因此，在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在T0的瞬時(shí)速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在T0時(shí)的瞬時(shí)速度。我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段T無限地接近于0時(shí)，此平均速度會(huì)無限地接近于質(zhì)點(diǎn)T0時(shí)的瞬時(shí)速度，即質(zhì)點(diǎn)在T0時(shí)的瞬時(shí)速度為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)X0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在X0處有增量XXX也在該鄰域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若Y與X之比當(dāng)X0時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為在X0處的導(dǎo)數(shù)。記為還可記為，函數(shù)在點(diǎn)X0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點(diǎn)X0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間A,B內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間A,B內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)對(duì)于區(qū)間A,B內(nèi)的每一個(gè)確定的X值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。注導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在XX0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在XX0處的右導(dǎo)數(shù)。注函數(shù)在X0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在X0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則法則兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和差的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和差用公式可寫為。其中U、V為可導(dǎo)函數(shù)。例題已知，求解答例題已知，求解答函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可寫成例題已知，求解答函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成例題已知，求解答注若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成例題已知，求解答復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個(gè)例子例題求解答由于，故這個(gè)解答正確嗎這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，正確的解答應(yīng)該如下我們發(fā)生錯(cuò)誤的原因是是對(duì)自變量X求導(dǎo)，而不是對(duì)2X求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為，其中U為中間變量例題已知，求解答設(shè),則可分解為,因此注在以后解題中，我們可以中間步驟省去。例題已知，求解答反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下我們以定理的形式給出定理若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點(diǎn)X可導(dǎo)，且有注通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注這里的反函數(shù)是以Y為自變量的，我們沒有對(duì)它作記號(hào)變換。即是對(duì)Y求導(dǎo)，是對(duì)X求導(dǎo)例題求的導(dǎo)數(shù)解答此函數(shù)的反函數(shù)為，故則例題求的導(dǎo)數(shù)解答此函數(shù)的反函數(shù)為，故則高階導(dǎo)數(shù)我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度VT是位置函數(shù)ST對(duì)時(shí)間T的導(dǎo)數(shù)，即，而加速度A又是速度V對(duì)時(shí)間T的變化率，即速度V對(duì)時(shí)間T的導(dǎo)數(shù)，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做S對(duì)T的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是X的函數(shù)我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即或相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地N1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做N階導(dǎo)數(shù)分別記作，或，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題已知，求解答因?yàn)锳，故0例題求對(duì)數(shù)函數(shù)的N階導(dǎo)數(shù)。解答，一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式若函數(shù)Y可以用含自變量X的算式表示，像YSINX，Y13X等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù)前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù)一般地，如果方程FX,Y0中，令X在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的Y值存在，則我們就說方程FX,Y0在該區(qū)間上確定了X的隱函數(shù)Y把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢下面讓我們來解決這個(gè)問題隱函數(shù)的求導(dǎo)若已知FX,Y0，求時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解A若方程FX,Y0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；B若方程FX,Y0，不能化為的形式，則是方程兩邊對(duì)X進(jìn)行求導(dǎo)，并把Y看成X的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。例題已知，求解答此方程不易顯化，故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法兩邊對(duì)X進(jìn)行求導(dǎo)，故注我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)X進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量Y看成X的函數(shù)，然后對(duì)其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。例題求隱函數(shù)，在X0處的導(dǎo)數(shù)解答兩邊對(duì)X求導(dǎo)，故，當(dāng)X0時(shí)，Y0故。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對(duì)某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒有一種比較直觀的方法呢下面我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對(duì)某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù)，然后在求導(dǎo)。注此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。例題已知X0，求此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對(duì)其兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下解答先兩邊取對(duì)數(shù)，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)因?yàn)?，所以例題已知，求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)解答先兩邊取對(duì)數(shù)再兩邊求導(dǎo)因?yàn)?，所以函?shù)的微分學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個(gè)具體問題一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí)，其邊長由X0變到了X0X，則此薄片的面積改變了多少解答設(shè)此薄片的邊長為X，面積為A，則A是X的函數(shù)薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量X從X0取的增量X時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增量A，即。從上式我們可以看出，A分成兩部分，第一部分是X的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當(dāng)X0時(shí)，它是X的高階無窮小，表示為由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長變化的很小時(shí)，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義函數(shù)微分的定義設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，X0及X0X在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于X的常數(shù)，是X的高階無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)X0可微的。叫做函數(shù)在點(diǎn)X0相應(yīng)于自變量增量X的微分，記作DY，即。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道微分是自變量改變量X的線性函數(shù)，DY與Y的差是關(guān)于X的高階無窮小量，我們把DY稱作Y的線性主部。于是我們又得出當(dāng)X0時(shí)，YDY導(dǎo)數(shù)的記號(hào)為，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值把X看成DX,即定義自變量的增量等于自變量的微分，還可表示為由此我們得出若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。微分形式不變性什么是微分形式不邊形呢設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為，由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成由此可見，不論U是自變量還是中間變量，的微分DY總可以用與DU的乘積來表示，我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。例題已知，求DY解答把2X1看成中間變量U，根據(jù)微分形式不變性，則通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則是怎樣的呢下面我們來學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分公式由于函數(shù)微分的表達(dá)式為，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對(duì)比一下部分公式導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分運(yùn)算法則由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)照一下函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。例題設(shè)，求對(duì)X3的導(dǎo)數(shù)解答根據(jù)微分形式的不變性微分的應(yīng)用微分是表示函數(shù)增量的線性主部計(jì)算函數(shù)的增量，有時(shí)比較困難，但計(jì)算微分則比較簡單，為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用例題求的近似值。解答我們發(fā)現(xiàn)用計(jì)算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題故其近似值為1025精確值為1024695三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分學(xué)中值定理在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個(gè)問題，如下設(shè)有連續(xù)函數(shù)，A與B是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)AB，假定此函數(shù)在A,B處處可導(dǎo)，也就是在A,B內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動(dòng)，那么至少有一次機(jī)會(huì)達(dá)到離割線最遠(yuǎn)的一點(diǎn)PXC處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此成立。注這個(gè)結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間A,B上連續(xù)，在開區(qū)間A,B內(nèi)可導(dǎo)，那末在A,B內(nèi)至少有一點(diǎn)C，使成立。這個(gè)定理的特殊情形，即的情形，稱為羅爾定理。描述如下若在閉區(qū)間A,B上連續(xù)，在開區(qū)間A,B內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在A,B內(nèi)至少有一點(diǎn)C，使成立。注這個(gè)定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。注在此我們對(duì)這兩個(gè)定理不加以證明，若有什么疑問，請(qǐng)參考相關(guān)書籍下面我們?cè)趯W(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理柯西中值定理柯西中值定理如果函數(shù)，在閉區(qū)間A，B上連續(xù)，在開區(qū)間A，B內(nèi)可導(dǎo)，且0，那末在A，B內(nèi)至少有一點(diǎn)C，使成立。例題證明方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根證明不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在0，1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理可知，在0與1之間至少有一點(diǎn)C，使，即也就是方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根未定式問題問題什么樣的式子稱作未定式呢答案對(duì)于函數(shù),來說，當(dāng)XA或X時(shí)，函數(shù),都趨于零或無窮大則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為型我們?nèi)菀字?，?duì)于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用“商的極限等于極限的商“這個(gè)法則來求解的，那么我們?cè)撊绾吻筮@類問題的極限呢下面我們來學(xué)習(xí)羅彼塔LHOSPITAL法則，它就是這個(gè)問題的答案注它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。羅彼塔LHOSPITAL法則當(dāng)XA或X時(shí)，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點(diǎn)A的某個(gè)去心鄰域內(nèi)或當(dāng)XN時(shí)，與都存在，0，且存在則這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔LHOSPITAL法則注它是以前求極限的法則的補(bǔ)充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。例題求解答容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因?yàn)樗俏炊ㄊ街械男颓蠼鈫栴}，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。例題求解答此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來求解另外，若遇到、等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。例題求解答此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解，注羅彼塔法則只是說明對(duì)未定式來說，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時(shí)，也不存在，此時(shí)只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增或減，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正或負(fù),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值或負(fù)值因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的增減性判定方法設(shè)函數(shù)在A,B上連續(xù)，在A,B內(nèi)可導(dǎo)A如果在A,B內(nèi)0，那末函數(shù)在A,B上單調(diào)增加；B如果在A,B內(nèi)0，那末函數(shù)在A,B上單調(diào)減少例題確定函數(shù)的增減區(qū)間解答容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)?其導(dǎo)數(shù)為，因此可以判出當(dāng)X0時(shí)，0，故它的單調(diào)增區(qū)間為0,；當(dāng)X0時(shí)，0，故它的單調(diào)減區(qū)間為,0；注此判定方法若反過來講，則是不正確的。函數(shù)的極值及其求法在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來看一例子設(shè)有函數(shù)，容易知道點(diǎn)X1及X2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，又可知在點(diǎn)X1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點(diǎn)X1右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的因此存在著點(diǎn)X1的一個(gè)鄰域,對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi),任何點(diǎn)XX1除外，均成立，點(diǎn)X2也有類似的情況在此不多說,為什么這些點(diǎn)有這些性質(zhì)呢事實(shí)上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容函數(shù)的極值，函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間A,B內(nèi)有定義，X0是A,B內(nèi)一點(diǎn)若存在著X0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)XX0點(diǎn)除外，均成立，則說是函數(shù)的一個(gè)極大值；若存在著X0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)XX0點(diǎn)除外，均成立，則說是函數(shù)的一個(gè)極小值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢學(xué)習(xí)這個(gè)問題之前，我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)一個(gè)概念駐點(diǎn)凡是使的X點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。判斷極值點(diǎn)存在的方法有兩種如下方法一設(shè)函數(shù)在X0點(diǎn)的鄰域可導(dǎo)，且情況一若當(dāng)X取X0左側(cè)鄰近值時(shí)，0，當(dāng)X取X0右側(cè)鄰近值時(shí)，0，則函數(shù)在X0點(diǎn)取極大值。情況一若當(dāng)X取X0左側(cè)鄰近值時(shí)，0，當(dāng)X取X0右側(cè)鄰近值時(shí)，0，則函數(shù)在X0點(diǎn)取極小值。注此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在X0點(diǎn)不存在的情況。用方法一求極值的一般步驟是A求；B求的全部的解駐點(diǎn)；C判斷在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。例題求極值點(diǎn)解答先求導(dǎo)數(shù)再求出駐點(diǎn)當(dāng)時(shí)，X2、1、4/5判定函數(shù)的極值，如下圖所示方法二設(shè)函數(shù)在X0點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù)，且時(shí)則A當(dāng)0，函數(shù)在X0點(diǎn)取極大值；B當(dāng)0，函數(shù)在X0點(diǎn)取極小值；C當(dāng)0，其情形不一定，可由方法一來判定例題我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。解答上面我們已求出了此函數(shù)的駐點(diǎn)，下面我們?cè)賮砬笏亩A導(dǎo)數(shù)。，故此時(shí)的情形不確定，我們可由方法一來判定；0，故此點(diǎn)為極大值點(diǎn)；0，故此點(diǎn)為極小值點(diǎn)。函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常會(huì)遇到這樣一類問題在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多“、“用料最省“、“成本最低“等。這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。要求在A,B上的最大值、最小值時(shí)，可求出開區(qū)間A,B內(nèi)全部的極值點(diǎn)，加上端點(diǎn)的值，從中取得最大值、最小值即為所求。例題求函數(shù)，在區(qū)間3，3/2的最大值、最小值。解答在此區(qū)間處處可導(dǎo)，先來求函數(shù)的極值，故X1，再來比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。因?yàn)?，故函?shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。例題圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最省解答由題意可知為一常數(shù)，面積故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。故時(shí)，用料最省。曲線的凹向與拐點(diǎn)通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進(jìn)一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。定義對(duì)區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。曲線凹向的判定定理定理一設(shè)函數(shù)在區(qū)間A,B上可導(dǎo)，它對(duì)應(yīng)曲線是向上凹或向下凹的充分必要條件是導(dǎo)數(shù)在區(qū)間A,B上是單調(diào)增或單調(diào)減。定理二設(shè)函數(shù)在區(qū)間A,B上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末若在A,B內(nèi)，0，則在A,B對(duì)應(yīng)的曲線是下凹的；若在A,B內(nèi)，0，則在A,B對(duì)應(yīng)的曲線是上凹的；例題判斷函數(shù)的凹向解答我們根據(jù)定理二來判定。因?yàn)椋栽诤瘮?shù)的定義域0,內(nèi)，0，故函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線時(shí)下凹的。拐點(diǎn)的定義連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn)。拐定的判定方法如果在區(qū)間A,B內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點(diǎn)。1求；2令0，解出此方程在區(qū)間A,B內(nèi)實(shí)根；3對(duì)于2中解出的每一個(gè)實(shí)根X0，檢查在X0左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，若符號(hào)相反，則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn)。例題求曲線的拐點(diǎn)。解答由，令0，得X0，2/3判斷在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，可知此兩點(diǎn)皆是曲線的拐點(diǎn)。四、不定積分不定積分的概念原函數(shù)的概念已知函數(shù)FX是一個(gè)定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)FX，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都有DFXFXDX，則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)FX為函數(shù)FX的原函數(shù)。例SINX是COSX的原函數(shù)。關(guān)于原函數(shù)的問題函數(shù)FX滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢這個(gè)問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個(gè)呢我們可以明顯的看出來若函數(shù)FX為函數(shù)FX的原函數(shù)，即F“XFX，則函數(shù)族FXCC為任一個(gè)常數(shù)）中的任一個(gè)函數(shù)一定是FX的原函數(shù)，故若函數(shù)FX有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個(gè)不定積分的概念函數(shù)FX的全體原函數(shù)叫做函數(shù)FX的不定積分，記作。由上面的定義我們可以知道如果函數(shù)FX為函數(shù)FX的一個(gè)原函數(shù)，那末FX的不定積分就是函數(shù)族FXC即FXC例題求解答由于，故不定積分的性質(zhì)1、函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和；即2、求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來，即求不定積分的方法換元法換元法（一）設(shè)FU具有原函數(shù)FU，UGX可導(dǎo)，那末FGX是FGXGX的原函數(shù)即有換元公式例題求解答這個(gè)積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。設(shè)U2X，那末COS2XCOSU，DU2DX，因此換元法（二）設(shè)XGT是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且GT0，又設(shè)FGTGT具有原函數(shù)T，則GX是FX的原函數(shù)其中GX是XGT的反函數(shù)）即有換元公式例題求解答這個(gè)積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元設(shè)XASINT/2A如果極限存在，則此極限叫做函數(shù)FX在無窮區(qū)間A,）上的廣義積分，記作，即此時(shí)也就是說廣義積分收斂。如果上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時(shí)雖然用同樣的記號(hào)，但它已不表示數(shù)值了。類似地，設(shè)函數(shù)FX在區(qū)間，B上連續(xù)，取A0，如果極限存在，則極限叫做函數(shù)FX在A,B上的廣義積分，仍然記作即，這時(shí)也說廣義積分收斂如果上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。類似地，設(shè)FX在A,B上連續(xù)，而取0，如果極限存在，則定義；否則就說廣義積分發(fā)散。又，設(shè)FX在A,B上除點(diǎn)CA0解答因?yàn)椋訶A為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)，于是我們有上面所學(xué)得公式可得六、空間解析幾何空間直角坐標(biāo)系空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)系為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)。過定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長度單位這三條軸分別叫做X軸橫軸）、Y軸縱軸、Z軸豎軸；統(tǒng)稱坐標(biāo)軸通常把X軸和Y軸配置在水平面上，而Z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住Z軸，當(dāng)右手的四指從正向X軸以/2角度轉(zhuǎn)向正向Y軸時(shí)，大拇指的指向就是Z軸的正向，這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。（如下圖所示）三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱坐標(biāo)面。取定了空間直角坐標(biāo)系后，就可以建