1、2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算教學(xué)目標： 1理解并記憶對數(shù)的定義，對數(shù)與指數(shù)的互化，對數(shù)恒等式及對數(shù)的性質(zhì)2理解并掌握對數(shù)運算法則的內(nèi)容及推導(dǎo)過程3熟練運用對數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)運算法則解題4對數(shù)的初步應(yīng)用 .教學(xué)重點： 對數(shù)定義、對數(shù)的性質(zhì)和運算法則教學(xué)難點： 對數(shù)定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運算法則的推導(dǎo)教學(xué)方法： 學(xué)導(dǎo)式教學(xué)過程設(shè)計第一課時師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2 ，求 20 年后國民生產(chǎn)總值是原來的多少倍？1，則 20 年后國民生產(chǎn)總值 y=（ 1+7.2 ） 20=1.07220 ，所生：設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為以 20 年后國民生產(chǎn)總值是原來的1.072 20 倍

2、師：這是個實際應(yīng)用問題，我們把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中知道底數(shù)和指數(shù)，求冪值的問題也就是上面學(xué)習(xí)的指數(shù)問題師：（板書） 已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2 ，問經(jīng)過多年年后國民生產(chǎn)總值是原來的 4 倍？師：（分析）仿照上例，設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，需經(jīng) x 年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍列方程得 :1.072 x =4我們把這個應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為知道底數(shù)和冪值，求指數(shù)的問題，這是上述問題的逆問題，即本節(jié)的對數(shù)問題師：（板書）一般地，如果a（ a 0， a 1）的 x 次冪等于 N，就是 a xN ，那么數(shù) x就叫做以 a 為底 N 的對數(shù) (logarithm)，記作 x=log aN，其中 a 叫做對數(shù)

3、的 底數(shù) ，N 叫做真數(shù) ，式子 log N 叫做對數(shù)式 a對數(shù)這個定義的認識及相關(guān)例子:(1) 對數(shù)式 log aN 實際上就是指數(shù)式中的指數(shù)x 的一種新的記法(2) 對數(shù)是一種新的運算是知道底和冪值求指數(shù)的運算實際上 axN 這個式子涉及到了三個量a，x， N，由方程的觀點可得“知二求一” 知道 a，x 可求 N，即前面學(xué)過的指數(shù)運算；知道x（為自然數(shù)時） 、 N可求 a，即初中學(xué)過的開x根號運算， 記作N a ；知道 a,N 可以求 x，即今天要學(xué)習(xí)的對數(shù)運算， 記作 log aN= x因此，對數(shù)是一種新的運算，一種知道底和冪值求指數(shù)的運算而每學(xué)一種新的運算，首先要學(xué)習(xí)它的記法，對數(shù)運算

4、的記法為log aN，讀作：以 a 為底 N 的對數(shù)請同學(xué)注意這種運算的寫法和讀法師：下面我來介紹兩個在對數(shù)發(fā)展過程中有著重要意義的對數(shù)師：（板書）對數(shù) log aN（ a 0且 a 1）在底數(shù) a=10 時，叫做 常用對數(shù) (common logarithm)，簡記 lgN ；底數(shù) a=e 時，叫做 自然對數(shù) (naturallogarithm)，記作 lnN ，其中 e 是個無理數(shù)，即 e 2.718 28 師：實際上指數(shù)與對數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式為了更深入認識并記憶對數(shù)這個概念，請同學(xué)們填寫下列表格名稱式子xNa指數(shù)式xa =N對數(shù)式log aN=x練習(xí) 1把下列指數(shù)式寫成

5、對數(shù)形式：11m(1)54625;(2)2 6;(3)5.73643練習(xí) 2把下列對數(shù)形式寫成指數(shù)形式：(1)log 1164;(2) lg 0.012;(3) ln10 2.3032練習(xí) 3求下列各式的值：（兩名學(xué)生板演練習(xí)1， 2 題（過程略），一生板演練習(xí)三 ）2因為 53=125，所以以5 為底 125 的對數(shù)等于 3（注意糾正學(xué)生的錯誤讀法和寫法）例題（教材第 73 頁例題 2）師：由定義，我們還應(yīng)注意到對數(shù)式a中字母的取值范圍是什么？log N=b生： a 0 且 a 1； x R； NR師： N R？（這是學(xué)生最易出錯的地方，應(yīng)一開始讓學(xué)生牢牢記住真數(shù)大于零）生：由于在實數(shù)范圍內(nèi)

6、，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，因而ax=N中 N 總是正數(shù)師：要特別強調(diào)的是：零和負數(shù)沒有對數(shù)師：定義中為什么規(guī)定a 0， a 1？（根據(jù)本班情況決定是否設(shè)置此問）生：因為若 a 0，則 N取某些值時， x 可能不存在，如x=log （ -2 ） 8 不存在；若 a=0，則當(dāng) N 不為 0 時， x 不存在，如 log02 不存在；當(dāng) N 為 0 時， x 可以為任何正數(shù)，是不唯一的，即 log 00 有無數(shù)個值；若a=1， N 不為 1時， x 不存在，如 log 13 不存在， N 為 1 時， x 可以為任何數(shù)，是不唯一的，即log 11 有無數(shù)多個值因此，我們規(guī)定：a 0， a 1（此回答

7、能培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想這個問題從ax=N出發(fā)回答較為簡單 ）練習(xí) 4計算下列對數(shù)：lg10000 ，lg0.01 ， 2log2 4 ， 3log3 27 ，10lg105 ， 51og51125 師：請同學(xué)說出結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想生： 2log2 4 =4這是因為 log24=2，而 22=4生： 3log 3 27=27這是因為 log327=3，而 33=27生： 10lg105=105生：我猜想 alog a NN ，所以 51og5 1125 =1125師：非常好這就是我們下面要學(xué)習(xí)的對數(shù)恒等式師：（板書）alog a NN （ a 0，a 1， N 0）（用紅筆在字母取

8、值范圍下畫上曲線）（再次鼓勵學(xué)生，并提出更高要求，給出嚴格證明）（學(xué)生討論，并口答 ）生：（板書）bbN證明：設(shè)指數(shù)等式 a =N，則相應(yīng)的對數(shù)等式為log aN=b，所以 a = aloga N師：你是根據(jù)什么證明對數(shù)恒等式的？生：根據(jù)對數(shù)定義師：（分析小結(jié)）證明的關(guān)鍵是設(shè)指數(shù)等式 ab=N因為要證明這個對數(shù)恒等式，而現(xiàn)在我們有關(guān)對數(shù)的知識只有定義， 所以顯然要利用定義加以證明 而對數(shù)定義是建立在指數(shù)基礎(chǔ)之上的，所以必須先設(shè)出指數(shù)等式，從而轉(zhuǎn)化成對數(shù)等式，再進行證明師：掌握了對數(shù)恒等式的推導(dǎo)之后，我們要特別注意此等式的適用條件生： a 0，a 1， N 0師：接下來觀察式子結(jié)構(gòu)特點并加以記憶

9、（給學(xué)生一分鐘時間 ）log 8log 2=？師：（板書） 2 2 =？24生： 2log 28=8；2log 42=2師：第 2 題對嗎？錯在哪兒？師：（繼續(xù)追問）在運用對數(shù)恒等式時應(yīng)注意什么？（經(jīng)歷上面的錯誤，使學(xué)生更牢固地記住對數(shù)恒等式）生：當(dāng)冪的底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)相同時，才可以用公式aloga NN （師用紅筆在兩處 a 上重重地描寫 ）師：最后說說對數(shù)恒等式的作用是什么？生：化簡！師：請打開書 74 頁，做練習(xí) 4（生口答略）師：對對數(shù)的定義我們已經(jīng)有了一定認識，現(xiàn)在，我們根據(jù)定義來進一步研究對數(shù)的性質(zhì)師： 負數(shù)和零有沒有對數(shù) ？并說明理由x生：負數(shù)和零沒有對數(shù)因為定義中規(guī)定a 0，所

10、以不論 0，這x 是什么數(shù)，都有 a就是說，不論 x 是什么數(shù)， N=ax 永遠是正數(shù)因此，由等式x=log aN 可以看到，負數(shù)和零沒有對數(shù)師：非常好由于對數(shù)定義是建立在指數(shù)定義的基礎(chǔ)之上，所以我們要充分利用指數(shù)的知識來研究對數(shù)師：（板書） 性質(zhì) 1：負數(shù)和零沒有對數(shù)師： 1 的對數(shù)是多少？0生：因為a =1（ a 0，a 1），所以根據(jù)對數(shù)定義可得1 的對數(shù)是零 師；底數(shù)的對數(shù)等于多少？1生：因為a =a，所以根據(jù)對數(shù)的定義可得底數(shù)的對數(shù)等于1師：給一分鐘時間，請牢記這三條性質(zhì)練習(xí)：課本第74 頁練習(xí) 1、 2、 3、 4 題。作業(yè)：課本第86 頁習(xí)題 2.2A 組題第 1、 2 題。第二

11、課時師：在初中，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)的運算法則，請大家回憶一下生：am anam n (m,n Z) ；(am )namn (m,n Z) ；( ab) nan bn (n Z) ，師：下面我們利用指數(shù)的運算法則，證明對數(shù)的運算法則（板書）（1）正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和，即log （MN）=log M+log Naaa（請兩個同學(xué)讀法則（1），并給時間讓學(xué)生討論證明）師：我們要證明這個運算法則，用眼睛一瞪無從下手，這時我們該想到，關(guān)于對數(shù)我們只學(xué)了定義和性質(zhì)， 顯然性質(zhì)不能證明此式，所以只有用定義證明 而對數(shù)是由指數(shù)加以定義的，顯然要利用指數(shù)的運算法則加以證明，因此，我們首先要把

12、對數(shù)等式轉(zhuǎn)化為指數(shù)等式logM=p，log N=qpq師：（板書）設(shè)M=a， N=a 所以aa，由對數(shù)的定義可以寫成M N=ap aq=ap+q，所以log a（ M N） =p+q=log aM+logaN即log a（ MN） =log aM+logaN師：這個法則的適用條件是什么？生：每個對數(shù)都有意義，即M0， N 0； a 0 且 a 1師：觀察法則（1）的結(jié)構(gòu)特點并加以記憶生：等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運算師：非常好例如， （板書） log 2（ 32 64） =？生： log 2（ 32 64） =log 232+log 264=5+6=11師：通過

13、此例，同學(xué)應(yīng)體會到此法則的重要作用降級運算它使計算簡化師：（板書） log 62+log 6 3=？生： log2+log63=log （ 2 3） =166師：正確由此例我們又得到什么啟示？生：這是法則從右往左的使用是升級運算師：對 對于運算法則（公式） ，我們不僅要會從左往右使用，還要會從右往左使用真正領(lǐng)會法則的作用！師：（板書）（ 2）兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)師：仿照研究法則（1）的四個步驟，自己學(xué)習(xí)（給學(xué)生三分鐘討論時間）生：（板書）設(shè) log aM=p， log aN=q根據(jù)對數(shù)的定義可以寫成pqM=a， N=a 所以師：非常好他是利用指數(shù)的運算法則和對數(shù)的定

14、義加以證明的大家再想一想，在證明法則（ 2）時，我們不僅有對數(shù)的定義和性質(zhì)，還有法則（ 1）這個結(jié)論那么，我們是否還有其它證明方法？生：（板書）師：非常漂亮他是運用轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想， 借助于剛剛證明的法則 （ 1）去證明法則 （ 2）他的證法要比書上的更簡單這說明， 轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，在化難為易、化復(fù)雜為簡單上的重要作用 事實上， 這種思想不但在學(xué)習(xí)新概念、 新公式時常常用到， 而且在解題中的應(yīng)用更加廣泛師：法則（ 2）的適用條件是什么？生： M 0，N 0； a 0 且 a1師：觀察法則（2）的結(jié)構(gòu)特點并加以記憶生：等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運

15、算師：（板書） lg20-lg2=？師：可見法則（2）的作用仍然是加快計算速度，也簡化了計算的方法師：（板書）例1計算：（學(xué)生上黑板解，由學(xué)生判對錯，并說明理由）：（ 1） log 93+log 927=log 9327=log 9 81=2；（ 3） log 2（ 4+4） =log 2 4+log 24=4；生：第（ 2）題錯！在同底的情況下才能運用對數(shù)運算法則（板書）生：第（ 3）題錯！法則（1）的內(nèi)容是：生：第（ 4）題錯！法則（2）的內(nèi)容是：師：通過前面同學(xué)出現(xiàn)的錯誤，我們在運用對數(shù)運算法則時要特別注意什么？生：首先，在同底的情況下才能從右往左運用法則（1）、（ 2）；其次，只有在正

16、因數(shù)的積或兩個正數(shù)的商的對數(shù)的情況下，才能從左往右運用運算法則（1）、（ 2）師：（板書）（ 3）正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)即log a（N）n=nlogaN師：請同學(xué)們自己證明（給幾分鐘時間）師：法則（ 3）的適用條件是什么？生： a 0，a 1； N 0師：觀察式子結(jié)構(gòu)特點并加以記憶生：從左往右仍然是降級運算53師：例如，（板書） log 332=log 52 =5log 52練習(xí)計算（log 232） 錯解：（ log 232） 3=log 2（ 25） 3=log 2215=1535333正確解：（ log 232） =（ log 22 ） =（ 5log 22） =5

17、 =125師：（板書）（ 4）正數(shù)的正的方根的對數(shù)等于被開方數(shù)的對數(shù)除以根指數(shù)即師：法則（ 4）的適用條件是什么？生： a 0，a 1； N 0師：法則（ 3）和法則 （ 4）可以合在一起加以記憶 即 log aN =log aN（ R）（師板書）例 2 用 log ax， log ay，log az 表示下列各式：解：（注意（ 3）的第二步不要丟掉小括號）例3計算：解：（生板書）7 5（ 1） log 2（ 4 2 ） =log 24 +log 22 =7log 24+5log 22=7 2+5 1=1975師：請大家在筆記本上小結(jié)這節(jié)課的主要內(nèi)容小結(jié)： 通過本節(jié)課，應(yīng)使學(xué)生明確如何學(xué)習(xí)一種

18、運算（從定義、記法、性質(zhì)、法則等方面來研究）；如何學(xué)習(xí)公式或法則（從公式推導(dǎo)，適用條件，結(jié)構(gòu)特點和記憶以及公式作用四方面來研究） 針對高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多、密度大、進度快的特點，應(yīng)使學(xué)生盡早地掌握適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法練習(xí)： 課本第 79 頁練習(xí)第1、 2、 3 題。作業(yè)： 課本第 86 頁習(xí)題 2.2A 組題第 3、4、 5 題。第三課時教學(xué)目標： 1掌握對數(shù)函數(shù)單調(diào)性2掌握比較同底數(shù)對數(shù)大小的方法3培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識教學(xué)重點： 利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較對數(shù)大小教學(xué)難點： 不同底數(shù)的對數(shù)比較大小教學(xué)方法： 學(xué)導(dǎo)式教學(xué)過程（ I ）復(fù)習(xí)回顧師：上一節(jié)，大家學(xué)習(xí)了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，明確了對數(shù)函數(shù)的

19、單調(diào)性，即當(dāng) a1時， ylog ax 在（ ，）上是增函數(shù)；0 +當(dāng) 0a1時 ,y log ax 在（ 0， +） 是減函數(shù)。這一節(jié)，我們主要學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。（）講授新課1 例題講解：例 2比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?） log 2 3.4, log 2 8.5 ；（ 2） log 0. 3 1.8,log 0.3 2.7 ；（3） log a 5.1, log a 5.9(a0, a1)分析：此題主要利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同底數(shù)的對數(shù)值大小。解：（ 1）考查對數(shù)函數(shù)ylog 2 x ，因為它的底數(shù)21，所以它在（ 0， +）上是增函數(shù)，于是 log 2 3.4log 2 8.5 。（2）考查對數(shù)函數(shù)log 0.3 x ，因為它的底數(shù)00.31 ，所以它在（ 0， +）上是減函數(shù)，于是 log 0 .3 1.8log 0 .3 2.7 。師：通過例 2（ 1）、（ 2）的解答， 大家可以試著總結(jié)兩個同底數(shù)的對數(shù)比較大小的一般步驟：（ 1） 確定所要考查的對數(shù)函數(shù)；（ 2） 根據(jù)對數(shù)底數(shù)判斷對數(shù)函數(shù)增減性；（ 3） 比較真數(shù)大小，然后利用對數(shù)函數(shù)的增減性判斷兩對數(shù)值的大小解：（ 3）當(dāng) a 1 時， ylog a x 在（ 0