1、章末復(fù)習(xí)提升課知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，0G怫休 A基本立休圖形織網(wǎng)-把陸畏通4HSEh簡(jiǎn)單組合休立體圖形的直觀(guān)圖水平放占的平而-圖形的宜觀(guān)圖簡(jiǎn)單兒何體的表面，積匕休積-空間幾柯怵的直觀(guān)圖-（5（&乩氏=恥+騒鋌體）一V=4-5A,S*=5+S.tV_ _- -( (尊尊 卜卜V=y5j=4iT/f2HV而的襯念盤(pán)表勅法立休幾M初步S）（平面的基本性質(zhì)卜基木事實(shí)】、氛3卜T麗1用集件語(yǔ)言描述點(diǎn)、直線(xiàn)，平血之冋的融1L界面門(mén)線(xiàn)異面直線(xiàn)所成的角平行査線(xiàn)空間中直線(xiàn)與平面的位璉艾系dg)SOHS)在卡血內(nèi)HW)空間中角的求法平面與平面的也置捲系-相空-（二面角空間立線(xiàn)、平面，的平行?線(xiàn)與平面平行的判崖） （平

2、而與平面平行的判定 （直線(xiàn)舀平面平石的性應(yīng) 平面與平面平行的性質(zhì)空間住線(xiàn)、平血-的垂宜_值線(xiàn)與平血垂宜的判罡）（平面與平面垂直的判遠(yuǎn)、（直線(xiàn)與平面垂應(yīng)的性質(zhì)平面寫(xiě)平甬垂麗性平面寫(xiě)平甬垂麗性頑頑平行、垂直攔系的應(yīng)用3空間幾何體的表面積與體積例1 如圖所示，梯形 ABCD 中，AD / BC,/ ABC = 90, AD = a, BC= 2a，/ DCB=60，在平面 ABCD 內(nèi)過(guò)點(diǎn) C 作 I 丄 CB，以 I 為軸旋轉(zhuǎn)一周.求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積【解】 由題易知以 I 為軸將梯形 ABCD 旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體如圖所示，即圓柱中挖去一個(gè)倒置的且與圓柱等高的圓錐在梯形 ABCD 中，/AB

3、C = 90,AD /BC, AD = a, BC= 2a, /DCB = 60,BC AD廠(chǎng)所以 CD = 2a, AB= CDsin 60 = 3a,cos 60所以 DD = AA 2AD = 2BC 2AD = 2a,1 所以 DO = ?DD.由上述計(jì)算知，圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為3a,底面半徑為 2a;圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為 2a,底面半徑為 a.所以圓柱的側(cè)面積Si= 2n2a 3a = 4.3 冗 a?, 2圓錐的側(cè)面積 S2=na2a= 2na ,圓柱的底面積 S3=n( 2a)2= 4na2,_ 2圓錐的底面積 S4=冗 a ,所以組合體上底面面積S5= S3 S4= 3na2,故旋轉(zhuǎn)體的表

4、面積主題S=Si+S2+S3+S5=(4 3+9) nal又由題意知形成的幾何體的體積為一個(gè)圓柱的體積減去一個(gè)圓錐的體積,2(3a=43na V錐=3na2(3a=3na3,故旋轉(zhuǎn)體的體積V= V柱一 V錐=4-J3 掃3 呼na3=113na3.33is空間幾何體表面積、體積的求法(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用(3 )求復(fù)雜幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法和等體積法求解如圖所示，在多面體 FEABCD 中，已知 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形,且 ADE, BCF 均為正三角形，EF / AB, EF = 2

5、,求該多面體的體積 V.解：如圖所示，分別過(guò) A, B 作 EF 的垂線(xiàn) AG, BH,垂足分別為 G, H.連接 DG , CH ,1容易求得 EG= HF =.所以 AG= GD = BH = HC = fi J2V2S/AGD= SBHC= 2 % 2 %1= ,V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=3x1近x2+右 1且 V柱=n(2a)球與其他幾何體的組合問(wèn)題ABC 的所有頂點(diǎn)都在球 0 的球面上， ABC 是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形，SC 為球 0 的直徑，且 SC= 2,則此棱錐的體積為(D-22【解析】 設(shè)厶 ABC 外接圓的圓心為 Oi,則 00i= - 0C2 O

6、iC2= .：1 1= #三棱錐 S ABC 的高為 200i=236.所以三棱錐 S ABC 的體積丄X彳故選 A.6解決與球有關(guān)組合體問(wèn)題的常用方法(1)與球有關(guān)的組合體，一種是內(nèi)切，一種是外接，解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，充分發(fā)揮空間想象能力，做到以下幾點(diǎn):1明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置；2確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系;3作出合適的截面圖(2) 一般地，作出的截面圖中應(yīng)包括每個(gè)幾何體的主要元素，能反映出幾何體與球體之 間的主要位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決跟蹤訓(xùn)練1._已知 PA, PB, PC 兩兩垂直且 PA= 2, PB= .3, PC = 2,則過(guò) P, A, B, C 四點(diǎn)的球

7、 的體積為_(kāi)W.解析：以 PB , PA , PC 為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高作長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為FA2+ PB2+ PC2= 3,例已知三棱錐 S3439即球的半徑為3, V球=4%R =9n2.已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上.若圓錐底3面面積是這個(gè)球面面積的 磊，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為W.解析：設(shè)圓錐的底面半徑為 r，球面半徑為 R,則nr2=16x4 兀 R2,解得 r =2R,1所以對(duì)應(yīng)球心距為 2R，i i故小圓錐的高為R2R=2,13大圓錐的高為R+2R= 2R，i所以比值為孑答案：3主題 _空間中的共點(diǎn)、共線(xiàn)

8、、共面問(wèn)題例3如圖所示，空間四邊形 ABCD 中，E, F 分別為 AB , AD 的中點(diǎn)，G, H 分別在 BC, CD 上，且 BG : GC= DH : HC = 1 : 2.求證：(1) E、F、G、H 四點(diǎn)共面；(2) GE 與 HF 的交點(diǎn)在直線(xiàn) AC 上.【證明】(1)因?yàn)?BG : GC = DH : HC ,所以 GH / BD，又因?yàn)?E、F 分別為 AB, AD 的中點(diǎn),所以 EF / BD，所以 EF / GH ,所以 E、F、G、H 四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)?G、H 不是 BC、CD 的中點(diǎn)，所以 EF豐GH.又 EF /GH,所以 EG 與 FH 不平行，則必相交，設(shè)交

9、點(diǎn)為 M,錯(cuò)誤! ? M 平面 ABC 且 M 平面 ACD? M 在平面 ABC 與平面 ACD 的交線(xiàn)上M AC.所以 GE 與 HF 的交點(diǎn)在直線(xiàn) AC 上.證明共點(diǎn)、共線(xiàn)、共面問(wèn)題的方法證明共點(diǎn)、共線(xiàn)、共面問(wèn)題的方法別與平面a相交于點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題共面問(wèn)題三錢(qián)共點(diǎn)問(wèn)題證明共面問(wèn)題，一般有兩種證法：一是由其些元索確定一個(gè)平面，然后證明其i余元素癥這個(gè)平面內(nèi)；二是分別由不同i無(wú)素確定若干個(gè)乎面，然后證明這些平 面誡合 !?證明三蜿共點(diǎn)問(wèn)題.先證兩棗直賤交于i呵一點(diǎn)再證陰第三條直張經(jīng)過(guò)這點(diǎn)7把:問(wèn)題轉(zhuǎn)北為證明點(diǎn)在直歩上的問(wèn)題:在四邊形 ABCD 中，已知 AB / DC , AB, BC, D

10、C, AD (或延長(zhǎng)線(xiàn))分E, F, G, H.求證：E, F, G, H 必在同一直線(xiàn)上.證明：因?yàn)?AB / CD ,所以四邊形 ABCD 是一個(gè)平面圖形，即 AB , CD 確定一個(gè)平面3,貝 U AB?3,AD?3因?yàn)镋 AB ,所以 E3,因?yàn)?H AD，所以 H3又因?yàn)?Ea, H a,所以aCl 3=EH .因?yàn)?DC?3,G DC,所以 G3又因?yàn)镚C a,所以點(diǎn) G 在a與3的交線(xiàn) EH 上.同理，點(diǎn) F 在a與3的交線(xiàn) EH 上.所以 E, F , G, H 必在同一條直線(xiàn)上平行、垂直關(guān)系-4 如圖，已知直角梯形 ABCD 中，E 為 CD 邊中點(diǎn)，且 AE 丄 CD，又

11、G, F 分別為DA, EC 的中點(diǎn)，將 ADE 沿 AE 折疊，使得 DE 丄 EC.(1) 求證：AE 丄平面 CDE ;(2) 求證：FG /平面 BCD;(3) 在線(xiàn)段 AE 上找一點(diǎn) R,使得平面 BDR 丄平面 DCB，并說(shuō)明理由因?yàn)?GF?平面 FHG ,所以 GF /平面 BCD.(3) 取線(xiàn)段 AE 的中點(diǎn) R,則平面 BDR 丄平面 DCB.證明如下：取線(xiàn)段 DC 的中點(diǎn) M，取線(xiàn)段 DB 的中點(diǎn) S,連接 MS, RS, BR，DR，EM.1貝 y MS2BC，又 REBC,所以 MSRE,所以四邊形 MERS 是平行四邊形，所以 RS / ME.在厶 DEC 中，ED

12、= EC, M 是 CD 的中點(diǎn)，所以 EM 丄 DC.由(1)知 AE 丄平面 CDE, AE /BC,【解】(1)證明：由已知得 DE 丄 AE, AE 丄 EC.因?yàn)?DEAEC = E, DE , EC?平面 DCE , 所以 AE 丄平面 CDE.(2)證明：取 AB 的中點(diǎn) H ,連接 GH , FH ,所以 GH / BD , FH /BC,因?yàn)?GH?平面 BCD , BD?平面 BCD, 所以GH /平面 BCD.同理 FH /平面 BCD ,又 GHAFH = H ,所以平面 FHG /平面 BCD ,1)所以 BC 丄平面 CDE.因?yàn)?EM?平面 CDE ,所以 EM

13、丄 BC.因?yàn)?BCA CD = C,所以 EM 丄平面 BCD ,因?yàn)?EM / RS,所以 RS 丄平面 BCD.因?yàn)?RS?平面 BDR ,所以平面 BDR 丄平面 DCB.規(guī)律規(guī)律(1) 平行、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化r ri瓏程平行-繪面平行|-斟面亠A1 莊面逅U(2 )證明空間線(xiàn)面平行或垂直需注意三點(diǎn)1由已知想性質(zhì)，由求證想判定;2適當(dāng)添加輔助線(xiàn)(或面)是解題的常用方法之一;3用定理時(shí)要先明確條件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論如圖，在梯形 ABCD 中，AB / CD, AD = DC = CB= a,/ ABC = 60,平面 ACFE 丄平面 ABCD，四邊形 ACFE 是平行四邊形，點(diǎn)

14、M 在線(xiàn)段 EF 上.(1)求證:BC 丄平面 ACFE;(2)當(dāng) EM 為何值時(shí)，AM /平面 BDF ?證明你的結(jié)論解：(1)證明：在梯形 ABCD 中,因?yàn)?AB/ CD , AD = DC = CB = a, /ABC = 60,所以四邊形 ABCD 是等腰梯形，/ ADC = / BCD = 120 ,所以/ DCA = / DAC = 30,所以/ ACB = 90,所以 AC 丄 BC,又平面 ACFE 丄平面 ABCD，平面 ACFE 門(mén)平面 ABCD = AC, BC?平面 ABCD , 所以 BC 丄平面ACFE.(2) 當(dāng) EM = 33a 時(shí)，AM /平面 BDF.證明

15、如下：在梯形 ABCD 中，設(shè) ACABD = N，連接 FN (圖略)，因?yàn)?AC 丄 BC,/BAC = 30,CB = a, 所以 AB= 2a, AC= _3a.因?yàn)?AB/ CD ,所以 CN : NA = CD : AB = a : 2a= 1 : 2.因?yàn)?EM = a, EF = AC = ：. 3a,3所以 EM : MF = 1 : 2.又 EF / AC , EF = AC,所以 MF / AN , MF = AN,所以四邊形 ANFM 是平行四邊形，所以 AM / NF.又 NF?平面 BDF , AM?平面 BDF ,所以 AM /平面 BDF.例直)如圖所示，在四棱

16、錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AD丄 PD, BC= 1, PC= 2 3, PD = CD = 2.(1)求異面直線(xiàn) PA 與 BC 所成角的正切值；(3)求直線(xiàn) PB 與平面 ABCD 所成角的正弦值【解】(1)在四棱錐 P-ABCD 中，因?yàn)榈酌?ABCD 是矩形，所以 AD = BC 且 AD / BC.故/ PAD 為異面直線(xiàn) PA 與 BC 所成的角又因?yàn)?AD 丄 PD，在 RtDA 中，PDtan/PAD = AD= 2,所以異面直線(xiàn) PA 與 BC 所成角的正切值為 2.(2)證明：由于底面 ABCD 是矩形，故 AD 丄 CD.又因?yàn)?AD 丄 PD , C

17、DAPD = D ,所以 AD 丄平面 PDC.而 AD?平面 ABCD ,主題(2)證明平面 PDC 丄平面 ABCD ;空間角的計(jì)算所以平面 PDC 丄平面 ABCD.(3) 在平面 PDC 內(nèi)，過(guò)點(diǎn) P 作 PE 丄 CD 交直線(xiàn) CD 于點(diǎn) E，連接 EB (如圖)由于平面 PDC 丄平面 ABCD，而直線(xiàn) CD 是平面 PDC 與平面 ABCD 的交線(xiàn)，故 PE 丄平面 ABCD.由此得/ PBE 為直線(xiàn) PB 與平面 ABCD 所成的角.在厶 PDC 中，由于 PD = CD = 2, PC= 2.3,可得 / PCD = 30在 RtEC 中，PE= PCsin 30= 3.由

18、AD / BC, AD 丄平面 PDC ,得 BC 丄平面 PDC，因此 BC 丄 PC.在 RtCB 中，PB=- PC2+ BC2= 13.在 RtEB 中,PE39sin /PBE = PB =13 .空間角的求法(1)找異面直線(xiàn)所成的角的三種方法1利用圖中已有的平行線(xiàn)平移；2利用特殊點(diǎn)(線(xiàn)段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線(xiàn)平移；3補(bǔ)形平移.(2 )線(xiàn)面角：求斜線(xiàn)與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，即確定過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)向平面所作垂線(xiàn)的垂足 通常是解由斜線(xiàn)段、垂線(xiàn)段、斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形.所以直線(xiàn) PB 與平面 ABCD 所成角的正弦值為AB13 -(3) 二面角：利用幾何體的特征作出所求二面角的平面角，再把該平面角轉(zhuǎn)化到某三角形或其他平面圖形中求解(2019 南陽(yáng)檢測(cè))如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形,/ DAB =ZABC = 90,且 AB = BC= 2AD = 2,側(cè)面 FAB 丄底