1、初中列方程解應(yīng)用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、 速度、時間這三個量有關(guān)的問題。 我們常用的基本公式是 :路程速度×時間；速度路程÷時間；時間路程÷速度.行程問題是個非常龐大的類型 ,多年來在考試中屢用不爽 ,所占比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習(xí) ,熟悉了行程問題的學(xué)生 ,在多種類型的習(xí)題面前都會顯得得心應(yīng)手。 下面我們將行程問題歸歸類， 由易到難，逐步剖析。1. 單人單程：例 1：甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運(yùn)行速度從 80km/ h 提高到 100km/ h ,運(yùn)行時間縮短了 3h 。甲，乙兩城市間的路程是多少 ?【

2、分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為x km ,那么列車在兩城市間提速前的運(yùn)行時間為 x h ，提速后的運(yùn)行時間為x h .80100=縮短的時間 .【等量關(guān)系式】 提速前的運(yùn)行時間提速后的運(yùn)行時間【列出方程】xx3 .80 100例 2：某鐵路橋長 1000 m ，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了 1 min ，整列火車完全在橋上的時間共 40s 。求火車的速度和長度。【分析】如果設(shè)火車的速度為x m/ s ，火車的長度為 y m ，用線段表示大橋和火車的長度，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：y100060x1000y40x【等量關(guān)系式】 火車 1min 行駛的路程 =橋

3、長 +火車長；火車 40s行駛的路程 =橋長 -火車長60x1000y【列出方程組】40x1 0 0 0 y2. 單人雙程（等量關(guān)系式：來時的路程 =回時的路程）：例 1：某校組織學(xué)生乘汽車去自然保護(hù)區(qū)野營， 先以 60km/ h 的速度走平路，后又以 30km/ h 的速度爬坡，共用了 6.5h ; 返回時汽車以 40km/ h 的速度下坡，又以 50km/ h 的速度走平路，共用了 6h . 學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)有多遠(yuǎn)?！痉治觥咳绻O(shè)學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)為x km ，由題目條件：去時用了6.5h ，則有些同學(xué)會認(rèn)為總的速度為x km / h ，然后用去時走平路的速度 +去時爬坡的速 6.5度 =總

4、的速度，得出方程 60 30 x ，這種解法是錯誤的，因?yàn)樗俣仁遣荒芟?.5加的。不妨設(shè)平路的長度為x km ，坡路的長度為y km ，則去時走平路用了xh ，60去時爬坡用了yh ，而去時總共用了6.5h ，這時，時間是可以相加的；回來時汽車下坡用了30 yh ，回來時走平路用了x，而回來時總共用了6h .則學(xué)校到自然4050保護(hù)區(qū)的距離為 (xy)km ?！镜攘筷P(guān)系式】 去時走平路用的時間 +去時爬坡用的時間 =去時用的總時間回來時走平路用的時間 +回來時爬坡用的時間 =回來時用的總時間xy6.5【列出方程組】 6030xy650403.雙人行程 :（）單塊應(yīng)用：只單個應(yīng)用同向而行或背向而

5、行或相向而行或追擊問題。1)同時同地同向而行： A,B 兩事物同時同地沿同一個方向行駛例：甲車的速度為 60km/ h ，乙車的速度為 80km/ h ，兩車同時同地出發(fā)，同向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距 280km ?！痉治觥?如果設(shè)經(jīng)過 x h 后兩車相距 280km，則甲走的路程為 60xkm ，乙走的路程為 80xkm，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：80x km乙甲60x km280km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離 +280= 乙車行駛的距離【列出方程】 60x280280x2）同時同地背向而行：A，B 兩事物同時同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為 60km/ h ，乙車的速度為 80km

6、/ h ，兩車同時同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多少時間兩車相距280km ?！痉治觥?如果設(shè)經(jīng)過 x h 后兩車相距 280km，則甲走的路程為60xkm ，乙走的路程為 80xkm，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲乙60x km80x km280 km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離 +乙車行駛的距離 =280【列出方程】 60x 80x 2803）同時相向而行（相遇問題）:例: 甲，乙兩人在相距 10km 的 A,B 兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的 2 倍，兩人同時處發(fā) 1.5h 后相遇，求甲，乙兩人的速度?！痉治觥?如果設(shè)甲的速度為 xkm/ h ，則乙的速度為 2xkm/ h ，甲走過的路程

7、為 1.5x km ，乙走過的路程為 1.5 2x km ，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲1.5x km1.5 ×2x km乙AB10 km280 km【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離 +乙車行駛的距離 =10 【列出方程】 1.5x 1.5 2x 104）追及問題：例：一對學(xué)生從學(xué)校步行去博物館， 他們以 5km/ h 的速度行進(jìn) 24 min 后，一名教師騎自行車以 15km/ h 的速度按原路追趕學(xué)生隊(duì)伍。這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會合共用了多少時間？【分析】如果設(shè)這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會合共用了 x h ，則教師走過的路程為 15x km ，學(xué)生走過的路程為教師出發(fā)前

8、走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程，而學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程為524 km ，學(xué)生在教師出發(fā)后60走過的路程為 5x km ，又由于教師走過的路程等于學(xué)生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：學(xué)生5245x kmkm6015x km教師【等量關(guān)系式】 教師走過的路程 =學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程+學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程【列出方程】 x245x155605）不同時同地同向而行（與追擊問題相似）：例:甲，乙兩人都從 A 地出發(fā)到 B 地，甲出發(fā) 1h 后乙才從 A 地出發(fā)，乙出發(fā) 3h 后甲，乙兩人同時到達(dá) B 地，已知乙的速度為 50km/ h ，問，甲的速度為多少？【分析】如果設(shè)甲的速

9、度為 x km/ h ，則乙出發(fā)前甲走過的路程為 x km ，乙出發(fā)后甲走過的路程為 3x km ，甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程，而乙走過的路程為 50 3km ，甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲x km3x km乙50 ×3 km【等量關(guān)系式】 乙走過的路程 =乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程【列出方程】 503x3x6）不同時相向而行例：甲，乙兩站相距 448km ，一列慢車從甲站出發(fā)，速度為 60km/ h ；一列快車從乙站出發(fā)，速度為 100km/ h 。兩車相向而行，慢車先出發(fā) 32 min ，快車開出后

10、多少時間兩車相遇？【分 析】 如果 設(shè)快 車開 出后 x h 兩 車 相遇， 則 慢車 走 過的路 程為3260x 60km ，快車走過的路程為 100 x km 。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：603260x100x快車慢車 6060448km【等量關(guān)系式】 總路程 =快車出發(fā)前慢車走過的路程+快車出發(fā)后慢車走過的路程 +快車走過的路程【列出方程】 448603260x100 x60注：涉及此類問題的還有同時不同地同向而行、不同時不同地背向而行、 不同時不同地同向而行、 不同時不同地背向而行， 與上面解法類似， 只要畫出示意圖問題就會迎刃而解， 就不再一一給出解答了， 此類問題會在后面練習(xí)中給出

11、習(xí)題。（）結(jié)合應(yīng)用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結(jié)合起來應(yīng)用。1）相向而行 +背向而行例： A ， B 兩地相距 36km，小明從 A 地騎自行車到 B 地，小麗從 B 地騎自行車到 A 地，兩人同時出發(fā)相向而行，經(jīng)過 1h 后兩人相遇；再過 0.5h ，小明余下的路程是小麗余下的路程的 2 倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？【分析】 如果設(shè)小明騎車的速度為x ，小麗騎車的速度為y ，相遇前小明走過的路程為 x ，小麗走過的路程為y ；相遇后兩人背向而行，小明走過的路程為0.5x ，小麗走過的路程為0.5y 。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：小明小麗相遇前xyAB36kmx-0.5y

12、 0.5y0.5xy-0.5x小麗小明【等量關(guān)系式】 相遇前小明走過的路程 +相遇前小麗走過的路程 =總路程相遇后小明余下的路程 =2×相遇后小麗余下的路程xy36【列出方程組】y0.5x2( x0.5y)2)同向而行 +相向而行例：一個自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時所有隊(duì)員都以 35 千米 / 時的速度前進(jìn)，突然， 1 號隊(duì)員以 45 千米 / 時的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn) 10 千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以 45 千米 / 時的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會合。 1 號隊(duì)員從離隊(duì)開始到與其他隊(duì)員重新會合，經(jīng)過了多長時間？【分析】 由題意“ 1 號隊(duì)員以 45 千米 / 時的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10 千米

13、后掉轉(zhuǎn)車頭” 可知 1 號隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時間為10 h ，不妨設(shè) 1 號隊(duì)員從45調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合的時間為 x h 。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：所有隊(duì)員1 號隊(duì)員35 1035x45x4510km【等量關(guān)系式】 1 號隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時間所有隊(duì)員走的路程+1 號隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時間內(nèi)所有隊(duì)員走的路程+1 號隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時間內(nèi)1 號隊(duì)員走的路程 =10?！玖谐龇匠獭?035x45 1035x454.行程問題中的工程問題：乍一看，題目中就時間已知，速度、路程都未知，此類問題同學(xué)們做起來覺得無從下手。其實(shí)只要把路程看做單位

14、“ 1”（至于為什么，結(jié)合以下例題講解） ，這就相當(dāng)于把行程問題轉(zhuǎn)化為工程問題。例：甲開汽車從 A 地到 B 地需要 6h ，乙開汽車從 A 地到 B 地需要 4h ，如果甲，乙兩人分別從 A ， B 兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時后兩車相遇。【分析】 題目中就時間已知，速度、路程都未知，有些同學(xué)想如果知道A 與B 的距離，就可以得出 A 與 B 的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不是路程無論取什么值， 都經(jīng)過相同的時間兩車相遇呢？為此， 我們不妨設(shè) A與B的距離為 a ,經(jīng)過 xh 后兩車相遇。我們可以立馬得出關(guān)系式：axaxa ，可以把兩邊的 a 消去，得到方程 xx 1

15、，立馬得出 x12 。64645說明路程無論取什么值， 都經(jīng)過相同的時間兩車相遇。 遇到類似問題， 我們往往把路程看做單位“ 1”。5.環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時同地出發(fā)，同向而行，當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r，兩人所走路程差為一周長；相向而行，第一次相遇時，兩人所走路程和為一周長。例 1：運(yùn)動場跑道周長 400m ，小紅跑步的速度是爺爺?shù)?5 倍，他們從同一3地點(diǎn)沿跑道的同一方向同時出發(fā)， 5 min 后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步速度嗎？那是不是再過 5min 兩人第二次相遇呢？如果不是， 請說明理由；如果是，

16、用方程式表示。【分析】不妨設(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹閤 m / min ，則小紅的跑步速度為5 x m / min3【等量關(guān)系式】 小紅跑的路程爺爺跑的路程=400m5【列出方程】 5x5x4003注：再過 5 min 兩人第二次相遇，用上面那個方程式就可以表示出來。例 2：甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長為 600m 的圓形軌道上運(yùn)動。甲車的速度較快， 當(dāng)兩車反向運(yùn)動時， 每15s 相遇一次 ;當(dāng)兩車同向運(yùn)動時， 每 1min 相遇一次，求兩車的速度?！痉治觥?設(shè)甲，乙兩車的速度分別為x m / s 和 y m/ s?！镜攘筷P(guān)系式】 同向而行甲所走的路程 -同向而行乙所走的路程 =一周長反向而行甲所

17、走的路程 +同向而行乙所走的路程 =一周長【列出方程組】15x15 y60060x60y6006.水流問題一般是研究船在 “流水 ”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度水速：水流動的速度順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣饶嫠俣龋捍媪骱叫械乃俣软標(biāo)?=船速水速逆速 =船速水速船行速度 =（順?biāo)俣?+ 逆流速度） ÷2流水速度 =（順流速度逆流速度）÷2路程 =順流速度 × 順流航行所需時間路程 =逆流速度 ×逆流航行所需時間例 1：某船在 80km 的航道上航行，順流航行需 1.6h ，逆流航行需 2h 。求船在靜水中航行的速度和水流的速度?！痉治觥?設(shè)船在靜水中航行的速度和水流的速度分別為x 和 y ，順流的速度為 80 km/ h ，逆流的速度為 80 km/ h ，再利用上面的公式。1.62【等量關(guān)系式】 順?biāo)?=船速水速逆速 =船速水速80xy【列出方程】 1.6 802xy例 2：甲，乙兩艘貨船，甲船在前 30