1、三、乘除運算中的誤差分析前面我們提到過，“乘除運算”當中我們應該考慮“相對誤差”，而這是我們誤差分析最為重要的內(nèi)容。那么，如果相乘或者相除的兩個數(shù)分別發(fā)生一定程度的近似，它們的乘積或者商又會發(fā)生什么樣的變化呢？我們首先先給出兩個重要的結(jié)論：1. 兩個數(shù)相乘，那么這兩個數(shù)的相對誤差之和，近似為總體的相對誤差；2. 兩個數(shù)相除，那么這兩個數(shù)的相對誤差之差，近似為總體的相對誤差。我們先舉兩個相乘的例子：注：上面分析的所有誤差指的都是“相對誤差”，因為只有“相對誤差”才能在乘除運算當中保持近似的加減關系。四、近似誤差與選項差異通過上面的分析我們知道，近似的計算會產(chǎn)生一定的誤差，那么這種誤差會不會對最后

2、結(jié)果的判定產(chǎn)生影響呢？這就取決于近似誤差（“近似誤差”指的是數(shù)字近似后產(chǎn)生的相對誤差，在與“選項差異”進行大小比較時，指其絕對值）與選項差異之間的相對關系了，通俗的講就是：選項差別大，估算可大膽；選項差別小，估算需謹慎。但我們需要的不僅僅是這樣一句定性的描述，我們更加需要的是定量的結(jié)論。首先，我們對兩個數(shù)字之間的“相對差異”進行一個定義：我們以兩個數(shù)字當中較大的數(shù)字為真實值，較小的數(shù)字為估算值，這樣計算得到的“相對誤差”的絕對值，我們稱之為這兩個數(shù)字之間的“相對差異”。譬如“4”和“5”，我們以5為真實值，以4為估算值，得到的“相對誤差”為“-20%”，那么我們就說“4和5之間的相對差異為20

3、%”。再譬如說，9和12之間的相對差異為25%，15和18之間的相對差異為16.7%等等。然后，我們對“選項差異”進行一個定義：所謂“選項差異”，是指四個選項中任意兩個數(shù)值之間的“相對差異”的最小值。具體操作時，我們僅需要考慮相鄰數(shù)字之間（是指大小相鄰，非而位置相鄰）的相對差異即可。我們看下面這樣的選項設置：a.20 b.24 c.28 d.32我們考慮相鄰數(shù)字之間的相對差異：20與24之間的相對差異為16.7%，24與28之間的相對差異為14.3%，28與32之間的相對差異為12.5%。那么，這樣設置下的“選項差異”就是12.5%。事實上，我們對選項差異的計算也只需要得到一個大致的值，并不一

4、定需要計算得非常的精確。當我們知道了“選項差異”之后，我們就可以在近似計算中控制近似誤差，使其不至于影響最后結(jié)果的判定。下面我們再來看一個例子： 例3706.3824.75=？a.20.5 b.24.5 c.28.5 d.32.5答案c解析我們大致估算，“選項差異”高于10%，那么在近似計算中產(chǎn)生1%左右（或以下）的誤差不會影響到最后結(jié)果的判定：706.3824.7570025=28由“706.38”近似到“700”減小了1%左右，由“24.75”近似到“25”增加了1%左右，這樣的近似不會影響到最后結(jié)果的判定，因為“選項差異”在10%以上。因此，我們選擇離28最近的數(shù)字“28.5”，選擇c。

5、通過上面的分析我們知道，近似估算若要不影響最后結(jié)果的判定，“近似誤差”必須比“選項差異”要小，但具體要小到什么程度呢？我們大概給出下面這樣的參考：選項差異近似誤差4倍以下49倍950倍50倍以上估算建議不建議使用注意控制誤差選擇近似值忽略誤差我們進行的乘除計算，一般是23個數(shù)字的計算，當“選項差異”不到“近似誤差”的4倍時，多個數(shù)字的“近似誤差”就很可能影響到最后結(jié)果的判定，這時候我們不建議使用這種精度的估算。當“選項差異”為“近似誤差”的49倍時，我們一般會進行“有向誤差分析”或者“誤差抵消”以提高精度，后面我們將有專題進行討論。當“選項差異”為“近似誤差”的950倍時，選擇離估算結(jié)果最近的

6、值即可，正因如此，我們一般推薦大家將“近似誤差”控制在選項差異的1/10左右（或以下），更高的精度計算一般是沒有必要的。當“近似誤差”不到“選項差異”的“1/50”時，我們得到的結(jié)果完全可以直接代表最終正確的答案。例43871684397=？a.35.37% b.40.74% c. 45.87% d.49.34%答案c解析初步估算，選項差異在在10%左右，我們可以對原數(shù)字進行1%左右（或以下）的近似：3871684397390008400046%，選擇最接近的值，即c。例59.5035.837=？a.50.44 b.55.47 c.59.98 d.60.28答案b解析c和d之間的相對差異很小，

7、但我們知道：9.5035.837106=60，所以d選項可以直接排除不予考慮。而a、b、c之間的“選項差異”在7%以上，那么我們可以對原數(shù)字進行0.7%左右（或以下）的近似：9.5035.8379.55.8=55.1，選擇最接近的值，即b。例6640579934=？a.4% b.6% c.8% d.10%答案c解析640579934640080000=8%。“選項差異”為20%，近似誤差低于1，因此誤差可以直接忽略，估算得到的值即可代表最終的真實值。學到這里，我們把思路理清楚一下：我們在進行近似估算之前，先分析“選項差異”，然后在近似中將“近似誤差”控制在“選項差異”的“1/10”左右（或以下

8、），然后選擇與計算結(jié)果最接近的選項即可。這樣一來，似乎所有的近似估算都變得特別簡單，然而，如果有一個問題沒有解決的話，我們的計算仍然沒有得到實質(zhì)的簡化，那就是：如何快速判斷近似估算的“近似誤差”（譬如說將5.837近似為5.8，“近似誤差”到底是多少？），這個問題不解決，誤差分析無從談起；這個問題掌握后，不僅“近似誤差”的問題解決了，“選項差異”的估算也同時得到解決，因為兩者本質(zhì)是相同的。誤差初步理論（3）(選自資料分析模塊寶典五版)五、近似誤差的估算在學“近似誤差”的估算之前，我們先強調(diào)兩個重要的問題：1. 我們對“近似誤差”的分析只需要也只能進行“估算”，精算是沒有必要也是不可行的，實際操

9、作中我們只需要給出一個大概的值即可；2. “近似誤差”一般分成兩檔：“1-10%”與“1-10”，明顯低于1很多的一般可以忽略，明顯高于10%很多的情形在近似中一般也很難見到。我們一般運用“左移兩位百分法”估算“1-10%”左右的“近似誤差”。譬如，當我們判斷將“42.83”近似為“42”時產(chǎn)生了多大的“近似誤差”時，先將絕對誤差（不考慮正負號）“0.83”左移兩位變?yōu)椤?3.00”，再與原數(shù)“42.83”進行比較，大概是2倍的關系，那么這個近似的近似誤差應該大約就是“-2%”。如下圖所示：通過上面六個例子的講述，相信大家已經(jīng)掌握了“近似誤差”估算的要領。與此同時，“選項差異”的估算也是通過同

10、樣的方法進行估算的，只是在具體操作的時候有這樣兩點特別之處：1. “選項差異”關于“絕對誤差”的計算可能較為復雜，我們一般截取前12位計算即可；2. “選項差異”很容易達到“相對誤差”很難達到的10%以上的差異，這時候一般通過計算“絕對誤差是真實值的幾分之一”或者運用類似的“左移一位十分法”來進行估算。我們分析某題選項當中兩個數(shù)值“784.31”、“768.45”之間的相對差異，兩個數(shù)相差約為“16.00”，將之與“784.31”做對比，通過“左移兩位百分法”易知相對差異大約為2%左右。我們再分析某題選項當中兩個數(shù)值“6437.21”、“4829.32”之間的相對差異，兩個數(shù)相差約為“1600

11、.00”，將之與“6437.21”做對比，前者大概是后者的1/4，得知相對差異大約為25%。我們再分析某題選項當中兩個數(shù)值“3158”、“1871”之間的相對差異，兩個數(shù)相差約為“1300”，將之左移一位（變成“13000”）與“3158”做對比，大概是后者的4倍左右，得知相對差異大約為十分之4，即40%左右。至此，我們便真正掌握了“近似誤差”和“選項差異”的估算，在精度范圍允許的前提下，我們便可以自由的進行截位估算了。六、有向誤差分析我們前面提到過，當“選項差異”為“近似誤差”的49倍時，對數(shù)字的近似有可能會在一定程度上影響到對最后結(jié)果的判定，這時候我們一般有兩種辦法來應對和修正，我們先介紹

12、第一種辦法：有向誤差分析。所謂有向誤差分析，指的是截位估算的時候，通過對過程數(shù)字的相對誤差來判斷最后估算結(jié)果相對誤差的符號，直白的說，就是判斷估算結(jié)果是大于真實值還是小于真實值，從而鎖定答案的方法。這是一種定性的分析方法，在后面的章節(jié)里，我們還可能碰到定量的分析。我們用一個簡單的例子來闡明這個道理：例7546114831=？a.33% b.35% c.37% d.39%答案c解析546114831540015000=36%這時候問題來了，與36%最接近的有兩個選項，這時候應該怎么選擇呢？我們可以選用“有向誤差分析”來判定。通過簡單估算，“選項差異”超過5%（37%與39%之間的相對差異），將“

13、5461”、“14831”分別近似為“5400”、“15000”的近似誤差都在1%左右，于是我們可以確定，結(jié)果肯定在36%的附近，也就是在35%與37%之間進行選擇。很明顯，近似的過程縮小了分子而擴大了分母，導致估算值36%小于真實值，因此我們選擇c。例83390.536.69%12.73%=？a.143 b.158 c.174 d.191答案b解析3390.536.69%12.73%3333.33336%12.50%=150“選項差異”在10%左右，“近似誤差”在2%以內(nèi)，算得結(jié)果肯定在150附近。由于近似過程中三個因子都被縮小，所以近似結(jié)果肯定小于真實值，那么答案就應該比150要大，所以選

14、擇b。七、誤差抵消與精度提高我們前面提到過：兩個數(shù)相乘（或相除），那么這兩個數(shù)的相對誤差之和（或之差），近似為總體的相對誤差（事實上，對于多于兩個數(shù)的數(shù)字的乘除也是近似滿足的）。那么，如果我們在近似的時候，使得乘法中的相對誤差保持相反的方向或者除法中的相對誤差保持相同的方向，就能有效的抵消誤差，從而提高精度。而這便是我們應對“選項差異”不足夠大時的另外一個有效方法。我們再來看這兩個例子：例9546114831=？a.33% b.35% c.37% d.39%答案c解析546114831550015000=36.7%，選擇c。注釋截位近似時，被除數(shù)提高了1%左右，除數(shù)也提高了1%左右，兩者相減，誤差將大大的被削減。例103390.536.69%12.73%=？a.143 b.158 c.174 d.191答案b解析3390.536.69%12.73%350036%12.50%=157.5，選擇b注釋截位近似時，第一個因子提高了3-4%，第二個因子降低了2%以內(nèi)，第三個因子也降低了2%以內(nèi)，三者相加，誤差將大大的被削減。八、總結(jié)至此，我們的“誤差初步理論”就已經(jīng)全部講述完畢，