1、第 1 章信號與系統(tǒng)的基本概念1.1引言系統(tǒng)是一個廣泛使用的概念，指由多個元件組成的相互作用、相互依存的整體。我們學(xué)習(xí)過“電路分析原理”的課程，電路是典型的系統(tǒng)，由電阻、電容、電感和電源等元件組成。我們還熟悉汽車在路面運(yùn)動的過程，汽車、路面、空氣組成一個力學(xué)系統(tǒng)。更為復(fù)雜一些的系統(tǒng)如電力系統(tǒng)，它包括若干發(fā)電廠、變電站、輸電網(wǎng)和電力用戶等，大的電網(wǎng)可以跨越數(shù)千公里。我們在觀察、分析和描述一個系統(tǒng)時，總要借助于對系統(tǒng)中一些元件狀態(tài)的觀測和分析。例如，在分析一個電路時，會計算或測量電路中一些位置的電壓和電流隨時間的變化；在分析一個汽車的運(yùn)動時，會計算或觀測驅(qū)動力、阻力、位置、速度和加速度等狀態(tài)變量隨

2、時間的變化。系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時間變化的關(guān)系稱為信號，包含了系統(tǒng)變化的信息。很多實際系統(tǒng)的狀態(tài)變量是非電的，我們經(jīng)常使用各種各樣的傳感器，把非電的狀態(tài)變量轉(zhuǎn)換為電的變量，得到便于測量的電信號。隱去不同信號所代表的具體物理意義，信號就可以抽象為函數(shù)，即變量隨時間變化的關(guān)系。信號用函數(shù)表示，可以是數(shù)學(xué)表達(dá)式，或是波形，或是數(shù)據(jù)列表。在本課程中，信號和函數(shù)的表述經(jīng)常不加區(qū)分。信號和系統(tǒng)分析的最基本的任務(wù)是獲得信號的特點和系統(tǒng)的特性。系統(tǒng)的分析和描述借助于建立系統(tǒng)輸入信號和輸出信號之間關(guān)系，因此信號分析和系統(tǒng)分析是密切相關(guān)的。系統(tǒng)的特性千變?nèi)f化，其中最重要的區(qū)別是線性和非線性、時不變和時變。這些區(qū)別導(dǎo)致分

3、析方法的重要差別。本課程的內(nèi)容限于線性時不變系統(tǒng)。我們最熟悉的信號和系統(tǒng)分析方法是時域分析，即分析信號隨時間變化的波形。例如，對于一個電壓測量系統(tǒng)，要判斷測量的準(zhǔn)確度，可以直接分析比較被測的電壓波形vin (t ) （測量系統(tǒng)輸入信號）和測量得到的波形 vout (t)（測量系統(tǒng)輸出信號） ，觀察它們之間的相似程度。為了充分地和規(guī)范地描述測量系統(tǒng)的特性，經(jīng)常給系統(tǒng)輸入一個階躍電壓信號，得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，圖 1-1 是典型的波形， 通過階躍響應(yīng)的電壓上升時間（電壓從10上升至90的時間）和過沖（百分比）等特征量，表述測量系統(tǒng)的特性，上升時間和過沖越小，系統(tǒng)特性越好。其中電壓上升時間反映了系統(tǒng)的

4、響應(yīng)速度，小的上升時間對應(yīng)快的響應(yīng)速度。如果被測電壓快速變化，而測量系統(tǒng)的響應(yīng)特性相對較慢，則必然產(chǎn)生較大的測量誤差。信號與系統(tǒng)分析的另一種方法是頻域分析。信號頻域分析的基本原理是把信號分解為不同頻率三角信號的疊加，觀察信號所包含的各頻率分量的幅值和相位，得到信號的頻譜特性。圖1-2是從時域和頻域觀察一個周期矩形波信號的示意圖，由此可以看到信號頻域和時域的關(guān)系。系統(tǒng)的頻域分析是觀察系統(tǒng)對不同頻率激勵信號的響應(yīng)，得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。頻域分析的重要優(yōu)點包括：（ 1）對信號變化的快慢和系統(tǒng)的響應(yīng)速度給出定量的描述。例如，當(dāng)我們要用一個示波器觀察一個信號時，需要了解信號的頻譜特性和示波器的模擬帶寬

5、，當(dāng)示波器的模擬帶寬能夠覆蓋被測信號的頻率范圍時，可以保證測量的準(zhǔn)確。（ 2）為線性系統(tǒng)分析提供了一種簡化的方法，在時域分析中需要進(jìn)行的微分或積分運(yùn)算，在頻域分析中簡化成了代數(shù)運(yùn)算。輸入信號 vin (t)0t輸出信號 vout (t)過沖0上升時間t圖 1-1典型電壓測量系統(tǒng)的輸入和輸出波形f ( t)F (k 1 )0k 1t0圖 1-2周期矩形波信號的時域和頻域信號和系統(tǒng)分析還有復(fù)頻域分析的方法，對于連續(xù)信號和系統(tǒng)，基于拉普拉斯變換，稱為s 域分析；對于離散信號和系統(tǒng)，基于z變換，稱為z 域分析?；趶?fù)頻域分析，能夠得到信號和系統(tǒng)響應(yīng)的特征參數(shù)，即頻率和衰減，分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性和系統(tǒng)

6、穩(wěn)定性等；復(fù)頻域分析也能簡化系統(tǒng)分析，將在時域分析中需要進(jìn)行的微分或積分運(yùn)算簡化為復(fù)頻域中的代數(shù)運(yùn)算。本課程將學(xué)習(xí)信號和系統(tǒng)分析的基本方法和原理，包括時域分析、頻域分析和復(fù)頻域分析。隨著計算機(jī)技術(shù)和數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，離散信號和離散系統(tǒng)的分析方法具有非常廣泛的實際應(yīng)用。本課程在深入學(xué)習(xí)連續(xù)信號和系統(tǒng)的分析方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)離散信號和系統(tǒng)的分析方法。信號和系統(tǒng)分析的重要工具是信號變換，本課程依據(jù)信號變換方法的內(nèi)在聯(lián)系，將依次介紹連續(xù)周期信號傅里葉級數(shù)（ FS）、連續(xù)信號傅里葉變換（FT）、拉普拉斯變換、離散周期信號傅里葉級數(shù)（DFS）、離散時間傅里葉變換（ DTFT）、 z 變換

7、，以及用于計算機(jī)計算的離散傅里葉變換（DFT）和快速傅里葉變換（FFT）。1.2信號的分類1.2.1連續(xù)時間信號和離散時間信號連續(xù)時間信號簡稱為連續(xù)信號，在所討論的信號時間區(qū)間內(nèi)，除了若干不連續(xù)點之外，任意時間都有確定的信號取值。連續(xù)信號的符號表示為f (t) ， t 為時間，連續(xù)取值。當(dāng)需要區(qū)分連續(xù)信號和離散信號時，以下標(biāo) a 表示連續(xù)信號，表示為f a (t) 。圖 1-3 是一個連續(xù)信號的示意圖。連續(xù)信號可分為非奇異信號和奇異信號。當(dāng)信號和信號的各階導(dǎo)數(shù)在整個時間區(qū)間都是連續(xù)時，稱為非奇異信號；當(dāng)信號或信號的某階導(dǎo)數(shù)存在不連續(xù)點（跳變點）時，稱為奇異信號。注意，如果一個信號本身是連續(xù)的，

8、但若干次求導(dǎo)以后的導(dǎo)函數(shù)存在不連續(xù)點，則是奇異信號。一個非奇異信號和一個奇異信號相加或相乘，其結(jié)果通常仍為一個奇異信號。離散時間信號簡稱為離散信號，在所討論的信號時間區(qū)間內(nèi)，信號只在一些離散時間點取值，其他時間無定義。離散信號的符號表示為f d (n) ， n 為離散點序數(shù)，取整數(shù)值。這里用下標(biāo)d 表示離散信號，以區(qū)分連續(xù)信號和離散信號。圖1-4 是一個離散信號的示意圖。注意，在離散點之間，信號無定義，不要理解為信號取零值。離散信號通常來自于對連續(xù)信號的抽樣，并且經(jīng)常是等間隔抽樣。相鄰兩個抽樣點之間的時間間隔稱為抽樣周期或抽樣間隔，用Ts 表示；單位時間的抽樣點數(shù)稱為抽樣率，用fs 表示，有f

9、s1/ Ts 。信號抽樣滿足關(guān)系fd (n)fa (nTs ) 。在離散信號分析中，經(jīng)常隱去時間的概念，因此也稱為離散序列。實際中還經(jīng)常用到模擬信號和數(shù)字信號的概念。所謂模擬信號，信號的時間和幅值都連續(xù)取值。本課程中不區(qū)分模擬信號和連續(xù)信號。所謂數(shù)字信號，信號的時間和幅值都離散取值。實際中的信號抽樣，由于模數(shù)轉(zhuǎn)換器（A/D 轉(zhuǎn)換器）的位數(shù)限制，抽樣得到的離散點的信號幅值都是離散的，所以是數(shù)字信號。f a (t )fd ( n)0t-2-1012345678n圖 1-3連續(xù)信號圖 1-4離散信號1.2.2周期信號和非周期信號周期信號是以一定時間間隔周期重復(fù)的信號，無始無終。連續(xù)周期信號滿足關(guān)系f

10、a (t ) f a (t T )（1-1 ）T 稱為連續(xù)周期信號的周期。離散周期信號滿足關(guān)系f d (n) f d (n N )（1-2 ）N 取正整數(shù)，稱為離散周期信號的周期。1.2.3能量有限信號和能量無限信號一個連續(xù)信號f a (t) 的能量定義為Ea2（1-3 ）f a (t ) dt當(dāng) f a (t) 為復(fù)信號時， f a (t)2f a (t ) 是一個電壓信號或電f a (t) f a (t ) 。信號 f a (t) 的能量可理解為：假設(shè)流信號，它作用在一個1 電阻上時所消耗的能量為信號能量。一個離散信號f d ( n) 的能量定義為Ed2（1-4）fd (n)n當(dāng) f d

11、( n) 為復(fù)信號時， fd (n)2f d (n) fd (n) 。對于連續(xù)信號和離散信號，當(dāng)信號的能量為有限值時稱為能量有限信號，否則稱為能量無限信號。式（ 1-3 ）和式（ 1-4 ）中取信號的絕對值，表示信號能量的定義對復(fù)信號也成立。1.3典型信號1.3.1典型連續(xù)非奇異信號1. 三角信號三角信號有正弦和余弦兩種表示形式，為方便起見， 本教材選擇余弦函數(shù)的表示方式。三角信號的一般表達(dá)式為f (t) M cos(t)（1-5）式中 M 為信號幅值，為角頻率，為初始相位。以后在提到三角信號的初始相位時，均指余弦表示方式下的初始相位。 三角信號的角頻率120、頻率 f 和周期 T 滿足關(guān)系：

12、 T。當(dāng)三角信號的角頻率f時為直流信號，直流信號是三角信號的一個特例。圖1-5 是一個三角信號的典型波形。2. 指數(shù)信號指數(shù)信號的表達(dá)式為f ( t) Aeat（1-6）式中 A 和 a 均為實數(shù)，A 為 t0 時的信號幅值， a 為衰減系數(shù)，當(dāng) a0 時， f (t ) 隨時間增大而增加；當(dāng) a0時， f (t) 隨時間增大而減小。圖1-6 是指數(shù)信號的典型波形。f (t)M cos( t)f (t) AeatMtAa 00Ta 0t0圖 1-5三角信號波形圖 1-6指數(shù)信號波形3. 復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號的表達(dá)式為f ( t) Aeat（1-7）式中 A 和 a 既可為實數(shù)也可為復(fù)數(shù)，有以下

13、幾種情況。（ 1）當(dāng) A 和 a 都為實數(shù)時，f (t) 就是一個指數(shù)信號。指數(shù)信號是復(fù)指數(shù)信號的一個特例。（ 2）當(dāng) A 為實數(shù)， a 為復(fù)數(shù)時，設(shè)aj（1-8 ）有f (t)Ae(j )t（1-9）根據(jù)歐拉公式ej tcostj sint（ 1-10a ）e jtcostj sintcost1 (e j te j t)2（ 1-10b ）1 (ejsintte j t)2j于是有f (t)Ae t cos tj Ae t sint（ 1-11 ）此時 f ( t) 的實部和虛部都是一個指數(shù)包絡(luò)的三角函數(shù)，復(fù)數(shù)a 的實部和虛部分別表示衰減系數(shù)和角頻率。當(dāng)0時，有f (t) Acos t jA

14、sin t（ 1-12 ）它的實部和虛部都是無衰減的三角函數(shù)。（ 3）如果 A 和 a 都為復(fù)數(shù)，設(shè)AR jIA ej（ 1-13 ）aj則有f (t)A e je(j)t（ 1-14 ）A e tt) j A e t sin( tcos()其實部和虛部分別是一個指數(shù)包絡(luò)的三角函數(shù)，復(fù)數(shù)A 的模和輻角分別表示指數(shù)包絡(luò)三角函數(shù)的幅值和初始相位，復(fù)數(shù)a 的實部和虛部分別表示衰減系數(shù)和角頻率。復(fù)指數(shù)信號是一個抽象的信號，實際中并不存在復(fù)指數(shù)信號，但借助于復(fù)指數(shù)信號，可以表示指數(shù)信號、三角信號和指數(shù)包絡(luò)三角信號，描述了幅值、衰減、頻率和相位等特征量。4. 三角信號的復(fù)指數(shù)表示一個三角信號可以用一對共軛

15、復(fù)指數(shù)信號表示，根據(jù)歐拉公式，它們滿足關(guān)系f (t)M cos(t)Mej( t)e j( t)2（ 1-15 ）M ej ej tM e j e j t22A1ej tA2 e j t（ M是實數(shù)， A 、 A 是復(fù)數(shù)。）12圖 1-7 顯示了在復(fù)平面上一對共軛復(fù)指數(shù)信號疊加為一個實三角信號的關(guān)系。在復(fù)平面上， 共軛復(fù)函數(shù)e j t和 ejt 是一對旋轉(zhuǎn)的單位向量，向量始端在原點，長度為1，分別以和的角速度旋轉(zhuǎn)。在 t0時，兩個旋轉(zhuǎn)向量的起始位置在正實軸，即初始相位均為零；在任意時間t，兩個單位旋轉(zhuǎn)向量與實軸的夾角分別為t 和t 。兩個向量在實軸上的投影都是cost ，在虛軸上的投影分別為j

16、 sin t 和 j sint 。e j t和 e jt 始終關(guān)于實軸對稱，兩個向量疊加得到向量2 cos t ，始終在實軸上變化，是一個實函數(shù)，最大幅值為 2。式（ 1-15 ）中的共軛復(fù)數(shù)A1M e j 和 A2M e j是復(fù)平面上兩個關(guān)于實軸為對稱的固定向量，向22量始端在原點，長度為M ，輻角分別為和。2MImej ( t )2e j tM ej2MtRe10t2M cos( t)j tM e je2M e j( t)2圖 1-7三角信號和復(fù)指數(shù)信號的關(guān)系復(fù)數(shù) A1 和 A2 與復(fù)函數(shù) e j t 和 e j t分別相乘，得M ej ejt 和 M e j e j t ，它們也是復(fù)平面

17、上一對旋22轉(zhuǎn)的共軛向量，始端在原點，長度為M ，分別以角速度和旋轉(zhuǎn)，初始相位分別為和。在任意2時 間 t ， 兩 個 向 量 與 實 軸 的 夾 角 分 別 為 t和 ( t) 。這兩個向量在實軸上的投影均為M cos( t) ，在虛軸上的投影分別為jM sin(t) 和j M sin(t) 。兩個向量始終關(guān)于實軸對222稱，疊加得向量M cos( t) ，始終在實軸上變化，最大幅值為M 。由此可見，一對任意幅值和初始相位的共軛復(fù)指數(shù)信號的疊加是一個實三角信號。反過來，任意幅值A(chǔ)1M e jM e j和初始相位的三角信號可分解為兩個復(fù)指數(shù)信號的疊加。共軛復(fù)數(shù)和 A2的模和輻角22對應(yīng)于三角信

18、號M cos( t) 的幅值和初始相位，單位共軛復(fù)函數(shù)ejt和 e j t 的角頻率對應(yīng)于三角信號的角頻率。一個實三角信號分解為正、負(fù)兩個頻率的復(fù)指數(shù)信號的疊加，引出了負(fù)頻率的概念，這個負(fù)頻率的物理意義表示的還是實際的相同數(shù)值的正頻率。信號的復(fù)指數(shù)表示把指數(shù)信號、三角信號和指數(shù)包絡(luò)三角信號統(tǒng)一到了同一個形式，同時包含了幅值、衰減 、頻率和相位等特征量，給信號和系統(tǒng)分析帶來了很大方便，因此得到了大量使用。5. 抽樣信號抽樣信號的表達(dá)式為sin tSa(t)t其波形如圖 1-8 。在 t0 時刻，抽樣信號取值為Sa(t ) t 0lim sin t1t0t抽樣信號滿足以下關(guān)系Sa(t )dtSa(

19、t)1230t圖 1-8抽樣信號波形1.3.2典型奇異信號1. 單位階躍信號單位階躍信號的定義為1 t 0u(t )0 t 01tt 0u(t t0 )tt 00圖 1-9 是單位階躍信號的波形，在t 0 處信號跳變。（ 1-16 ）（ 1-17 ）（ 1-18 ）u(t )10t圖 1-9單位階躍信號（ 1-19 ）（ 1-20 ）2. 單位沖激信號單位沖激信號的定義為t0和(t) dt 1（ 1-21 ）(t )00t(t t0 )tt 0(t t0 )dt 1（1-22 ）t和0t 0圖 1-10 是單位沖激信號的圖形表示。直觀地理解，單位沖激信號具有兩個基本特點：其一，信號在一個無窮小

20、時間區(qū)間里取非零值，其他區(qū)間為零或無窮??；其二，信號波形的凈面積為1。因為信號在無窮小區(qū)間內(nèi)的凈面積是1，所以信號的幅值必然是無窮大。f(t )f (t )1(t)(tt0 )0t0t2 02t圖 1-10單位沖激信號圖 1-11單位沖激信號的逼近圖 1-11 是用矩形脈沖取極限得單位沖激信號的情況。設(shè)矩形脈沖的寬度為，面積為1，則高度為 1/。壓縮脈沖的寬度， 保持其面積不變， 則脈沖的高度增加。 當(dāng)矩形脈沖寬度0 時，矩形脈沖高度 1，矩形脈沖趨于單位沖激脈沖，即(t)lim 1 u(t)u(t)（ 1-23 ）022抽樣信號取極限也可得到?jīng)_激信號。構(gòu)造信號k Sa(kt ) ，當(dāng) k和

21、t0 時，有 k Sa(kt )；當(dāng) k和 t0 時，有 k Sa(kt )0 （此處應(yīng)用了廣義極限 lim sin kt0 ）。可見，當(dāng) k時，信號波k形寬度趨于0 ，幅值趨于，且有k1（ 1-24 ）Sa(kt )dt因此limk Sa(kt )(t )（ 1-25 ）k將任意形狀的信號進(jìn)行水平壓縮，如果它滿足上述沖激信號的兩個特點，就可以用沖激信號表示。如果波形的凈面積不是1，而是一個常數(shù)E ，則可以用一個強(qiáng)度為E 的沖激信號表示，即E (t) 。單位沖激函數(shù)具有以下基本特性：（ 1）與單位階躍函數(shù)的關(guān)系(t)du(t)（ 1-26 ）dtu(t)t( ) d（ 1-27 ）（ 2）抽樣

22、特性f ( t) ( t)f (0)(t )（ 1-28 ）f ( t) ( tt 0 ) f (t0 ) (t t0 )f (t )(t )dtf (0)（ 1-29 ）f (t )(tt0 )dtf (t 0 )（ 3）奇偶特性( t)(t)（ 1-30 ）（ 4）尺度特性1(t )（ 1-31 ）( at )a以下幾個例子可以幫助理解沖激信號的物理意義。例 1-1 在圖 1-12中，一個直流電源對電容充電，當(dāng)開關(guān) K 在 t0 時刻關(guān)合時， 電容在瞬間被充電至電壓 E 。設(shè)電容 C 的初始電壓為0，則電容的電荷隨時間的變化為q(t) CEu (t)（ 1-32 ）充電電流是電荷變化的導(dǎo)函

23、數(shù)dq(t)CE(t )（ 1-33 ）i (t )dt它是一個強(qiáng)度為CE 的沖激信號。實際電路中不可避免地有電感和電阻，充電時間不可能為無窮小，充電電流幅值也達(dá)不到無窮大，但在充電電流持續(xù)時間很短、電流幅值很大的情況下，可用沖激信號近似表示。例 1-2 在圖 1-13中，一個質(zhì)量為M 的剛性球處于靜止?fàn)顟B(tài)，在t 0 時刻被另一剛性球撞擊，開始以速度 V 運(yùn)動，因為撞擊時間很短，則被撞剛性球的速度變化為v(t ) Vu(t )（ 1-34 ）其加速度為dv(t)V (t)（ 1-35 ）a(t)dt其所受到的撞擊力為f (t) Ma (t )MV (t)（ 1-36 ）被撞擊球所受的撞擊力和運(yùn)

24、動加速度都可以用沖激信號表示。實際中的撞擊時間不可能為無窮小，因此撞擊力也達(dá)不到無窮大，但在撞擊時間很短的情況下可以用沖激信號近似表示。KMCM 1M 2Ex1x2x圖 1-12直流電源對電容充電圖 1-13剛性球碰撞圖 1-14長線上質(zhì)點的線密度例 1-3圖 1-14 所示是一根長線，在x1和 x2 兩位置有兩個質(zhì)量分別為M 1 和 M 2 的質(zhì)點，長線其他部分無質(zhì)量。該長線質(zhì)量分布隨x 變化的關(guān)系為m( x)M 1u(x x1 )M 2 u( x x2 )（ 1-37 ）其質(zhì)量線密度為d ( x)dm(x)( x x1 ) M 2 ( x x2 )（1-38 ）M1dx實際中的質(zhì)點總具有一

25、定的尺寸，在尺寸很小的情況下，質(zhì)量線密度可以用沖激信號表示。3. 單位沖激偶信號單位沖激偶信號的定義為d(t )） (t)（ 1-39dt單位沖激偶信號的基本特性：t(t )(t) dt（ 1-40 ） (t)dt0（ 1-41 ） (t) f (t) dtf (0)（ 1-42 ） (t t 0 ) f (t )dtf (t0 )（ 1-43 ）f (t) (t )f ( 0) (t) f ( 0) (t)（ 1-44 ）1.3.3典型離散信號1單位樣值信號單位樣值信號的定義為1n 0d (n)（ 1-45）0 n 01nmd (n m)n（ 1-46 ）0m圖 1-15 是單位樣值信號的波

26、形。單位樣值信號不是單位沖激信號的抽樣。2單位階躍序列單位階躍序列的定義為1n0（ 1-47 ）ud ( n)n00ud ( n m)1nm（ 1-48 ）0nm圖 1-16 是單位階躍序列的波形。對連續(xù)單位階躍信號進(jìn)行抽樣，并設(shè)定在 t0 時刻對單位階躍信號的抽樣值為 1，則抽樣結(jié)果為單位階躍序列。d ( n)ud (n)11-2-10123n-2-10123n圖 1-15單位樣值信號圖 1-16 單位階躍序列3三角序列三角序列的表達(dá)式為f d (n)M cos( n)（ 1-49 ）式中 M 為幅值，為離散角頻率，表示單位離散間隔信號變化的角度（用弧度表示），為初始相位。圖1-17 是三角

27、序列的波形。當(dāng)三角序列的離散角頻率為0 時，即為直流序列，直流序列是三角序列的特例。f d ( n)M-2 -13 4 59 10 n012678圖 1-17 三角序列三角序列 f d (n) M cos( n ) 經(jīng)常來自于對連續(xù)三角信號 f a (t ) M cos( t ) 的數(shù)值抽樣， 如果抽樣周期是 Ts ，則有fd (n) fa ( nTs ) M cos( nTs ) M cos( n )（ 1-50 ）此時 離散角頻率和連續(xù)角頻率的關(guān)系為Ts（ 1-51 ）連續(xù)角頻率表示連續(xù)三角信號在單位時間內(nèi)變化的角度，離散角頻率表示離散三角序列在單位離散間隔內(nèi)變化的角度，請注意理解和區(qū)分它

28、們的物理意義。對連續(xù)三角信號 f a (t)M cos(t) 抽樣得離散三角序列 f d (n)M cos( n) ，雖然 fa (t ) 是周期信號，但fd (n) 并不一定是周期信號。設(shè)fa (t) 的周期為 T ，抽樣周期為Ts ，則 fd (n) 的周期性取決于 Ts和 T 的關(guān)系。 如果存在非零正整數(shù) K1 和K 2 ，滿足 K 1TsK 2T ，即 Ts / TK 2 / K 1 為有理數(shù)， 則 f d ( n) 為周期序列。如果K 2 / K 1 是既約分?jǐn)?shù)，則f d (n) 的周期為 NK1 。當(dāng) Ts / T 為無理數(shù)時，f d ( n) 不會周期重復(fù)，為非周期序列。4指數(shù)序

29、列指數(shù)序列的表達(dá)式為f d (n)Ar n（ 1-52 ）式中 A 和 r 均為實數(shù)， A 為 n 0 時的信號幅值， r 為離散衰減系數(shù)，當(dāng) r1 時， f d (n) 隨 n 增大而增加；當(dāng) r 1 時， f d ( n) 隨 n 增大而減小。圖1-18 是指數(shù)序列的典型波形。對連續(xù)指數(shù)信號 f a (t)Aeat 抽樣，可得離散指數(shù)序列fd (n)fa ( nTs )AeanTsAr n（ 1-53 ）其中reaTs（ 1-54 ）表示一個抽樣間隔中的信號衰減。f d (n) Ar nAr1n0圖 1-18指數(shù)序列波形5 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列的表達(dá)式為f d (n)Aean（ 1-55

30、）式中 A 和 a 可為實數(shù)或復(fù)數(shù) 。類似于連續(xù)復(fù)指數(shù)函數(shù)，隨著A 和 a 取值的不同，f d (n) 也有不同的變化。（ 1）當(dāng) A 和 a 都為實數(shù)時，有fd (n)A ea nAr n（ 1-56 ）此為實指數(shù)序列。指數(shù)序列是復(fù)指數(shù)序列的一個特例。（ 2）當(dāng) A 為實數(shù)， a 為復(fù)數(shù)時，設(shè)aj（ 1-57 ）有fd (n)Ae( j )nAe n ej nAr n cos n j Ar n sin n （ r 為 e 的 次方）（ 1-58 ）其實部和虛部都是指數(shù)包絡(luò)的三角序列，復(fù)數(shù)a 的實部和虛部分別表示了離散信號的衰減和角頻率。當(dāng)0 時，有fd (n)Acos nj A sin n（

31、 1-59 ）其實部和虛部都是三角序列。（ 3）當(dāng) A 和 a 都為復(fù)數(shù)時，設(shè)aj ， A R jIA ej（ 1-60 ）則有fd (n)A e n cos( n)j A e n sin( n)A r n cos( nj A r n sin( n（1-61 ）)其實部和虛部分別是一個指數(shù)包絡(luò)的三角序列，復(fù)數(shù)A 的模和輻角分別表示了指數(shù)包絡(luò)三角序列的幅值和初始相位，復(fù)數(shù)a 的實部和虛部分別表示了衰減和角頻率。借助于離散復(fù)指數(shù)信號，可以表示離散指數(shù)信號、離散三角信號和離散指數(shù)包絡(luò)三角信號，描述了幅值、衰減、頻率和相位等特征量。和連續(xù)三角信號類似，一個離散三角序列可以表示為一對共軛的離散復(fù)指數(shù)序列

32、的疊加，即fd (n) M cos(n)M ( ej( n )e j( n ) )2（ 1-62 ）M e j e j nM e j e j n22A1e j nA2e j n依然可以用類似于圖1-7所示的向量圖表示離散三角序列和離散復(fù)指數(shù)序列的關(guān)系，差別在于，連續(xù)信號情況下，旋轉(zhuǎn)向量連續(xù)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角頻率分別為和；離散信號情況下，旋轉(zhuǎn)向量離散（步進(jìn)）旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角頻率（單位離散間隔步進(jìn)的角度）分別為和。1.4信號的運(yùn)算1.4.1信號的移位、反褶與尺度變化已知信號 f (t) ， f (t) 是對 f (t ) 的移位運(yùn)算， 正號對應(yīng)于f (t ) 波形左移時間；負(fù)號對應(yīng)于f (t) 波形右移時間

33、。 f (at ) 是對 f (t ) 的尺度運(yùn)算， 當(dāng)a1時， f (t ) 波形在水平方向被壓縮；當(dāng)0 a 1時， f (t)波形在水平方向被擴(kuò)展。f (t) 是對 f (t ) 的反褶運(yùn)算。信號 f ( atb) 同時包含了對信號f (t ) 的移位、反褶和尺度運(yùn)算。具體運(yùn)算步驟可分解如下：（ 1）改寫信號形式f ( atb)f a(tb / a)（ 1-63 ）（ 2）由 f (t ) 做尺度和反褶運(yùn)算得f (at ) ；（ 3）由 f ( at ) 做移位運(yùn)算得f a(tb a) 。在同時包含移位、反褶和尺度運(yùn)算時，需注意運(yùn)算步驟，否則會導(dǎo)致錯誤。例 1-4已知信號 g (t ) ，

34、波形如圖1-19(a) 所示。求 g ( 2t5) 的波形。解改寫信號形式， 得 g( 2t5)g2(t2.5)。由 g (t ) 做尺度運(yùn)算， 得 g( 2t ) ，波形如圖1-19(b)所示。對 g (2t ) 做反褶運(yùn)算， 得 g( 2t) ，波形如圖 1-19(c) 所示。再對 g ( 2t ) 右移 2.5 ，得 g2(t2.5) ，最終波形如圖1-19(d) 所示。g (t )(a)t 0g (2t )(b)t0g ( 2t)(c)t0g2(t 2.5)(d)t0 2.5圖 1-19 信號的移位、反褶與尺度g(t)(a)t0f ( t)(b)tT0Tf ( t)(c)tT0T圖 1

35、-20信號周期延拓1.4.2信號相加和相乘已知信號f1 (t ) 和 f 2 (t ) ，信號相加運(yùn)算為f (t)f1 (t)f 2 (t )（ 1-64 ）信號相乘運(yùn)算為f (t)f1 (t ) f 2 (t )（ 1-65 ）如果 f1 (t) 和 f 2 (t ) 為周期信號，它們的周期分別為T1 和 T2 ，那么 f (t )f1 (t )f 2 (t) 的周期性取決于T1 和 T2 的關(guān)系。 如果存在非零正整數(shù)K1 和 K 2 ，滿足 K1T1K 2 T2 ，即 T1 / T2K 2 / K1 為有理數(shù)， 則 f (t)為周期信號。如果K 2 / K 1 是既約分?jǐn)?shù)，則f (t )

36、的周期為 K1T1 或 K 2T2 。如果 T1 T2 為無理數(shù)，則f (t) 為非周期信號。可以看到， 周期信號相疊加并不一定是周期信號， 只有它們的周期之比為有理數(shù)時，疊加后的信號才保持周期性。1.4.3信號的周期延拓已知非周期信號g(t ) ，它的周期延拓為f (t )g(tkT )（ 1-66 ）k其中T為延拓周期。f (t)為周期信號，周期等于延拓周期T。圖1-20為信號周期延拓示意圖，它包括無混疊周期延拓和有混疊周期延拓兩種情況。當(dāng)信號g(t ) 非零值的時間有限（簡稱時間有限），且g(t )非零值的時間小于延拓周期T時，重復(fù)移位的g (t ) 波形互相不混疊， 為無混疊延拓， 如

37、圖1-20(b)所示。當(dāng)信號g(t)非零值的時間無限（簡稱時間無限），或者g(t ) 時間有限，但g(t )非零值的時間大于延拓周期T時，重復(fù)移位的g(t )波形互相混疊，為有混疊延拓，如圖1-20(c)所示。1.4.4信號的抽樣所謂抽樣，就是從連續(xù)信號f a (t) 中，每隔一定時間間隔抽取一個樣本，通常為等間隔抽樣，抽樣間隔Ts 也稱抽樣周期。信號抽樣有脈沖抽樣和數(shù)值抽樣兩種方式。脈沖抽樣是用一個周期脈沖信號sp (t) 和被抽樣信號f a (t) 相乘，得到抽樣信號fs (t )fa (t )sp (t) ，此處下標(biāo) p 表示周期信號，下標(biāo)a 表示連續(xù)信號，下標(biāo)s 表示脈沖抽樣信號。當(dāng)抽

38、樣用的周期脈沖信號為矩形脈沖時，稱為矩形脈沖抽樣，圖1-21 為矩形脈沖抽樣的情況。當(dāng)抽樣用的周期脈沖信號為沖激脈沖時，稱為沖激脈沖抽樣，圖1-22為沖激脈沖抽樣的情況。脈沖抽樣信號f s (t) 仍為連續(xù)信號。數(shù)值抽樣是以Ts 時間間隔抽取連續(xù)信號f a (t) 的函數(shù)值，得離散信號fd (n) f a ( nTs ) ，此處以下標(biāo) d 表示離散信號。圖1-23為信號數(shù)值抽樣的情況。(a)f a (t )(a)fa (t )tt0sp (t)0(b)(b)p (t )1(1)ttTs0TsTs0Ts(c)f s (t)(c)f s (t )ttTs0TsTs0Ts圖 1-21 信號矩形脈沖抽樣圖 1-22 信號沖T激脈沖抽樣(a)fa (t )t0(b)f d (n)nTs0Ts圖 1-23 信號數(shù)值抽樣1.5信號的分解信號分解是為了分析信號的方便把一個信號分解為多個（有限個或無限個）較為簡單的信號分量的疊加。信號分解的概念和方法是信號分析的精髓。常用的信號分解方式有：直流分