歷年考研數學一真題19872014（經典珍藏版）1987年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上1當X_時,函數2XY取得極小值2由曲線LNYX與兩直線E1及0所圍成的平面圖形的面積是_1X3與兩直線YT2Z及11X都平行且過原點的平面方程為_4設L為取正向的圓周29,XY則曲線積分224LXYDXY_5已知三維向量空間的基底為123,01,0,1則向量2,0在此基底下的坐標是_二、本題滿分8分求正的常數A與,B使等式2001LIM1SINXXTDBA成立三、本題滿分7分1設F、G為連續(xù)可微函數,UFXYVGXY求,UVX2設矩陣A和B滿足關系式2,AB其中301,4求矩陣四、本題滿分8分求微分方程2691YAY的通解,其中常數0A五、選擇題本題共4小題,每小題3分,滿分12分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設2LIM1,XAF則在XA處AF的導數存在,且0FBFX取得極大值CFX取得極小值DFX的導數不存在2設FX為已知連續(xù)函數0,STIFXD其中0,TS則I的值A依賴于S和TB依賴于S、T和XC依賴于T、X,不依賴于SD依賴于S,不依賴于3設常數0,K則級數21NKA發(fā)散B絕對收斂C條件收斂D散斂性與K的取值有關4設A為N階方陣，且A的行列式|0,A而A是的伴隨矩陣，則|等于AAB1AC1NDN六、（本題滿分10分）求冪級數112NNX的收斂域，并求其和函數七、（本題滿分10分）求曲面積分2814,IXYDZYDZXY其中是由曲線130ZYFXX繞Y軸旋轉一周而成的曲面,其法向量與Y軸正向的夾角恒大于2八、（本題滿分10分）設函數FX在閉區(qū)間0,1上可微,對于0,1上的每一個,X函數F的值都在開區(qū)間0,1內,且FX1,證明在0,1內有且僅有一個,X使得九、（本題滿分8分）問,AB為何值時,現線性方程組1234123401XXAB有唯一解,無解,有無窮多解并求出有無窮多解時的通解十、填空題本題共3小題,每小題2分,滿分6分把答案填在題中橫線上1設在一次實驗中,事件A發(fā)生的概率為,P現進行N次獨立試驗,則A至少發(fā)生一次的概率為_而事件A至多發(fā)生一次的概率為_2有兩個箱子,第1個箱子有3個白球,2個紅球,第2個箱子有4個白球,4個紅球現從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里,再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率為_已知上述從第2個箱子中取出的球是白球,則從第一個箱子中取出的球是白球的概率為_3已知連續(xù)隨機變量X的概率密度函數為21E,XF則X的數學期望為_,X的方差為_十一、（本題滿分6分）設隨機變量,XY相互獨立,其概率密度函數分別為XFX10X為,YFYE0Y,求2ZXY的概率密度函數1988年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、本題共3小題,每小題5分,滿分15分1求冪級數1NNX的收斂域2設2E,XFF且0X,求X及其定義域3設為曲面221XYZ的外側,計算曲面積分333IXDYZD二、填空題本題共4小題,每小題3分,滿分12分把答案填在題中橫線上1若21LIM,TXXFTT則FT_2設連續(xù)且30,D則7F_3設周期為2的周期函數,它在區(qū)間1,上定義為FX21X,則的傅里葉FOURIE級數在X處收斂于_4設4階矩陣234234,AB其中23,均為4維列向量,且已知行列式1,AB則行列式B_三、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設FX可導且01,2FX則0X時,FX在0處的微分DY是A與X等價的無窮小B與X同階的無窮小C比X低階的無窮小D比X高階的無窮小2設YFX是方程240Y的一個解且00,FX則函數FX在點處A取得極大值B取得極小值C某鄰域內單調增加D某鄰域內單調減少3設空間區(qū)域22221,0,0,XYZRXYZRXYZ則A124DVB12YC124ZDVD12XYXY4設冪級數1NNA在1X處收斂,則此級數在X處A條件收斂B絕對收斂C發(fā)散D收斂性不能確定5N維向量組12,3SN線性無關的充要條件是A存在一組不全為零的數12,SK使120SKKB1,S中任意兩個向量均線性無關C12,S中存在一個向量不能用其余向量線性表示D12,S中存在一個向量都不能用其余向量線性表示四、本題滿分6分設,XYUYFG其中函數F、G具有二階連續(xù)導數,求22X五、本題滿分8分設函數YX滿足微分方程32E,XY其圖形在點0,1處的切線與曲線21X在該點處的切線重合,求函數YX六、（本題滿分9分）設位于點0,1的質點A對質點M的引力大小為2KR為常數R為質點與之間的距離,質點沿直線2YX自,B運動到0,O求在此運動過程中質點A對質點M的引力所作的功七、（本題滿分6分）已知,APB其中1010,2,P求5A八、（本題滿分8分）已知矩陣201XA與201YB相似1求X與Y2求一個滿足1P的可逆陣P九、（本題滿分9分）設函數FX在區(qū)間,AB上連續(xù),且在,AB內有0,FX證明在,內存在唯一的,使曲線YFX與兩直線YFX所圍平面圖形面積1S是曲線與兩直線,B所圍平面圖形面積2的3倍十、填空題本題共3小題,每小題2分,滿分6分把答案填在題中橫線上1設在三次獨立試驗中,事件A出現的概率相等,若已知A至少出現一次的概率等于1927則事件在一次試驗中出現的概率是_2若在區(qū)間0,1內任取兩個數,則事件”兩數之和小于65”的概率為_3設隨機變量X服從均值為10,均方差為002的正態(tài)分布,已知21E,50938,UXD則X落在區(qū)間95,0內的概率為_十一、（本題滿分6分）設隨機變量X的概率密度函數為21,XFX求隨機變量31Y的概率密度函數YY1989年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上1已知32,F則03LIM2HFF_2設X是連續(xù)函數,且10,FXFTD則F_3設平面曲線L為下半圓周21,YX則曲線積分2LXYDS_4向量場IVU在點1,0P處的散度DIVU_5設矩陣3140,10,AI則矩陣12I_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1當0X時,曲線1SINYXA有且僅有水平漸近線B有且僅有鉛直漸近線C既有水平漸近線,又有鉛直漸近線D既無水平漸近線,又無鉛直漸近線2已知曲面24ZXY上點P處的切平面平行于平面210,XY則點的坐標是A,B1,2CD3設線性無關的函數都是二階非齊次線性方程的解是任意常數,則該非齊次方程的通解是A123CYB12C12123CYCYD1234設函數2,01,FX而1SIN,SXB其中02,2,3NFXDN則2S等于AB14C14D5設A是N階矩陣,且A的行列式0,則A中A必有一列元素全為0B必有兩列元素對應成比例C必有一列向量是其余列向量的線性組合D任一列向量是其余列向量的線性組合三、本題共3小題,每小題5分,滿分15分1設2,ZFXYGX其中函數FT二階可導,GUV具有連續(xù)二階偏導數,求2ZY2設曲線積分2CXYD與路徑無關,其中X具有連續(xù)的導數,且0,計算1,20XYDY的值3計算三重積分,XZDV其中是由曲面2ZXY與21ZY所圍成的區(qū)域四、本題滿分6分將函數1ARCTNXFX展為的冪級數五、本題滿分7分設0SIN,XFXTFD其中F為連續(xù)函數,求FX六、（本題滿分7分）證明方程0LN1COS2EXXD在區(qū)間0,內有且僅有兩個不同實根七、（本題滿分6分）問為何值時,線性方程組13X24136X有解,并求出解的一般形式八、（本題滿分8分）假設為N階可逆矩陣A的一個特征值,證明11為的特征值2A為的伴隨矩陣的特征值九、（本題滿分9分）設半徑為R的球面的球心在定球面220XYZA上,問當R為何值時,球面在定球面內部的那部分的面積最大十、填空題本題共3小題,每小題2分,滿分6分把答案填在題中橫線上1已知隨機事件A的概率05,P隨機事件B的概率06PB及條件概率|08,PBA則和事件AB的概率A_2甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次,其命中率分別為06和05,現已知目標被命中,則它是甲射中的概率為_3若隨機變量在1,6上服從均勻分布,則方程210X有實根的概率是_十一、（本題滿分6分）設隨機變量X與Y獨立,且X服從均值為1、標準差均方差為2的正態(tài)分布,而服從標準正態(tài)分布試求隨機變量3Z的概率密度函數1990年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上2XT1過點1,2M且與直線34Y垂直的平面方程是_1ZT2設A為非零常數,則LIMXXA_3設函數FX10,則FX_4積分220EYXD的值等于_5已知向量組1234,34,5,6,57,則該向量組的秩是_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設FX是連續(xù)函數,且E,XFFTD則FX等于AEFXBXFFCEXFXDXFF2已知函數FX具有任意階導數,且2,FXF則當N為大于2的正整數時,F的N階導數N是A1NFXB1NFXC2D2NFX3設A為常數,則級數21SINAA絕對收斂B條件收斂C發(fā)散D收斂性與A的取值有關4已知FX在0的某個鄰域內連續(xù),且0,LIM21COSXF則在點X處FA不可導B可導,且FC取得極大值D取得極小值5已知1、2是非齊次線性方程組AXB的兩個不同的解,、是對應其次線性方程組0的基礎解析1,K、2K為任意常數,則方程組B的通解一般解必是A12121KB212KC12121KD212K三、本題共3小題,每小題5分,滿分15分1求120LNXD2設2,SIN,ZFXY其中,FUV具有連續(xù)的二階偏導數,求3求微分方程24EXY的通解一般解四、本題滿分6分求冪級數021NNX的收斂域,并求其和函數五、本題滿分8分求曲面積分2SIYZDXY其中S是球面224XY外側在0的部分六、（本題滿分7分）設不恒為常數的函數FX在閉區(qū)間,AB上連續(xù),在開區(qū)間,AB內可導,且AB證明在內至少存在一點使得0F七、（本題滿分6分）設四階矩陣1021340,BC且矩陣A滿足關系式1EB其中E為四階單位矩陣,C表示的逆矩陣,C表示的轉置矩陣將上述關系式化簡并求矩陣A八、（本題滿分8分）求一個正交變換化二次型221313244FXXX成標準型九、（本題滿分8分）質點P沿著以AB為直徑的半圓周,從點1,2運動到點3,4的過程中受變力F作用見圖F的大小等于點P與原點O之間的距離,其方向垂直于線段且與Y軸正向的夾角小于2求變力F對質點P所作的功十、填空題本題共3小題,每小題2分,滿分6分把答案填在題中橫線上1已知隨機變量X的概率密度函數1E,2XF則X的概率分布函數F_2設隨機事件A、B及其和事件的概率分別是04、03和06,若表示的對立事件,那么積事件AB的概率P_3已知離散型隨機變量X服從參數為2的泊松POISN分布,即2E,01,KP則隨機變量32ZX的數學期望EZ_十一、（本題滿分6分）設二維隨機變量,XY在區(qū)域01,DXY內服從均勻分布,求關于的邊緣概率密度函數及隨機變量21ZX的方差DZ1991年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上1設21COSXTY,則2DYX_2由方程22XYZZ所確定的函數,ZX在點1,0處的全微分D_3已知兩條直線的方程是123101XYZXYZLL則過1L且平行于2L的平面方程是_4已知當X時123,AX與COS1X是等價無窮小,則常數A_5設4階方陣5201,A則A的逆陣1A_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1曲線21EXYA沒有漸近線B僅有水平漸近線C僅有鉛直漸近線D既有水平漸近線又有鉛直漸近線2若連續(xù)函數FX滿足關系式20LN2,TFXFD則FX等于AELN2XB2ELNXCD3已知級數121,5,NNA則級數1NA等于A3B7C8D94設D是平面XOY上以1,、,和1,為頂點的三角形區(qū)域1,是在第一象限的部分,則COSINDXYD等于A12IXYB12DXYDC14COSINDDXD05設階方陣A、B、C滿足關系式,ABCE其中是N階單位陣,則必有ACEBCBADBCAE三、本題共3小題,每小題5分,滿分15分1求20LIMCOSX2設N是曲面26XYZ在點1,P處的指向外側的法向量,求函數268XYUZ在點P處沿方向N的方向導數32,XYZDV其中是由曲線20YZX繞軸旋轉一周而成的曲面與平面4所圍城的立體四、本題滿分6分過點0,O和,A的曲線族SIN0YAX中,求一條曲線,L使沿該曲線從到的積分312YDXY的值最小五、本題滿分8分將函數21FXX展開成以2為周期的傅里葉級數,并由此求級數21N的和六、（本題滿分7分）設函數FX在0,1上連續(xù),01內可導,且1230,FXDF證明在,1內存在一點,C使0F七、（本題滿分8分）已知1234,03,1,51,2,1,8AA及B1A、為何值時,不能表示成1234,的線性組合2、為何值時有1234,的唯一的線性表示式寫出該表示式八、（本題滿分6分）設A是N階正定陣,E是N階單位陣,證明AE的行列式大于1九、（本題滿分8分）在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點,PXY處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ長度的倒數Q是法線與X軸的交點,且曲線在點1,處的切線與X軸平行十、填空題本題共2小題,每小題3分,滿分6分把答案填在題中橫線上1若隨機變量X服從均值為2、方差為2的正態(tài)分布,且2403,PX則0P_2隨機地向半圓2YAX為正常數內擲一點,點落在半圓內任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點和該點的連線與X軸的夾角小于4的概率為_十一、（本題滿分6分）設二維隨機變量,XY的密度函數為,FXY2E0,0XY為求隨機變量2ZY的分布函數1992年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上1設函數YX由方程ECOS0XY確定,則DYX_2函數22LNUXYZ在點1,2M處的梯度GRADM_3設FX210X,則其以2為周期的傅里葉級數在點處收斂于_4微分方程TANCOSYX的通解為Y_5設1212122,NNNBBAAA其中0,IIAB則矩陣A的秩R_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1當1X時,函數12EX的極限A等于2B等于0C為D不存在但不為2級數1COSNA常數0A發(fā)散B條件收斂C絕對收斂D收斂性與A有關3在曲線23,XTYZT的所有切線中,與平面24XYZ平行的切線A只有1條B只有2條C至少有3條D不存在4設2,FXX則使0NF存在的最高階數N為A0B1C2D35要使120,1都是線性方程組AX0的解,只要系數矩陣A為A21B201C102D0142三、本題共3小題,每小題5分,滿分15分1求20ESIN1LIMX2設I,XZFY其中F具有二階連續(xù)偏導數,求2XY3設F21EX0,求312FXD四、本題滿分6分求微分方程32EXY的通解五、本題滿分8分計算曲面積分323232,XAZDYAXDZAYDX其中為上半球面22ZAXY的上側六、（本題滿分7分）設0,FXF證明對任何120,X有1212七、（本題滿分8分）在變力FYZIXJYK的作用下,質點由原點沿直線運動到橢球面221ABC上第一卦限的點,M問當、取何值時,力F所做的功W最大并求出的最大值八、（本題滿分7分）設向量組123,線性相關,向量組234,線性無關,問11能否由23,線性表出證明你的結論24能否由1線性表出證明你的結論九、（本題滿分7分）設3階矩陣A的特征值為123,對應的特征向量依次為1231,49又向量1231將用123,線性表出2求NA為自然數十、填空題本題共2小題,每小題3分,滿分6分把答案填在題中橫線上1已知11,0,46PABCPABCPB則事件A、全不發(fā)生的概率為_2設隨機變量X服從參數為1的指數分布,則數學期望2EXE_十一、（本題滿分6分）設隨機變量X與Y獨立,服從正態(tài)分布2,NY服從,上的均勻分布,試求ZXY的概率分布密度計算結果用標準正態(tài)分布函數表示,其中21ETXD1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上1函數120XFDTX的單調減少區(qū)間為_2由曲線230XYZ繞軸旋轉一周得到的旋轉面在點0,處的指向外側的單位法向量為_3設函數2FXX的傅里葉級數展開式為01COSIN,2NAB則其中系數3B的值為_4設數量場22L,UXYZ則DIVGRA_5設N階矩陣A的各行元素之和均為零,且A的秩為1,則線性方程組X0的通解為_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設SIN2340,XFTDGX則當0X時,FX是GX的A等價無窮小B同價但非等價的無窮小C高階無窮小D低價無窮小2雙紐線22XY所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為A402COSDB40COS2DCD2401CS3設有直線15821XYZL與2L63XYZ則1L與2L的夾角為A6B4C3D24設曲線積分ESINCOSXLFTYDFXYD與路徑無關,其中FX具有一階連續(xù)導數,且0,則F等于AE2BE2XC1XD1X5已知324,69TQP為三階非零矩陣,且滿足0,P則A6T時P的秩必為1B6T時的秩必為2CT時的秩必為1DT時P的秩必為2三、本題共3小題,每小題5分,滿分15分1求21LIMSNCOXX2求E1XD3求微分方程22,YX滿足初始條件1XY的特解四、本題滿分6分計算22,XZDYZXDY其中是由曲面Z與所圍立體的表面外側五、本題滿分7分求級數201N的和六、本題共2小題,每小題5分,滿分10分1設在0,上函數FX有連續(xù)導數,且FXKF證明在0,內有且僅有一個零點2設,BAE證明BA七、（本題滿分8分）已知二次型22123133,0FXXAX通過正交變換化成標準形25,YY求參數及所用的正交變換矩陣八、（本題滿分6分）設A是NM矩陣,B是N矩陣,其中,NMI是階單位矩陣,若I證明的列向量組線性無關九、（本題滿分6分）設物體A從點0,1出發(fā),以速度大小為常數V沿Y軸正向運動物體B從點與A同時出發(fā),其速度大小為2,V方向始終指向,試建立物體B的運動軌跡所滿足的微分方程,并寫出初始條件十、填空題本題共2小題,每小題3分,滿分6分把答案填在題中橫線上1一批產品共有10個正品和2個次品,任意抽取兩次,每次抽一個,抽出后不再放回,則第二次抽出的是次品的概率為_2設隨機變量X服從0,2上的均勻分布,則隨機變量2YX在0,4內的概率分布密度YFY_十一、（本題滿分6分）設隨機變量X的概率分布密度為1E,2XF1求的數學期望E和方差DX2求X與的協(xié)方差,并問與是否不相關3問與是否相互獨立為什么1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上101LIMCOTSINXX_2曲面E23XZY在點1,20處的切平面方程為_3設ESIN,XUY則2U在點,處的值為_4設區(qū)域D為22,XYR則2DXYDAB_5已知1,23,設,A其中是的轉置,則NA_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設43423422SINCO,SINCO,SINCO,1XMDNXDPXXD則有APBNCMDP2二元函數,FXY在點0,Y處兩個偏導數0,XFY、0,YFX存在是在該點連續(xù)的A充分條件而非必要條件B必要條件而非充分條件C充分必要條件D既非充分條件又非必要條件3設常數0,且級數21NA收斂,則級數21NNAA發(fā)散B條件收斂C絕對收斂D收斂性與有關420TAN1COSLIM,2XXBCDE其中20,AC則必有A4BB4BDCACDAC5已知向量組1234,線性無關,則向量組1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上101LIMCOTSINXX_2曲面E23XZY在點1,20處的切平面方程為_3設ESIN,XUY則2U在點,處的值為_4設區(qū)域D為22,XYR則2DXYDAB_5已知1,23,設,A其中是的轉置,則NA_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設43423422SINCO,SINCO,SINCO,1XMDNXDPXXD則有ANPMBCDPN2二元函數,FXY在點0,Y處兩個偏導數0,XFY、0,YFX存在是在該點連續(xù)的A充分條件而非必要條件B必要條件而非充分條件C充分必要條件D既非充分條件又非必要條件3設常數0,且級數21NA收斂,則級數21NNAA發(fā)散B條件收斂C絕對收斂D收斂性與有關420TAN1COSLIM,2XXBCDE其中20,AC則必有A4BDB4BDCACDAC5已知向量組1234,線性無關,則向量組A1231,線性無關B12341,線性無關C12341,線性無關D12341,線性無關三、本題共3小題,每小題5分,滿分15分1設21COSCOSTXTYUD,求YX、2D在2T的值2將函數1LNARCTN42XFXX展開成X的冪級數3求SIN2SIDX四、本題滿分6分計算曲面積分2,SXDYZ其中S是由曲面22XYR及,0ZR兩平面所圍成立體表面的外側五、本題滿分9分設FX具有二階連續(xù)函數,0,1,FF且2YYDFXYD為一全微分方程,求FX及此全微分方程的通解六、本題滿分8分設FX在點0的某一鄰域內具有二階連續(xù)導數,且0LIM,X證明級數1NF絕對收斂七、（本題滿分6分）已知點A與B的直角坐標分別為1,0與,1線段AB繞X軸旋轉一周所成的旋轉曲面為S求由及兩平面0,1Z所圍成的立體體積八、（本題滿分8分）設四元線性齊次方程組為1240X,又已知某線性齊次方程組的通解為120,1,KK1求線性方程組的基礎解析2問線性方程組和是否有非零公共解若有,則求出所有的非零公共解若沒有,則說明理由九、（本題滿分6分）設A為N階非零方陣,A是的伴隨矩陣,A是的轉置矩陣,當時,證明0十、填空題本題共2小題,每小題3分,滿分6分把答案填在題中橫線上1已知A、B兩個事件滿足條件,PAB且,PP則_2設相互獨立的兩個隨機變量,XY具有同一分布率,且X的分布率為01P22則隨機變量MAX,ZXY的分布率為_十一、（本題滿分6分）設隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布21,3N和20,4N且與的相關系數,2XY設XYZ1求Z的數學期望EZ和D方差2求X與的相關系數XZ3問與Y是否相互獨立為什么1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上12SIN0LIM13XX_220COSXDT_3設,AB則C_4冪級數2113NNX的收斂半徑R_5設三階方陣,AB滿足關系式16,AB且103,47A則_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設有直線L3210XYZ,及平面420,XYZ則直線A平行于B在上C垂直于D與斜交2設在0,1上0,FX則,10FF或F的大小順序是AFFB10FC10FFDF3設FX可導,SIN,FXFX則0F是FX在0X處可導的A充分必要條件B充分條件但非必要條件C必要條件但非充分條件D既非充分條件又非必要條件4設1LN,NU則級數A1N與21N都收斂B1NU與21N都發(fā)散C1NU收斂,而21NU發(fā)散D1N收斂,而2N發(fā)散5設12131213233010,AAABPP則必有A12PB21APBCABD三、本題共2小題,每小題5分,滿分10分1設2,E0SIN,YUFXYZZX其中,F都具有一階連續(xù)偏導數,且0Z求DUX2設函數FX在區(qū)間,1上連續(xù),并設10,FXDA求10XDFYD四、本題共2小題,每小題6分,滿分12分1計算曲面積分,ZDS其中為錐面2ZXY在柱體2XY內的部分2將函數102FXX展開成周期為4的余弦函數五、本題滿分7分設曲線L位于平面XOY的第一象限內,L上任一點M處的切線與Y軸總相交,交點記為A已知,OA且過點3,2求的方程六、本題滿分8分設函數,QXY在平面XOY上具有一階連續(xù)偏導數,曲線積分2,LXYDQY與路徑無關,并且對任意T恒有,11,002,TTXDQY求,XY七、（本題滿分8分）假設函數FX和G在,AB上存在二階導數,并且0,0GXAB試證1在開區(qū)間,內X2在開區(qū)間內至少存在一點,使FFG八、（本題滿分7分）設三階實對稱矩陣A的特征值為123,1,對應于1的特征向量為10,求九、（本題滿分6分）設A為N階矩陣,滿足AI是N階單位矩陣,A是的轉置矩陣0求十、填空題本題共2小題,每小題3分,滿分6分把答案填在題中橫線上1設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數,每次射中目標的概率為04,則2的數學期望2E_2設X和Y為兩個隨機變量,且340,0,77PPXY則MAX,_十一、（本題滿分6分）設隨機變量X的概率密度為FXE0X,求隨機變量EXY的概率密度YFY1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上1設2LIM8,XXA則_2設一平面經過原點及點6,32且與平面428XYZ垂直,則此平面方程為_3微分方程2EXY的通解為_4函數LNUXZ在點1,0A處沿點A指向點3,2B方向的方向導數為_5設A是43矩陣,且的秩2,R而102,3B則RB_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1已知2XAYD為某函數的全微分,A則等于A1B0C1D22設FX具有二階連續(xù)導數,且0,LIM1,XF則AF是F的極大值B0是X的極小值C,F是曲線YFX的拐點D不是F的極值,0F也不是曲線YFX的拐點3設01,2NA且1NA收斂,常數0,2則級數1TNA絕對收斂B條件收斂C發(fā)散D散斂性與有關4設有FX連續(xù)的導數20,0,XFFTFDT且當0X時,FX與KX是同階無窮小,則K等于A1B2C3D45四階行列式1123440AB的值等于A1234123ABB1234C1234AD2341ABB三、本題共2小題,每小題5分,滿分10分1求心形線1COSRA的全長,其中0A是常數2設110,61,2NNXX試證數列NX極限存在,并求此極限四、本題共2小題,每小題6分,滿分12分1計算曲面積分,SXZDYX其中S為有向曲面201,ZXY其法向量與軸正向的夾角為銳角2設變換2UXYVA可把方程2260ZZXY簡化為20,ZUV求常數五、本題滿分7分求級數21NN的和六、本題滿分7分設對任意0,X曲線YFX上點,FX處的切線在Y軸上的截距等于1,FTD求的一般表達式七、（本題滿分8分）設FX在0,1上具有二階導數,且滿足條件,AB其中,A都是非負常數,C是0,1內任意一點證明2FC八、（本題滿分6分）設,TAI其中I是N階單位矩陣,是N維非零列向量,T是的轉置證明12的充分條件是1T2當1T時,A是不可逆矩陣九、（本題滿分8分）已知二次型2212313132,56FXXCXX的秩為2,1求參數及此二次型對應矩陣的特征值2指出方程123,FX表示何種二次曲面十、填空題本題共2小題,每小題3分,滿分6分把答案填在題中橫線上1設工廠A和工廠B的產品的次品率分別為1和2,現從由和的產品分別占60和40的一批產品中隨機抽取一件,發(fā)現是次品,則該次品屬A生產的概率是_2設,是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布210,N的隨機變量,則隨機變量的數學期望E_十一、（本題滿分6分）設,是兩個相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量,已知的分布率為1,2,3PI又設MAX,N,XY1寫出二維隨機變量的分布率Y1231232求隨機變量X的數學期望EX1997年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上12013SINCOSLM1LXX_2設冪級數1NAX的收斂半徑為3,則冪級數11NNAX的收斂區(qū)間為_3對數螺線E在點2,E,處切線的直角坐標方程為_4設1243,TAB為三階非零矩陣,且,ABO則T_5袋中有50個乒乓球,其中20個是黃球,30個是白球,今有兩人依次隨機地從袋中各取一球,取后不放回,則第二個人取得黃球的概率是_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1二元函數,FXY2,0,0XY,在點,0處A連續(xù),偏導數存在B連續(xù),偏導數不存在C不連續(xù),偏導數存在D連續(xù),偏導數不存在2設在區(qū)間,AB上0,0FXFFX令1231,2BSFXDSASBA則A123SB23C12D23S3設2SINE,XTFD則FXA為正常數B為負常數C恒為零D不為常數4設11122323,ABC則三條直線1122330,XYCAB其中20,1,IIAB交于一點的充要條件是A123,線性相關B123,線性無關C秩123,R秩12,RD123,線性相關,線性無關5設兩個相互獨立的隨機變量X和Y的方差分別為4和2,則隨機變量32XY的方差是A8B16C28D44三、本題共3小題,每小題5分,滿分15分1計算2,IXYDV其中為平面曲線20YZX繞Z軸旋轉一周所成的曲面與平面8Z所圍成的區(qū)域2計算曲線積分,CZYDXYXDZ其中C是曲線21XYZ從軸正向往Z軸負向看C的方向是順時針的3在某一人群中推廣新技術是通過其中掌握新技術的人進行的,設該人群的總人數為,N在0T時刻已掌握新技術的人數為0,X在任意時刻T已掌握新技術的人數為XT將T視為連續(xù)可微變量,其變化率與已掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比,比例常數0,K求XT四、本題共2小題,第1小題6分,第2小題7分,滿分13分1設直線L03XYBAZ在平面上,而平面與曲面2ZXY相切于點1,25求,之值2設函數FU具有二階連續(xù)導數,而ESINXZFY滿足方程22E,XZZXY求F五、本題滿分6分設FX連續(xù)10,XFTD且0LIMXFA為常數,求并討論在處的連續(xù)性六、本題滿分8分設110,1,22NNAA證明1LIMX存在2級數1NA收斂七、本題共2小題,第1小題5分,第2小題6分,滿分11分1設B是秩為2的54矩陣13,3,1,189TTT是齊次線性方程組X0的解向量,求X0的解空間的一個標準正交基2已知1是矩陣2531ABA的一個特征向量1試確定,AB參數及特征向量所對應的特征值2問A能否相似于對角陣說明理由八、（本題滿分5分）設A是N階可逆方陣,將A的第I行和第J行對換后得到的矩陣記為B1證明可逆2求1A九、（本題滿分7分）從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,假設再各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是25設X為途中遇到紅燈的次數,求隨機變量X的分布律、分布函數和數學期望十、（本題滿分5分）設總體X的概率密度為FX10X為其中1是未知參數12,NX是來自總體X的一個容量為N的簡單隨機樣本,分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計量1998年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上1201LIMXX_2設,ZFYXFX具有二階連續(xù)導數,則2XY_3設L為橢圓21,43XY其周長記為,A則23LXYDS_4設A為N階矩陣,0,A為的伴隨矩陣,E為N階單位矩陣若有特征值,則2必有特征值_5設平面區(qū)域D由曲線1YX及直線20,1EYX所圍成,二維隨機變量,XY在區(qū)域上服從均勻分布,則,XY關于的邊緣概率密度在2處的值為_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設FX連續(xù),則20XDTFDTA2B2FCXFDX2函數23不可導點的個數是A3B2C1D03已知函數YX在任意點X處的增量2,1YX且當0時,是的高階無窮小,0Y,則等于A2BC4ED44設矩陣112233ABC是滿秩的,則直線333121212XAYBZC與直線111232323XAYBZCA相交于一點B重合C平行但不重合D異面5設,AB是兩個隨機事件,且010,|PPAB則必有A|B|ABCPABD三、本題滿分5分求直線1XYZL在平面210XYZ上的投影直線0的方程,并求0L繞軸旋轉一周所成曲面的方程四、本題滿分6分確定常數,使在右半平面0X上的向量4242,XYYYAIJ為某二元函數,UXY的梯度,并求,UXY五、本題滿分6分從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度Y從海平面算起與下沉速度V之間的函數關系設儀器在重力作用下,從海平面由靜止開始鉛直下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用設儀器的質量為,M體積為,B海水密度為,儀器所受的阻力與下沉速度成正比,比例系數為0K試建立Y與V所滿足的微分方程,并求出函數關系式YV六、本題滿分7分計算221,AXDYZADXY其中為下半平面2Z的上側,為大于零的常數七、本題滿分6分求2SINISINLM1X八、（本題滿分5分）設正向數列NA單調減少,且1NA發(fā)散,試問級數1NNA是否收斂并說明理由九、（本題滿分6分）設YFX是區(qū)間0,1上的任一非負連續(xù)函數1試證存在使得在區(qū)間0,X上以0F為高的矩形面積,等于在區(qū)間0,X上以YF為曲邊的曲邊梯形面積2又設FX在區(qū)間,1內可導,且2,FXF證明1中的0是唯一的十、（本題滿分6分）已知二次曲面方程2224XAYZBXYZ可以經過正交變換XYZP化為橢圓柱面方程24,求,AB的值和正交矩陣十一、（本題滿分4分）設A是N階矩陣,若存在正整數,K使線性方程組KX0有解向量,且1K0證明向量組是線性無關的十二、（本題滿分5分）已知方程組121,2,12,20NNNAXAX的一個基礎解析為121,212,12,TTTNNNNBBB試寫出線性方程組121,2,12,20NNNBYBY的通解,并說明理由十三、（本題滿分6分）設兩個隨機變量,XY相互獨立,且都服從均值為0、方差為12的正態(tài)分布,求隨機變量Y的方差十四、（本題滿分4分）從正態(tài)總體23,6N中抽取容量為N的樣本,如果要求其樣本均值位于區(qū)間1,5內的概率不小于095,問樣本容量N至少應取多大附標準正態(tài)分布表21ETZXDZ1281645196233X0900095009750990十五、（本題滿分4分）設某次考試的學生成績服從正態(tài)分布,從中隨機地抽取36位考生地成績,算得平均成績?yōu)?65分,標準差為15分問在顯著性水平005下,是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分并給出檢驗過程附T分布表PPTN09509753516896203013616883202811999年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試卷一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上1201LIMTANXX_22SDD_34EXY的通解為Y_4設N階矩陣A的元素全為1,則A的N個特征值是_5設兩兩相互獨立的三事件,B和C滿足條件1,2ABCPBC且已知9,6則PA_二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內1設FX是連續(xù)函數,FX是F的原函數,則A當FX是奇函數時,FX必是偶函數B當FX是偶函數時,必是奇函數C當FX是周期函數時,X必是周期函數D當FX是單調增函數時,F必是單調增函數2設21COS0XFG,其中GX是有界函數,則FX在0處A極限不存在B極限存在,但不連續(xù)C連續(xù),但不可導D可導3設012XF,01COS,NASXX其中02NFD0,12N,則52S等于AB1C34D344設A是MN矩陣,B是NM矩陣,則A當MN時,必有行列式|0ABB當時,必有行列式|C當時,必有行列式|D當NM時,必有行列式|0AB5設兩個相互獨立的隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布0,1N和,則A102PXYBCD12PXY三、本題滿分6分設,YXZ是由方程ZXFY和,0FXZ所確定的函數,其中F和F分別具有一階連續(xù)導數和一階連續(xù)偏導數,求DZX