積分習(xí)題課題目及解答積分概念一、有關(guān)可積性的練習(xí)：我們知道，在區(qū)間,ba連續(xù)的函數(shù)有原函數(shù)，并且有牛頓萊布尼茨公式下述定理說明：函數(shù)的連續(xù)性并不是牛頓萊布尼茨公式成立的必要條件定理：假設(shè))(xf區(qū)間,ba可積且有原函數(shù))(xF（注釋：在區(qū)間,ba可積的函數(shù)未必有原函數(shù)）則有)()(d)(aFbFxxfba提示：對于區(qū)間,ba任意分割bxxxaTn10:注意到niiiniiixFxFxF111)()()(2求證：假設(shè))(xf在,ba可積，則0，存在區(qū)間,ba上的階梯函數(shù))(xg，使得baxxgxfd|)()(|3設(shè))(xf在,ba可積，求證函數(shù))(cosxf在,ba可積二、求和nnnnnn12)2)(1(1lim（e4）1022dsinlimxxnxn（31）設(shè)其它,010,)(nxnxxn10)()(nknnnkxxg求極限10d)(limxxgenxn用極限定義計(jì)算10d2xx三、定積分10d)(xxf是和式niiixf1)(的極限，這個(gè)定義為定積分的近似計(jì)算提供了依據(jù)假定積分10d)(xxf存在，則當(dāng)n時(shí)，兩個(gè)和式：ninnifnS1)1(1和ninnifn1)212(1都趨向于10d)(xxf不過收斂速度有所不同研究下面的問題：假設(shè))(xf在1,0連續(xù)，試證MnSxxfn21|d)(|10，Mnxxfn41|d)(|10其中M是與)(xf有關(guān)的正數(shù)反常積分一、收斂判別)1(dln1收斂pxxxp，)0(dln0pxxxp（發(fā)散），)0(d)1ln(0pxxxp（1p收斂）)0()d11(ln1pxxxp（1p收斂）20dsinlnxx（收斂），20dsinln1xx（發(fā)散），032d)4()2(1xxxx（收斂）1d1)cos(lnxxx（發(fā)散.換元xtln）1d)21sin1cos1(xxx（收斂，泰勒公式，比階判別法）二、反常積分計(jì)算03d2xexx，（21，換元法）12darctanxxx（)4ln(41，分部積分法），022d)1(lnxxxx（0，分部積分計(jì)算，或者換元法）三、證明題：（）舉例說明：axxfd)(收斂未必有0)(limxfx即使非負(fù)函數(shù)也是如此（）求證：如果)(xf在),a非負(fù)且一致連續(xù)，axxfd)(收斂，則0)(limxfx2求證1dsinxxx收斂，但是12dsinxxx發(fā)散.積分習(xí)題課題目及解答積分概念定理：假設(shè))(xf區(qū)間,ba可積且有原函數(shù))(xF（注釋：在區(qū)間,ba可積的函數(shù)未必有原函數(shù)）則有)()(d)(aFbFxxfba證明：對于區(qū)間,ba任意分割bxxxaTn10:由微分中值定理得到)()(aFbFniiiniiixFxFxF111)()()(),(1iiixx當(dāng)分割的直徑趨向于零時(shí)，等式右端有極限baxxfd)(2求證：假設(shè))(xf在,ba可積，則0，存在區(qū)間,ba上的階梯函數(shù))(xg，使得baxxgxfd|)()(|解：0，由黎曼定理（定理2.1.4）推出，存在0，使得直徑任意分割方式,21nxxxT，都有nkkkkxmM1)(今取一個(gè)滿足直徑的確定的分割,21nxxxT。并取階梯函數(shù)),2,1(),)(1nkxxxmxgkkk，則有babaxxgxfxxgxfd)()(d|)()(|nkxxkkkxmxf11d)(nkxxkkkkxmM11d)(3設(shè))(xf在,ba可積，求證函數(shù))(expxf在,ba可積證明：)(xf在,ba，設(shè)|:)(sup|bxaxfM對于區(qū)間,ba的任意分割,21nxxxT，|)(sup1iiixxxxfM，|)(inf1iiixxxxfm，iiimM,1iixxvu，有|)()(|)exp(|)(exp)(exp|vfufvfufiiM1（其中介于)(),(vfuf之間，)exp(1MM）對于上述任意分割,21nxxxT，命|)(supexp1*iiixxxxfM，|)(infexp1*iiixxxxfm，*iiimM則有niiiiniiiiniiixxxxvfufxmMx111*1*:)(exp)(supexp)(1111:)()(supniiiixxxxvfufMniiixM11由于)(xf可積，當(dāng)分割直徑趨向于于零時(shí)，01niiix，于是01*niiix二、求和nnnnnn12)2)(1(1lim解：令nSnnnnn12)2)(1(1nnnnn1)1)21)(11()1ln()21ln()11ln(1lnnnnnnSAnn12ln2d)1ln(10xx于是eSnn4lim61dsinlim1022xxnxn解：nknknkxxnxxxnx11221022dsindsinnknknkkxxn1122dsinnkkkkttn1)1(22dsin161d212110212xxnnkk設(shè)其它,010,)(nxnxxn10)()(nk