120111PPPJJKJJJJJKJJYBXBXBX三、二次回歸正交設(shè)計二次回歸正交設(shè)計是一種具有正交、回歸、均勻和較好飽和程度的一種試驗(yàn)設(shè)計方法，其特點(diǎn)是能以較少的試驗(yàn)獲得較大量的信息，并可得出試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)與各試驗(yàn)因素之間的一次效應(yīng)、一次交互效應(yīng)和二次項(xiàng)之間的關(guān)系，能夠滿足一般非線性問題的要求，從而使統(tǒng)計分析的結(jié)果更加完善。同時利用該方法還可根據(jù)求出的回歸方程，尋求最佳的工藝條件或搭配方案，使試驗(yàn)設(shè)計達(dá)到最優(yōu)化。當(dāng)用一次回歸正交設(shè)計描述某一實(shí)際問題得到的回歸方程經(jīng)檢驗(yàn)為不顯著時，就需考慮用二次或更高次的回歸方程來描述。（一）二次回歸數(shù)學(xué)模型假設(shè)影響試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的因素（自變量）有P個，則所求的二次回歸方程的一般形式為其中（1）、分別是一次項(xiàng)、一次交互作用JKJ2J項(xiàng)與二次項(xiàng)的編碼因素；（2）分別是與之相對應(yīng)的回歸系數(shù)，顯然，0,JKJJB回歸系數(shù)的個數(shù)Q為12112212PPPPPPQCCP根據(jù)編碼空間的試驗(yàn)設(shè)計方案和試驗(yàn)結(jié)果，即可求得回歸系數(shù)，且試驗(yàn)的次數(shù)就不能小于Q；同時，每個變量至少要取3個水平。如果因素水平多，則需做的試驗(yàn)次數(shù)就增多，必如若考慮4個因素，每個因素3個水平，那么各種搭配組合的試驗(yàn)都要做的話，則需做3481次試驗(yàn)，而待確定的回歸系數(shù)有C24215個，如此多的試驗(yàn)與待定參數(shù)在實(shí)際中是難以實(shí)現(xiàn)的，如果設(shè)計得不合理，則試驗(yàn)次數(shù)與待定參數(shù)就會更多，因而很有必要對試驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計，有很多設(shè)計可用于二次回歸數(shù)學(xué)模型，而二次回歸正交設(shè)計則是一種非常有效的處理方法2二次回歸正交組合設(shè)計（1）組合設(shè)計所謂組合設(shè)計就是在一次回歸設(shè)計的組合點(diǎn)（各試驗(yàn)點(diǎn)）的基礎(chǔ)上，再增加一些特定的試驗(yàn)點(diǎn)，把它們組合起來形成試驗(yàn)方案。例如在一次回歸設(shè)計中，二因素的4個試驗(yàn)是在因子空間正方形平面區(qū)域的四個頂點(diǎn)上進(jìn)行的，三個因素的8個試驗(yàn)是在因子空間正方體的八個頂點(diǎn)上進(jìn)行的。而組合設(shè)計，對二因素再加5個特定的試驗(yàn)點(diǎn)，共9個，對三因素再加7個特定的試驗(yàn)點(diǎn)，共15個組合起來形成試驗(yàn)方案（如圖所示）。根據(jù)二次回歸正交設(shè)計的要求，為區(qū)分隨機(jī)誤差和試驗(yàn)誤差，應(yīng)增加中心試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)（各因素都取零水平的中心點(diǎn)重復(fù)試驗(yàn)）。一般來講，P個因素的組合設(shè)計的N個試驗(yàn)都是由三部分組合而成，即NMC2PM0其中M0各因素都取零水平的中心點(diǎn)試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)MC為圖中實(shí)點(diǎn)所示的二水平全因素試驗(yàn)的試驗(yàn)次數(shù)2P，它是一次回歸正交設(shè)計的所有試驗(yàn)點(diǎn)。MC的取值規(guī)則為（I）當(dāng)采取全因素試驗(yàn)時，取MC2P（II）對于因素較多的試驗(yàn)，如P4，也可采取部分實(shí)施計劃，此時MC2P1，2P2，如果是1/2實(shí)施，則取MC2P1；如果是1/4實(shí)施，則取MC2P2等。2P圖中分布在P個坐標(biāo)軸上的星號點(diǎn)個數(shù)，這些點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離R稱為星號臂，這個值是根據(jù)正交性的要求而確定的參數(shù)值,從圖中不難看出，加星號臂上的試驗(yàn)仍具有均勻性和分散性這兩個特點(diǎn)。（2）星號臂R長度的確定為使組合設(shè)計成為正交設(shè)計也就是使設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣221NIJIJIJIZZ具有正交性，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知，星號臂R長度必須滿足4202CCMRRP當(dāng)MC2P（全實(shí)施）時，則有022CCMPMR即星號臂長R與因素的個數(shù)P,中心點(diǎn)試驗(yàn)次數(shù)M0以及二水平試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)MC有關(guān)。實(shí)際應(yīng)用中，R的值一般可通過查表（見表731）的方法得到。表731星號臂R2值表PMC2341/2451/2511000147613532000239025472116016571414219825802762313171831147123902770297441475200015252580295031835160621641575277031403391（3）各平方項(xiàng)中心化各自然變量X2J對應(yīng)著規(guī)范變量Z2J，由于正交設(shè)計中，ZKZJ列的元素等于ZK與ZJ列元素的積，從而Z2J列的元素應(yīng)等于ZJ元素的平方，即Z2IJZIJ2，但這樣作卻使得結(jié)構(gòu)矩陣失去正交性，為保持組合設(shè)計的正交性，必須通過如下中心化變換方法152221115222291911815075461IIIIZZ把Z2IJ列變換為ZJ列，由此可構(gòu)造出滿足得構(gòu)造出正交設(shè)計要求的二次回歸正交設(shè)計表，例如表732所示。表732三因素二次回歸正交設(shè)計表（結(jié)構(gòu)矩陣）P3、M01、MC238試驗(yàn)號Z0Z1Z2Z3Z1Z2Z1Z3Z2Z3Z1Z2Z3111111110270270272111111102702702731111111027027027411111110270270275111111102702702761111111027027027711111110270270278111111102702702791121500000074607307310112150000007460746073111012150000073074607312101215000007307307313100121500007307307461410012150000730730746151000000073073073表中的有關(guān)數(shù)據(jù)的計算方法I星號臂長度R查表可得2476,47615RIIZJ的值說明由表732不難看出虛線以上的部分正好是三因素一01111,IJNNNNIJIJKJIKJIJIIIIBYZYBZYBZY0222111,IJJKJJJKJJJJJNNNJJIKJJIJIIIBBBBDDDZZZ其中次回歸正交表,即前8個試驗(yàn)是在一次回歸正交設(shè)計中所做的試驗(yàn)從第9號到14號這6個試驗(yàn)則是在星號點(diǎn)上加做的試驗(yàn)第15號是在中心點(diǎn)上做的試驗(yàn),因此,用二次回歸正交設(shè)計安排試驗(yàn)除具有正交性的特點(diǎn)外,還具有這樣的優(yōu)點(diǎn),即試驗(yàn)點(diǎn)比三水平全因素試驗(yàn)要少許多,且仍能保持足夠的剩余自由度,供統(tǒng)計分析時用其次它是在一次回歸的基礎(chǔ)上獲得的,如果一次回歸不太理想時,那么只須在其基礎(chǔ)上,再在星號點(diǎn)和中心點(diǎn)處補(bǔ)充一些試驗(yàn),就可以求得二次回歸方程,這對于研究者來說是很有益處的3二次回歸正交組合設(shè)計的實(shí)施步驟1確定因素自然變量X1,X2,XP的變化范圍,并進(jìn)行因素的水平編碼,給出因素的水平編碼表2選擇適當(dāng)?shù)亩位貧w正交組合設(shè)計I先選定MC和M0，確定NMC2PM0II通過查表731或公式確定R，給出試驗(yàn)設(shè)計方案III實(shí)施試驗(yàn)，收集試驗(yàn)結(jié)果3根據(jù)試驗(yàn)資料數(shù)據(jù)計算回歸系數(shù)IBJ的計算IIBJ的計算222,JKJJJKJJJJJBBBUUDDD2211,1INNTITIITSYYFN1,NETJETUJSUUFFFIIIUJ計算4回歸方程的顯著性檢驗(yàn)I總平方和II剩余平方和III回歸方程的檢驗(yàn)統(tǒng)計量/,UUEEFFFFS對于給定的檢驗(yàn)水平，若，則回歸效果,UEFF顯著，否則就是不顯著。IV回歸系數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計量,/JKJJJKJJEEEUUFFFSFSFSF利用這些統(tǒng)計量可以判斷各回歸