高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)歸類復(fù)習(xí)考試小抄一、單項選擇題11下列各函數(shù)對中，（C）中的兩個函數(shù)相等A，B，2XFXG2XFXGC，D，3LNLN1121設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的圖形關(guān)于（C）對稱F,FA坐標(biāo)原點(diǎn)B軸C軸DXYX設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖形關(guān)于（D）對稱XFAB軸C軸D坐標(biāo)原點(diǎn)Y函數(shù)的圖形關(guān)于（A）對稱2EXA坐標(biāo)原點(diǎn)B軸C軸DYXY1下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）ABCD1LN2XYXYCOS2XA1LNX下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（A）ABCD3XE1LNYYSI下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（D）ABCDXYSIN1X2XCOS1LN2X21下列極限存計算不正確的是（D）AB2LIMX01LNIM0XCD0SNS22當(dāng)時，變量（C）是無窮小量ABCDXIX1X1IN2LX當(dāng)時，變量（C）是無窮小量ABCD0SI1E2X當(dāng)時，變量（D）是無窮小量ABCDXXLN下列變量中，是無窮小量的為（B）ABCD1SIN0XLN101XE24X31設(shè)在點(diǎn)X1處可導(dǎo)，則（D）FHFFH12LIM0ABCD1112F設(shè)在可導(dǎo)，則（D）XF0XFXFHLI00ABCD20XF設(shè)在可導(dǎo)，則（D）F0FFHLI00ABCDXFX20F設(shè)，則（A）ABCDFEFF1LIM0E2E14132下列等式不成立的是（D）ABCDXXDECOSSINXDXD211LNXD下列等式中正確的是（B）ABARTN1221CDXXLXCOTTA41函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（D）42XFABCD,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（A）5Y6A先單調(diào)下降再單調(diào)上升B單調(diào)下降C先單調(diào)上升再單調(diào)下降D單調(diào)上升函數(shù)在區(qū)間（5，5）內(nèi)滿足（A）62XA先單調(diào)下降再單調(diào)上升B單調(diào)下降C先單調(diào)上升再單調(diào)下降D單調(diào)上升函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（D）Y,2A先單調(diào)下降再單調(diào)上升B單調(diào)下降C先單調(diào)上升再單調(diào)下降D單調(diào)上升51若的一個原函數(shù)是，則（D）ABCDXFX1FXLN21X32X若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是（A）。FXFABAFDAAFBFDXBACDFFF52若，則（B）XCOSXFDABCDINCSCXSINCXOS下列等式成立的是（D）ABDFFFFCDXDX（B）ABCDFXD323F32XF1XF1（D）ABCDXF22XFXFD12FXFD23若，則（B）CFDABCDXCX2CXFCXF1補(bǔ)充,無窮積分收斂的是EFDED12函數(shù)的圖形關(guān)于Y軸對稱。XX10二、填空題函數(shù)的定義域是（3，）LN392F函數(shù)的定義域是（2，3）（3，4XXY4LN函數(shù)的定義域是（5，2）F1若函數(shù)，則10,2XXFF2若函數(shù)，在處連續(xù)，則E0,1XKXFK函數(shù)在處連續(xù)，則22SINF函數(shù)的間斷點(diǎn)是X00,SIN1XY函數(shù)的間斷點(diǎn)是X3。32函數(shù)的間斷點(diǎn)是X0XEY13曲線在處的切線斜率是1/2F2,1曲線在處的切線斜率是1/4曲線在（0，2）處的切線斜率是1XF曲線在處的切線斜率是33,32曲線在處的切線方程是Y1切線斜率是0FSIN1曲線YSINX在點(diǎn)0,0處的切線方程為YX切線斜率是14函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是（，0）1L2X函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（0，）EF函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是（，1）2函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（0，）F函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是（0，）2XY51DEEX2XDSIN22SITANXCTAN若，則9SIN3XCF3SIF523035D21123DX0EXDX1LN下列積分計算正確的是（B）ABCD0D1XEX0D1XEX0D12X0D|1三、計算題（一）、計算極限（1小題，11分）（1）利用極限的四則運(yùn)算法則，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)有定義，則極限0XFLIM00XFFX類型1利用重要極限，計算1SINLXKSNKXTANLI11求解X5SIN6LM056SIL5SI6L00XX12求解0TALI3XX3TANLM031TANLI1013求解IX類型2因式分解并利用重要極限，化簡計算。1SLAX1SINLAA21求解1SINLM21XXSINLM21XX21I22解21SLX211SINLMSINL21XXX23解3SIN4MXLI3SI3SI43323X類型3因式分解并消去零因子，再計算極限31解4586LI24X4586LI24XX12LIXX32LI4X3231X3335M17X33解423LIM2X412LIM21LI43LIM2XXXX其他，0SIN1LSIN1L020XXSINL1SINL00XX，546LI2X1LI2X54362LIX32LIX（0807考題）計算解XSIN8TALM0XSIN8TALM048SITAL0X（0801考題）計算解X2LI0X2LI021LI0X（0707考題）1SIN31431SINL1X（二）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分（1小題，11分）（1）利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則VUVU（2）利用導(dǎo)數(shù)基本公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式XLN1AAXEUEUXX2CSOTANICSSIXEXEXXXXSINCOSCIN2OCOSISIIN22XXXEEEUOSSSINI22XXEEEUSINSINCO2I22類型1加減法與乘法混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先加減求導(dǎo)，后乘法求導(dǎo)；括號求導(dǎo)最后計算。11XY3解Y3322XXEE1322XXE132XE12LNCOT解XXXXXYLN2CSLNLCS22213設(shè)，求EXLTAY解XEXXEYXX1SCTA1TATNLNT2類型2加減法與復(fù)合函數(shù)混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先加減求導(dǎo)，后復(fù)合求導(dǎo)21，求解LSI2YOLNSI2222，求NECOXY解222CSESICOSSINSIXXEXXX23，求，解X5LYY5455LNL類型3乘積與復(fù)合函數(shù)混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先乘積求導(dǎo)，后復(fù)合求導(dǎo)，求。解EYXCOS2XEXEXSICO2CS22其他，求。XY解2CLNOXYX2CSINL2XX0807設(shè)，求解SIEY2SININCOSXEYX0801設(shè)，求解2X222XXXEE0707設(shè)，求解SINCOSININSI0701設(shè)，求解XYECOLYXXY1L（三）積分計算（2小題，共22分）湊微分類型11D2XX計算解XCOS2CXD1SINCOSCOS20707計算解D1SIN2XOI1IN20701計算解XE2DE121XCX1E湊微分類型2D計算解XCOSCXDXXSIN2COSDCOS0807計算解DINOIN2IN0801計算解XECEXDEXEX湊微分類型3，DLN1LN1A計算解XDLNCXDUX|LLL計算解E12E1E1L2DL2X5L1EX5定積分計算題，分部積分法類型1CXAXDAXAXDAXDAAA12111LNLNLNLN計算解，E124L241LN2LN21LXD22E1EXXE0LLNEE計算解，E12DXACXXDX1LN1LNL2E2NE1E1計算解，DXE1LN2ACXXDX4LN2LLDE1N44LLN21EXXDE0807EL94219LN32ND3233E1EX0707EE12XLLX33類型2CEAXDAXA21XXEDE2101041042XX11EXXXDEDE21010241304222EXX（0801考題）E10X類型3CAXADAXAXDSIN1COCOSCSSIN2XXSIN1IN1ICO20SINXD102SINCOCS20XX20COIIN20CXXDXX2SIN41CO2COS1SDSIN2040I220220001111COSSIN|SINCOS|4XDXXDX四、應(yīng)用題（1題，16分）類型1圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大解如圖所示，圓柱體高與底半徑滿足HR22RH圓柱體的體積公式為LV2求導(dǎo)并令032L得，并由此解出LR6即當(dāng)?shù)装霃?，高時，圓柱體的體積最大LR36H類型2已知體積或容積，求表面積最小時的尺寸。21（0801考題）某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為V的有蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最省解設(shè)容器的底半徑為，高為，則其容積RH22,RHR表面積為RS2，由得，此時。24RV0S32V34VRH由實(shí)際問題可知，當(dāng)?shù)装霃脚c高時可使用料最省。3R一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最小解本題的解法和結(jié)果與21完L全相同。生產(chǎn)一種體積為V的無蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最省解設(shè)容器的底半徑為，高為，則無蓋圓柱形容器表面積為RH，令，得RVS2202RVS，RR,3由實(shí)際問題可知，當(dāng)?shù)装霃脚c高時可使用料最省。3RH22欲做一個底為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省（0707考題）解設(shè)底邊的邊長為，高為，用材料為，由已知，XHY322VHX2XH表面積，XVY422令，得，此時2042XV63,4X2由實(shí)際問題可知，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)，時用料最省。H欲做一個底為正方形，容積為625立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省解本題的解法與22同，只需把V625代入即可。類型3求求曲線上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)的距離最短KXY20,AA曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離平方為,AAXL2，0KX231在拋物線上求一點(diǎn)，使其與軸上的點(diǎn)的距離最短XY420,3解設(shè)所求點(diǎn)P（X，Y），則滿足，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離之平方為Y4322令，解得是唯一駐點(diǎn)，易知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，0L1X1X當(dāng)時，或，所以滿足條件的有兩個點(diǎn)（1，2）和（1，2）132求曲線上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)的距離最短XY2,A解曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A（2，0）的距離之平方為X令，得，由此，02XL1X22XYY即曲線上的點(diǎn)（1，）和（1，）到點(diǎn)A（2，0）的距離最短。Y208074求曲線上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A（0，2）的距離最短。解曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A（0，2）的距離公式為22YYXD與在同一點(diǎn)取到最大值，為計算方便求的最大值點(diǎn)，2D312Y令得，并由此解出，023Y6X即曲線上的點(diǎn)（）和點(diǎn)（）到點(diǎn)A（0，2）的距離最短X2,6,高等數(shù)學(xué)（1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)一第一章函數(shù)理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)XFY中符號F的含義；了解函數(shù)的兩要素；會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會判斷兩個函數(shù)是否相等。兩個函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同。了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。若對任意X，有XFF，則F稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于Y軸對稱。若對任意，有，則稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。掌握奇偶函數(shù)的判別方法。掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。基本初等函數(shù)是指以下幾種類型常數(shù)函數(shù)CY冪函數(shù)為實(shí)數(shù)X指數(shù)函數(shù)1,0A對數(shù)函數(shù)LOGYA三角函數(shù)XCOT,TNCS,I反三角函數(shù)XRRR了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會把一個復(fù)合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。如函數(shù)1ARCTN2EXY可以分解，。分解后的函數(shù)前三個都是U2VWARCTNX1基本初等函數(shù)，而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。會列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。例題選解一、填空題設(shè)，則FX。012XXF解設(shè)，則，得TTTTTF221故。XF函數(shù)的定義域是。X52LN解對函數(shù)的第一項，要求且，即且；對函數(shù)002LN2X3的第二項，要求，即。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)椤?5X5,函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域是。F1,XF解要使有意義，必須使，由此得定義域?yàn)?。LN1LLNFE,1函數(shù)的定義域?yàn)椤?92XY解要使有意義，必須滿足且，即成立，2092X3X3X解不等式方程組，得出，故得出函數(shù)的定義域?yàn)椤?X或,設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于對稱。2AF解的定義域?yàn)?，且?2XFAXFXXXX即是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于軸對稱。XFY二、單項選擇題下列各對函數(shù)中，（）是相同的。A；BFXGXLN,LN2；XGF,2CXLN,LN3；D11解A中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同,，B,D三個選項中的每對函數(shù)的定義X2域都不同，所以AB,D都不是正確的選項；而選項C中的函數(shù)定義域相等，且對應(yīng)關(guān)系相同，故選項C正確。設(shè)函數(shù)FX的定義域?yàn)?，則函數(shù)FX的圖形關(guān)于（）對稱。AYX；BX軸；CY軸；D坐標(biāo)原點(diǎn)解設(shè)，則對任意有FFXXFFXFFXF即是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。選項D正確。3設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)是（）A單調(diào)減函數(shù)；B有界函數(shù)；C偶函數(shù)；D周期函數(shù)解A,B,D三個選項都不一定滿足。設(shè)，則對任意有XFXFXXFFXFF即是偶函數(shù)，故選項C正確。函數(shù)（）1,0AXFA是奇函數(shù)；B是偶函數(shù)；C既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D是非奇非偶函數(shù)。解利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。11XFAXAXXF所以B正確。若函數(shù)，則（）21XFFA；B；2X2XC；D。11解因?yàn)?222X所以F則，故選項B正確。2X第二章極限與連續(xù)知道數(shù)列極限的“N”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知道無窮小量的比較。無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；有限個無窮小量的乘積是無窮小量；無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。熟練掌握極限的計算方法包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。求極限有幾種典型的類型（1）AXAXAKKXKX21LIMLI22020（2）100102LILI00BXX（3）MNBAXBXBAAMMNNX0110LI熟練掌握兩個重要極限LISNX0X1E（或LIXX01E）重要極限的一般形式LIMSNX01FXFXE（或LIMGXGX01E）利用兩個重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如31SINL31SINLM3SINL000XXXX3122E1LIM12LI12LI2LIXXXXXX理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會對函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。間斷點(diǎn)的分類已知點(diǎn)是的間斷點(diǎn)，0X若在點(diǎn)的左、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn)；F0XF若在點(diǎn)的左、右極限有一個不存在，則稱為的第二類間斷0X點(diǎn)。理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個結(jié)論。典型例題解析一、填空題極限LIMSNX021。解01SINLM1ILSINLISINL00020XXXXXX注意（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量）01SINLM0XX，其中1是第一個重要極限。1SINLII0XXSINLM0函數(shù)的間斷點(diǎn)是X。01SIXXF解由是分段函數(shù)，是的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。F0X因?yàn)?LIMSINL00XX所以函數(shù)在處是間斷的，F(xiàn)又在和都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點(diǎn)是。,XF0X設(shè)，則F。232F解，故XF21842X函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是。1LN2Y二、單項選擇題函數(shù)在點(diǎn)處（）FXSIX0A有定義且有極限；B無定義但有極限；C有定義但無極限；D無定義且無極限解在點(diǎn)處沒有定義，但FX0（無窮小量有界變量無窮小量）1SINLM0X故選項B正確。下列函數(shù)在指定的變化過程中，（）是無窮小量。AE1X,；BSIN,X；CLN,；D10,解無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以0SINLMX而A,C,D三個選項中的極限都不為0，故選項B正確。三、計算應(yīng)用題計算下列極限1243LI2XXXX13LIM（4）50MXXSINL0解621432XLI2X81LIMX4313E1LI31LI3LIM13LIXNXNXNXN題目所給極限式分子的最高次項為155102XX分母的最高次項為，由此得38LIM150X（4）當(dāng)時，分子、分母的極限均為0，所以不能用極限的除法法則。求解時先有理化根式在利用除法法則和第一個重要極限計算。13SINLM13SINLM3SINL000XXXXX62LILI113SINLM000XXX2設(shè)函數(shù)0SIN1XABXF問（1）為何值時，在處有極限存在BA,XF（2）為何值時，在處連續(xù)解（1）要在處有極限存在，即要成立。F0LIMLI00XFFXX因?yàn)锽XXX1SINLMLI0所以，當(dāng)時，有成立，即時，函數(shù)在處有1BLILI00FFXX1B0X極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時可以取任意值。A（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是LIMLI000FFFXX于是有，即時函數(shù)在處連續(xù)。AB11B0X第三章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時候要側(cè)重以下幾點(diǎn)理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會求曲線的切線和法線；會用定義計算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。在點(diǎn)處可導(dǎo)是指極限XF0XFLIM0存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限0LI0XFX函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上點(diǎn)F00XFXFY處切線的斜率。,0F曲線FY在點(diǎn),F處的切線方程為00X函數(shù)F在點(diǎn)可導(dǎo)，則在X點(diǎn)連續(xù)。反之則不然，函數(shù)XFY在0點(diǎn)連續(xù)，在0X點(diǎn)不一定可導(dǎo)。了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法（1）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法（4）對數(shù)求導(dǎo)方法（5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計算，如一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時，求導(dǎo)時采用取對數(shù)求導(dǎo)法，例如函數(shù)，求。XY21Y在求導(dǎo)時直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計算時會麻煩一些，而且容易出錯。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即2123211XXXY再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計算其導(dǎo)數(shù)，于是有23213這樣計算不但簡單而且不易出錯。又例如函數(shù)，求。3XYY顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對數(shù)得2LN1L2LN兩端求導(dǎo)得3XY整理后便可得268213若函數(shù)由參數(shù)方程LI0FXTYX的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式DTX能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。熟練掌握微分運(yùn)算法則微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似VUDDV02一階微分形式的不變性UYXYUXDD微分的計算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。N1N第三章導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解一、填空題設(shè)函數(shù)在鄰近有定義，且，則XF010,FFXFLIM0。解LIMLI00FXFXX故應(yīng)填1。曲線在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率是。Y解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在處切線的斜率是，即為函數(shù)在XF00XF該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是211,2233XYXY故應(yīng)填。1設(shè)FX245，則F。解，故37244XXF故應(yīng)填372二、單項選擇題設(shè)函數(shù)，則（）。2XF2LIMXFA；B2；C4；D不存在X2解因?yàn)?，且，LI2F2F所以，即C正確。4XF設(shè)，則（）。1FA；B；C；DXX21X21X解先要求出，再求。FF因?yàn)椋纱说?，所以XF1XF121XF即選項D正確。3設(shè)函數(shù)，則（）2F0FA0；B1；C2；D解因?yàn)?，?212121XXXXXF中的三項當(dāng)時為0，所以F故選項C正確。4曲線YXE在點(diǎn)（）處的切線斜率等于0。A,01；B,10；C,01；D,10解，令得。而，故選項C正確。XYEYXY5SIN2，則（）。ACO；BCOS2；C2XCOS；D2XCOS解X故選項C正確。三、計算應(yīng)用題設(shè)XYSIN2TA，求2DXY解由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則LCOSSIN2X由此得XYXD2L2SCDIN22設(shè)，其中為可微函數(shù)，求。EXFFY解EXFFXFXEFXEFFXXXF求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，然后由外層開始，逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡。3設(shè)函數(shù)YX由方程YXELN確定，求DY。解方法一等式兩端對求導(dǎo)得2EYY整理得XYXYE22方法二由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端YXYXYXYDEEDED右端2LN由此得2DDEYXYX整理得XYXED224設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程TY1確定，求DX。解由參數(shù)求導(dǎo)法TXYT12D5設(shè)，求。XARCNY解1ARCTN21T2XYARCTARC2XX第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題一、填空題1函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是1LN2XY解，當(dāng)時故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是0Y0,2極限X1LNIM解由洛必達(dá)法則1LILILI111XX3函數(shù)的極小值點(diǎn)為。E2XF解，令，解得駐點(diǎn)，又時，0XF0X；時，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)。0XF0XFE21XF二、單選題1函數(shù)在區(qū)間上是（）12Y2,A）單調(diào)增加B）單調(diào)減少C）先單調(diào)增加再單調(diào)減少D）先單調(diào)減少再單調(diào)增加解選擇D，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在區(qū)間XY200XF0XF上函數(shù)先單調(diào)減少再單調(diào)增加。,12若函數(shù)滿足條件（），則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使F,BABA得ABF成立。A）在內(nèi)連續(xù)；B）在內(nèi)可導(dǎo)；,BAC）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)；D）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。,B,解選擇D。由拉格朗日定理條件，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇D正XF,確。3滿足方程的點(diǎn)是函數(shù)的（）。0XFFYA）極值點(diǎn)B）拐點(diǎn)C）駐點(diǎn)D）間斷點(diǎn)解選擇C。依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。4設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，則函數(shù)在XF,BA,0BAX00XFF處（）。0XA）取得極大值B）取得極小值C）一定有拐點(diǎn)D）可能有極值，也可能有拐點(diǎn),0F解選擇D函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明可X0X能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇D。三、解答題1計算題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。1LNXY解函數(shù)的定義區(qū)間為，由于,1XY令，解得，這樣可以將定義區(qū)間分成和兩個區(qū)間來討論。0YX0,當(dāng)時，；當(dāng)是，。1XY由此得出，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)增加。1LNX,2應(yīng)用題欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最省解設(shè)底邊邊長為，高為，所用材料為XHY且22108,XY422243XXY令得，0Y601623X且因?yàn)?，所以為最小值此時。,108,Y3H于是以6米為底邊長，3米為高做長方體容器用料最省。3證明題當(dāng)時，證明不等式EX證設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏线B續(xù)可導(dǎo)，所以在上滿XFLNF,0XF,1足拉格朗日中值定理條件，有公式可得11XCFXF其中，即XC1LN又由于，有C1故有1LNX兩邊同時取以為底的指數(shù)，有EE即所以當(dāng)時，有不等式1XEX成立第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（2）典型例題解析一、填空題曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為2X，且曲線過點(diǎn),25，則曲線方程為。解，即曲線方程為。將點(diǎn)代入得，所求CX2DCY,1C曲線方程為12Y已知函數(shù)F的一個原函數(shù)是2ARTNX，則。F解421ARCTNXX2424168XF已知FX是F的一個原函數(shù)，那么FABD。解用湊微分法D1DXFXBAFBAFCBAF1二、單項選擇題設(shè)，則（）。CXFLNDXFA；B；1LNXLNC；D解因1LLLXF故選項A正確設(shè)FX是F的一個原函數(shù)，則等式（）成立。ADX；BFXFCD；CX；DF解正確的等式關(guān)系是DXFFCFX故選項D正確設(shè)是FX的一個原函數(shù)，則（）。XFD12A；B；C12CF2C；DF解由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得121222XFX122XFF故選項C正確三、計算題計算下列積分1021023DTXX12D12XD解利用第一換元法12222XXXCX1D利用第二換元法，設(shè)，TSINTCOSTTTX1DSINDIICOD12222CXXAR1計算下列積分XDARCSINXDLN2解利用分部積分法XXD1ARCSINARCSIRIRI2D12N2XCARCSI利用分部積分法LNDL1DLNL2XXXXC1L12高等數(shù)學(xué)（1）第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)綜合練習(xí)題（一）單項選擇題（1）下列式子中，正確的是（）。AB02DXFCD10102下列式子中，正確的是（）AXTDXCOSS0BCDCOS0XTDXTDXCOSS03下列廣義積分收斂的是（）。AB0DEXXD1CDCOS124若是上的連續(xù)偶函數(shù)，則。XF,AADXFAB00DAFCD2AF5若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線XFG,B所圍圖形的面積BX,ABBADFBADXGFCDXFGF答案（1）A；（2）D；（3）D；（4）C；（5）A。解（1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知A正確。而B不正確。BAABDXFDXFBAABXFFT/2024X在（0，1）區(qū)間內(nèi)C不正確。DXXX101022根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量的選取無關(guān)。故D不正確。2由變上限的定積分的概念知A、C不正確。XTXTXXCOSDCS,COSDS00由定積分定義知B不正確。D正確。3A不正確。ELIMELIE000BBXXB。不1LNLILNI1LI11DXDXBBB正確。C。不不存在。0SILIMCOSLICOS00BB正確。DD正確（4）由課本344頁（642）和345頁（643）知C。正確。（5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù)A正確。（二）填空題1_COSLIM0XTDX2_,E12XFTF則設(shè)3在區(qū)間上，曲線和軸所圍圖形的面積為YSINX_。4_4202DX5A0P0發(fā)散無窮積分DXPAP1_,答案解（1）10COS1LIMDCOSLI00XXTXX（2）22211,XXTTEEFEXF（2）所圍圖形的面積S40COSCOSSIN00D（3）由定積分的幾何意義知定積分的值等于（4）Y所圍圖形的面積2201（5）P1時無窮積分發(fā)散。（三）計算下列定積分1）402DX2）1（3）ELNX（4）（5）20SID答案1）421220422040XXXDX2）671310D1LI_1LILIM1212XDXDXBBB1（3）23LN12LLN1LN11EEEXXDDX（4）542SIN412COS12COS12SIN000XXDXXD（四）定積分應(yīng)用求由曲線,及直線所圍平面圖形的面積Y,Y解畫草圖求交點(diǎn)由YX,XY1得X1Y12Y2YX0XY1第七章綜合練習(xí)題（一）單項選擇題1、若（）成立，則級數(shù)發(fā)散，其中表示此級數(shù)的部分和。1NANSA、；B、單調(diào)上升；0LIMNSC、D、不存在ANLIM2、當(dāng)條件（）成立時，級數(shù)一定發(fā)散。1NBAA、發(fā)散且收斂；B、發(fā)散；1NA1NB1NAC、發(fā)散；D、和都發(fā)散。B3、若正項級數(shù)收斂，則（）收斂。1NAA、B、1NA12NAC、D、2CC4、若兩個正項級數(shù)、滿足，則結(jié)論（），是1NA1NB,21NBA正確的。A、發(fā)散則發(fā)散；B、收斂則收斂；1N1N1N1NBC、發(fā)散則收斂；D、收斂則發(fā)散。ABA5、若FX,則。NXA0A、B、CD、FXFN0NF1答案1、D2、A3、B4、A5、C（二）填空題1、