1、幾何概型的常見題型及典例分析一幾何概型的定義1定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.2特點(diǎn)：（ 1）無(wú)限性，即一次試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；（ 2）等可能性，即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性均相等 .構(gòu)成事件 A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體 積）.3計(jì)算公式： P(A)的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成積）說(shuō)明：用幾何概率公式計(jì)算概率時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的幾何圖形，并對(duì)幾何圖形進(jìn)行度量.4古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系：（ 1）聯(lián)系：每個(gè)基本事件發(fā)生的都是等可能的 .（ 2）區(qū)別：古典

2、概型的基本事件是有限的， 幾何概型的基本事件是無(wú)限的；兩種概型的概率計(jì)算公式的含義不同 .二常見題型（一）、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型例 1、在區(qū)間 1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x ， cosx 的值介于 0到 1 之間的概22率為().A. 1B.2C.1D.2323分析：在區(qū)間 1,1 上隨機(jī)取任何一個(gè)數(shù)都是一個(gè)基本事件. 所取的數(shù)是區(qū)間 1,1 的任意一個(gè)數(shù)， 基本事件是無(wú)限多個(gè)， 而且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件的發(fā)生的概率只與自變量x 的取值范圍的區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)，符合幾何概型的條件 .解：在區(qū)間 1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x , 即 x1,1時(shí), 要使 cosx 的值介于0到 1之間,需

3、使xx22或222332 1 x2 或 2x 1，區(qū)間長(zhǎng)度為2 ，33x 的值介于 0 到 13由幾何概型知使 cos之間的概率為22符合條件的區(qū)間長(zhǎng)度213P度 2. 故選A.所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)間長(zhǎng)3例 2、 如圖 ,A,B 兩盞路燈之間長(zhǎng)度是 30 米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈 C,D, 問(wèn) A 與 C,B 與 D 之間的距離都不小于 10 米的概率是多少？思路點(diǎn)撥 從每一個(gè)位置安裝都是一個(gè)基本事件，基本事件有無(wú)限多個(gè)，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型解 記 E ：“ A 與 C,B 與 D 之間的距離都不小于 10 米”，把 AB三等分，由于中間長(zhǎng)度為 303 1

4、=10 米，3101 P(E).303方法技巧 我們將每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解例 3、在半徑為 R 的圓內(nèi)畫平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點(diǎn)在該直徑上的位置是等可能的， 求任意畫的弦的長(zhǎng)度不小于 R 的概率。思考方法：由平面幾何知識(shí)可知，垂直于弦的直徑平分這條弦，所以，題中的等可能參數(shù)是平行弦的中點(diǎn)， 它等可能MM地分布在于平行弦垂直的直徑上 （如圖 1-1 ）。 EFEKK也就是說(shuō)，樣本空間所對(duì)應(yīng)的區(qū)域 G是一維空O間（即

5、直線）上的線段 MN，而有利場(chǎng)合所對(duì)OK1應(yīng)的區(qū)域 GA 是長(zhǎng)度不小于 R的平行弦的中點(diǎn) KE1所在的區(qū)間。NN圖 1-1圖 1-2FF1 解法 1. 設(shè) EF與 E1F1 是長(zhǎng)度等于 R的兩條弦，直徑 MN垂直于 EF和 E1F1，與他們分別相交于 K 和 K1( 圖 1-2) 。依題設(shè)條件，樣本空間所對(duì)應(yīng)的區(qū)域是直徑 MN，有 L(G)=MN=2R，注意到弦的長(zhǎng)度與弦心距之間的關(guān)系比，則有利場(chǎng)合所對(duì)對(duì)應(yīng)的區(qū)域是KK1，有2L(GK ) KK 1 2OK2 R2R3R2以幾何概率公式得 PL(GA)3R3 。L(G)2R2 解法 2. 如圖 1-1 所示，設(shè)園 O的半徑為 R, EF 為諸平

6、行弦中的任意一條，直徑 MN 弦 EF，它們的交點(diǎn)為 K，則點(diǎn) K 就是弦 EF的中點(diǎn)。設(shè) OK=x，則 x-R,R,所以 L(G)=2R設(shè)事件A 為“任意畫的弦的長(zhǎng)度不小于R”，則 A 的有利場(chǎng)合是2 R2X 2R,解不等式，得x33R所以 L(GA) 2R3R22于是3R3P( A)22R 評(píng)注 本題結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單， 題中直接給出了等可能值參數(shù)； 樣本空間和有利場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域，從圖上都可以直接看出。兩種解法各有特色，解法 1 充分利用平面幾何知識(shí)，在本題似較簡(jiǎn)便，解法 2 引進(jìn)變量 x 把代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，從表面上看解題過(guò)程不甚簡(jiǎn)便，但確具有推廣價(jià)值，這種方法可以求解復(fù)雜的

7、幾何概率問(wèn)題。例 4、在長(zhǎng)為 12cm的線段 AB上任取一點(diǎn) M，并以線段 AM為邊作正方形，求這個(gè)正方形的面積介于22之間的概率36cm與 81cm分析：正方形的面積只與邊長(zhǎng)有關(guān)， 因此，此題可以轉(zhuǎn)化為在 12cm長(zhǎng)的線段 AB上任取一點(diǎn) M，求使得 AM的長(zhǎng)度介于 6cm與 9cm之間的概率22之間”為事件 A，事件 A 的概率等價(jià)于解：記“面積介于 36cm與 81cm“長(zhǎng)度介于 6cm與 9cm之間”的概率，所以， P(A)= 96 = 1124小結(jié)：解答本例的關(guān)鍵是， 將正方形的面積問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為與邊長(zhǎng)的關(guān)系。練習(xí)：2、已知地鐵列車每10 min 一班，在車站停1 min ，則乘客到達(dá)

8、站臺(tái)立即乘上車的概率是 ()1111A. 10B.9C.11D.8解析：設(shè)乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車為事件A，試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為10 min，而構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長(zhǎng)度為1 min，故PA 1答( )10.案： A、已知集合A xx，B xx 2，在集合 A 中任取一個(gè)元素3|1< <5| 3 x>0x ，則事件“ xAB”的概率是 _解析：由題意得A x| 1<x<5 ， B x|2< x<3 ，由幾何概型知：11在集合 A中任取一個(gè)元素 x，則 x A B 的概率為 P6. 答案： 6 4、 小趙欲在國(guó)慶六十周年之后從某車站乘車外出考察，已

9、知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班， 求小趙等車時(shí)間不多于 10 分鐘的概率分析：因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班, 而小趙在 060 分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的 , 所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān) , 而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān) , 這符合幾何概型的條件，且屬于幾何概型中的長(zhǎng)度類型 .解析 : 設(shè) A=等待的時(shí)間不多于 10 分鐘 , 我們所關(guān)心的事件 A 恰好是到站等車的時(shí)刻位于 50,60 這一時(shí)間段內(nèi) , 而事件的總體是整個(gè)一小時(shí)，即 60 分鐘，因此，由幾何概型的概率公式, 得 P(A)= 6050=1，即此10 分鐘的概率為 1 606人等車時(shí)間不多于6（二）、與

10、面積有關(guān)的幾何概型例 1、為長(zhǎng)方形，AB， 為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCDABCD2,BC 1 O內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O 的距離大于 1的概率為（）AB. 1C.8D. 1844分析：由于是隨機(jī)的取點(diǎn)， 點(diǎn)落在長(zhǎng)方形內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)是等可能的，基本事件是無(wú)限多個(gè)，所以符合幾何概型.解：長(zhǎng)方形面積為 2, 以 O 為圓心 ,1 為半徑作圓 , 在矩形內(nèi)部的部分 ( 半DCAOB圖1圓) 面積為，因此取到的點(diǎn)到 O 的距離大于 1 的面積為 2，則取到22的點(diǎn)到 O 的距離大于 1的概率為取到的點(diǎn)到的距離大于 的面積22P(A)O11.長(zhǎng)方形 ABCD的面積24故選 B.例 2、 如圖，射箭比

11、賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色金色靶心叫“黃心”奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為 122 cm, 靶心直徑為 12.2 cm.運(yùn)動(dòng)員在 70 m 外射箭假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？思路點(diǎn)撥此為幾何概型，只與面積有關(guān)解記“射中黃心”為事件B, 由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為11222 cm2 的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為112.22 cm 2 的黃44心時(shí)，事件 B 發(fā)生，于是事件 B 發(fā)生的概率為112.22 cm2P(B)40.01.11222 cm24即：“射中黃心”的概率是0.01.方法技巧 事件的發(fā)

12、生是“擊中靶心”即“黃心”的面積；總面積為最大環(huán)的圓面積例 3、在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，設(shè) D 是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于 2 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域， E 是到原點(diǎn)的距離不大于1 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域， 向 D中隨意投一點(diǎn)，則落入 E 中的概率為。解析：如圖：區(qū)域 D表示邊長(zhǎng)為 4 的正方形 ABCD的內(nèi)部（含邊界），而區(qū)域 E 表示單位圓及其內(nèi)部，因此 P12。 答案416416點(diǎn)評(píng)：本小題中的試驗(yàn)結(jié)果是區(qū)域中的部分點(diǎn)集，其結(jié)果是不可數(shù)的，屬于幾何概型中典型的面積之比。例 4、在三角形ABC中任取一點(diǎn)P，證明： ABP與 ABC的面積之比大于 n1 的概率為 12 。CnnEPHF思考方法 本

13、題的隨機(jī)點(diǎn)是ABP 的頂點(diǎn) P，它等可能的分布在ABC 中，因此，與樣本空間對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是ABC ，注意到 ABP 于 ABC 有公共邊AGDBAB，所以的面積決定于頂點(diǎn)P 離底邊 AB 的距離。圖 2這樣不難確定與有利場(chǎng)合相對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域。解 設(shè) ABP 與 ABC 的面積之比為 n1 ， ABC 的高 CD為 h， ABP 的n高 PG 為 h1，公共底邊 AB 的長(zhǎng)為 c，（圖 2）則 S ABP1 ch1h1n 12S ABC1chhn2hn 1 h1n過(guò)點(diǎn) P 作 EF/AB, 交 CD于 H,則有立場(chǎng)合所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镃EF .于是所求概率為S EFCPS ABC注 意到 EF

14、/AB ， EFC ABC,且CH=h -h 1 = h-n1 h= 1 h ，nnh2s EFCn1ph2n2S ABC由此，原題得證。評(píng)注本題的樣本空間雖然與平面區(qū)域相對(duì)應(yīng)，但因三角形ABC于三角形 ABP有公共底邊 AB，所以，實(shí)際變化著的量只有一個(gè) ( 即點(diǎn) P 于 AB的距離 ) ，問(wèn)題還比較簡(jiǎn)單， 對(duì)于較復(fù)雜的平面區(qū)域， 常常要根據(jù)題設(shè)選定兩個(gè)變量，由各自的約束條件確定樣本空間于有立場(chǎng)合的相應(yīng)區(qū)域。例 5、將長(zhǎng)為 L 的木棒隨機(jī)的折成3 段，求 3 段構(gòu)成三角形的概率解：設(shè) M“3 段構(gòu)成三角形” x， y 分別表示其中兩段的長(zhǎng)度，則第三段的長(zhǎng)度為L(zhǎng) x y( x， y)| 0 x

15、L，0y L，0 x y L 由 題意 ， x， y， Lxy要 構(gòu)成 三角 形， 須有 xyLxy， 即x y 1 ；2x ( L x y) y ，即 yL ； y(L x y) x ，即 xL 22故M( ，) |xL，yL ，L xyy2x22如 圖 1所示，可知所求概率為1L2·21P(M )M的面積2的面積L242例 6、已知函數(shù) f ( x) x2 axb. 若 a、b 都是從區(qū)間 0,4 任取的一個(gè)數(shù)，則 f (1) 0 成立的概率是 _解析： f (1) 1ab0，即 ab1，如圖：99SABC29A(1,0) ，B(4,0) ，C(4,3) ， S ABC2，P S

16、矩 434 32.9答案： 32練習(xí)1、ABCD為長(zhǎng)方形， AB2，BC 1，O為 AB的中點(diǎn)在長(zhǎng)方形 ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到 O的距離大于 1 的概率為()A. 4B14C.8D1 8解析：對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形的面積為，而取到的點(diǎn)到O的距離小于等于12312時(shí)，其是以 O 為圓心，半徑為121 所作的半圓，對(duì)應(yīng)的面積為 23 311121.答案：B ，那么滿足條件的概率為：21242、設(shè) 1a ， b ，則關(guān)于 x 的方程 x2ax b20有實(shí)根的111概率是 ()1111A. 2B.4C.8D.16解析：由題知該方程有實(shí)根滿足條件1 a1，1 b1，作平面區(qū)域如右圖：由圖知陰影面a2 4b

17、20，積為 1，總的事件對(duì)應(yīng)面積為正方形的面積，1故概率為 4. 答案： B3、已知 ( x，y)| xy6，x0，y0 ，A( x，y)| x4，y0，x y0，若向區(qū)域 上隨機(jī)投一點(diǎn) P，則點(diǎn) P 落入?yún)^(qū)域 A 的概率2為()1212A. 3B.3C.9D.9解析：作出兩集合表示的平面區(qū)域如圖所示容易得出 所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切蜛OB及其邊界， A 表示的區(qū)域?yàn)槿切?OCD及其邊界容易求得D恰為直線 x ，xy ， x y6三線的交點(diǎn)(4,2)420則可得 S118， S14. 所以點(diǎn) P 落在區(qū)域 A 的2363623432AOBOCD42概率為 18 9. 答案： Dxy204、在

18、區(qū)域xy20 內(nèi)任取一點(diǎn) P，y0則點(diǎn)P 落在單位圓x2y2 1 內(nèi)的概率為()A.2B.8C.6D.4解析：區(qū)域?yàn)?ABC內(nèi)部 ( 含邊界 ) ，則概率為PS半圓2答案：D1SABC4 .2322325、在邊長(zhǎng)為 2 的正三角形 ABC內(nèi)任取一點(diǎn) P，則使點(diǎn) P 到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1 的概率是 _解析：以 A、B、C 為圓心，以 1 為半徑作圓，與 ABC相交出三個(gè)扇形 ( 如圖所示 ) ，當(dāng) P 落在陰影部分時(shí)符合要求1233 (233 31)3P3326 . 答案： 6 4 32、在區(qū)間上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù) a，b，則函數(shù) fx130,1) 2x axb 在區(qū)6(間 1,1上有且

19、僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為 _32a，故 f ( x) 在 x 1,1上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)解析： f (x) x2fx1x3axb在 1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即有f( 1)2f(1)<0() 21111成立，即 ( 2 ab)( 2ab)<0 ，則 ( 2ab)( 2ab)>0 ，可化為0a1 a100 b10 b11或1由線性規(guī)劃知識(shí)在平2 ab>02ab<0，112 ab>02ab<0面直角坐標(biāo)系aOb中畫出這兩個(gè)不等式組所表示的可行域，再由幾何概1 3型可以知道，函數(shù) f ( x) 2x ax b 在 1,1 上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為可行域的面積

20、除以直線 a 0，a1，b0，b1 圍成的正方形的77面積，計(jì)算可得面積之比為8。答案： 87、已知函數(shù) f ( x) x22axb2， a， bR.(1) 若 a 從集合 0,1,2,3中任取一個(gè)元素， b 從集合 0,1,2中任取一個(gè)元素，求方程 f ( x) 0 有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；(2) 若 a 從區(qū)間 0,2 中任取一個(gè)數(shù)， b 從區(qū)間 0,3 中任取一個(gè)數(shù)，求方程 f ( x) 0 沒有實(shí)根的概率解： (1) a 取集合 0,1,2,3中任一個(gè)元素， b 取集合 0,1,2中任一個(gè)元素， a， b 的取值的情況有 (0,0) ，(0,1) ，(0,2) ，(1,0) ，(1,1

21、) ， (1,2) ，(2,0) ，(2,1) ，(2,2) ，(3,0) ， (3,1) ，(3,2) 其中第一個(gè)數(shù)表示a 的取值，第二個(gè)數(shù)表示b 的取值，即基本事件總數(shù)為 12.設(shè)“方程 f ( x) 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，當(dāng)a ，b0時(shí)，方程 fx0有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為a b0( ).當(dāng) ab 時(shí)， a，b 取值的情況有 (1,0) ，(2,0) ，(2,1) ，(3,0) ， (3,1) ，(3,2) ，即 A包含的基本事件數(shù)為6，61方程 f ( x) 0 有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率P( A) 12 2.(2) a 從區(qū)間 0,2 中任取一個(gè)數(shù)， b 從區(qū)間 0,3

22、中任取一個(gè)數(shù)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域 ( a，b)|0 a2,0 b3 ，這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積 S 233 6.設(shè)“方程 f ( x) 0 沒有實(shí)根”為事件B，則事件 B 所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?M ( a， b)|0 a2,0 b3， ab ，1即圖中陰影部分的梯形，其面積SM6232324.由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f ( x) 0 沒有實(shí)根的概率SM42P( B) S 6 3.（三）、與角度有關(guān)的幾何概型BO例 1、在圓心角為 90°的扇形中，以圓心為起點(diǎn)做射線 OC ， M求使得AOC 和BOC 都不小于 30°的概率？CNA分析：此題關(guān)鍵是搞清過(guò) O 作射線

23、OC 可以在扇形的任意位圖2置，而且是等可能的，因此基本事件的發(fā)生是等可能的.解：記事件 A 是“做射線 OC ，使得 AOC 和BOC 都不小于 30°”，AONBOMMON30 0 ，則符合條件的射線 OC 應(yīng)落在扇形MON 的度數(shù)3001MON 中，所以 P( A)900.AOB的度數(shù)3例 2、如圖所示，在等腰直角ABC 中，過(guò)直角頂點(diǎn) C 在ACB 內(nèi)部做一條射線 CM ，與線段 AB 交于點(diǎn) M ，求AMAC 的概率。C分析：當(dāng) AMA時(shí)，有ACM，A故欲使 AMAC ，應(yīng)有ACMAMC ，即所作的射線應(yīng)落在ACMAMC 時(shí)ACM 的內(nèi)部。解析：在 AB 上取 ADAC ,

24、 連接 CD ，則AMDBACD180045067.5 0 ，記“在內(nèi)部作一條射線CM ，與線段 AB 交267.50于點(diǎn)M ，AMAC ”為事件 A，則 P( A)3 ，所以，所求概率為 3 。90044ACB 內(nèi)部做一條射線 CM ，所構(gòu)成的點(diǎn)評(píng)：本題所求事件的本質(zhì)是在區(qū)域是一個(gè)“角”域，故應(yīng)屬于幾何概型中的角度之比類型；本題極易易犯的錯(cuò)誤是，用長(zhǎng)度的比得出2 112 這一錯(cuò)誤結(jié)果。22例 3、在等腰Rt ABC 中， C=900，在直角邊BC 上任取一點(diǎn)M，求CAM300 的概率（答案：3 ）3（四）、與體積有關(guān)的幾何概型例 1、在 5 升水中有一個(gè)病毒，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出1 升水，含有病

25、毒的概率是多大？分析：病毒在這5 升水中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的1 升水可以看作構(gòu)成事件的區(qū)域，5 升水可以看作是試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，因此可以用體積比公式計(jì)算其概率.解：“取出 1 升水，其中含有病毒”這一事件記作事件A，取出的水的體積10.2.則 P(A).所有水的體積5從而所求的概率為0.2.例 2、任取三條不大于 a 的線段，求這三條線段能夠成一個(gè)三角形的概率。思考方法 題設(shè)的三條線段互不相干，所以可設(shè)置三個(gè)獨(dú)立變量。注意到三條線段構(gòu)成三角形的充要條件，可推得有立場(chǎng)合的約束條件。由此原題可以解出。解 設(shè)三條線段的長(zhǎng)分別為 x、y、z，則樣本空間是0xa0ya （ 1）0za有

26、三條線段構(gòu)成三角形的條件可知，其中的任意兩條之和比大于第三條xyz線段，于是，有利場(chǎng)合的可能情形是yzx （2）zxyz把條件（ 1）、（ 2）所限制的區(qū)域，在空間直角坐標(biāo)A3A4系中表示出來(lái)，有如圖2-3 所示。A2其中（ 1）所對(duì)應(yīng)的區(qū)域 G是正方體 OA，(2)所對(duì)應(yīng)Oy4的區(qū)域 G 是六面體 OAA A A且有A1A1234，x圖2-3L Ga3a3 -3 1a2a= 1 a31 a3= 1L GAp= 2322a32例 3、在區(qū)間 0,l上任取三個(gè)實(shí)數(shù) x.y.z,事件 A=(x,y,z)| x2+y2+z2 1, x0,y 0,z 0(1) 構(gòu)造出隨機(jī)事件 A 對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（

27、2) 利用該圖形求事件 A 的概率 .思路點(diǎn)撥 : 在空間直角坐標(biāo)系下， 要明確 x2+y2+z2 1表示的幾何圖形是以原點(diǎn)為球心， 半徑 r=1 的球的內(nèi)部事件 A 對(duì)應(yīng)的幾何圖形所在位置是隨機(jī)的， 所以事件 A 的概率只與事件 A 對(duì)應(yīng)的幾何圖形的體積有關(guān)， 這符合幾何概型的條件解：（ 1）A=(x,y,z)| x2+y2+z21, x 0,y 0,z 0 表示空間直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為球心，半徑 r=1 的球的內(nèi)部部分中 x0,y 0,z 0 的部分，如圖所示(2) 由于 x,y,z 屬于區(qū)間 0,1 ，當(dāng) x=y=z=1 時(shí)，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，事件 A 為球在正方體內(nèi)的部分1413 P

28、(A)83.136方法技巧：本例是利用幾何圖形的體積比來(lái)求解的幾何概型，關(guān)鍵要明白點(diǎn) P(x,y,z)的集合所表示的圖形 從本例可以看出求試驗(yàn)為幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可解，另外要適當(dāng)選擇觀察角度 .（五）、會(huì)面問(wèn)題中的概率例 1、 某碼頭接到通知，甲、乙兩艘外輪都會(huì)在某天9 點(diǎn)到 10 點(diǎn)之間的某一時(shí)刻到達(dá)該碼頭的同一個(gè)泊位，早到的外輪要在該泊位停靠20分鐘辦理完手續(xù)后才離開，求兩艘外輪至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率。解析：設(shè)事件 A 表示兩艘外輪至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待，兩艘外輪到的時(shí)間分別為 9點(diǎn)到 10 點(diǎn)之間的 x 分、

29、y 分，則 |x-y| 20,0yAD6020C-20B20x60-2020x y20 x,y 60，即 A(x， y) |0x60，以 9 點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平0y60面直角坐標(biāo)系如圖所示，事件A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域所示：所以，其概率 P(A)= 陰影面積 /ABCD面積 =5/9 。小結(jié)：“會(huì)面”類型常見的載體是兩人相約見面、輪船停靠泊位等，其關(guān)鍵是構(gòu)建相遇的不等式（組），借助于線性規(guī)劃知識(shí)，將其面積之比求出，使得問(wèn)題得以解決。例 2、兩人約定在20： 00 到 21： 00 之間相見，并且先到者必須等遲到者 40 分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00 到 21：00各時(shí)

30、刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率思路點(diǎn)撥 兩人不論誰(shuí)先到都要等遲到者40 分鐘，即 2小時(shí)設(shè)兩3人分別于 x 時(shí)和 y 時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng) - 2 x-y 2 ，因此轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題，利用幾何概型求解33解 設(shè)兩人分別于 x 時(shí)和 y 時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng) - 2 x-y 2 .33兩人到達(dá)約見地點(diǎn)所有時(shí)刻 (x,y) 的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來(lái)表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻（ x,y ）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來(lái)表示因此陰影部分與單位正方形

31、的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為S陰影1( 1)238P12.S單位正方形9方法技巧會(huì)面的問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題的幾何概型難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x,y 兩個(gè)坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn) (x,y),從而把時(shí)間是一段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型問(wèn)題（六）、與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型例 1、小明家的晚報(bào)在下午5：306：30 之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家在下午6：007：00 之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚餐 . 那么晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是多少？分析：該題題意明確，但如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型需要從實(shí)際問(wèn)題中分

32、析出存在的兩個(gè)變量 . 由于晚報(bào)送到和晚飯開始都是隨機(jī)的，設(shè)晚報(bào)送到和晚飯開始的時(shí)間分別為 x、 y ，然后把這兩個(gè)變量所滿足的條件寫成集合的形式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解.解：設(shè)晚報(bào)送到和晚飯開始的時(shí)間分別為 x、 y . 用（ x， y）表示每次試驗(yàn)的結(jié)果，則所有可能結(jié)果為：( x, y) 5 : 30x6 : 30,6y7 ，即為圖 3 中正方形 ABCD 的面積；記晚報(bào)在晚餐開始之前被送到為事件A ，則事件 A 的結(jié)果為： A(x, y) 5 : 30 x6 : 30,6y7, xy ，即為圖 2 中陰影部分區(qū)域 .SABCD11 1，陰影1117.S12228S陰影77所以所

33、求概率為：P8.18SABCD故晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是7 .8反思：此類問(wèn)題常會(huì)涉及兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系，其求解的步驟為：（ 1）找設(shè)變量 . 從問(wèn)題中找出兩個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為 x, y ；（ 2）集合表示 . 用 (x, y) 表示每次試驗(yàn)結(jié)果， 則可用相應(yīng)的集合分別表示出全部結(jié)果 和事件 A 所包含的試驗(yàn)結(jié)果 . 一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)集合都是幾個(gè)二元一次不等式的交集 .（ 3）作出區(qū)域 . 把上面的集合所表示的平面區(qū)域作出，并求出集合, A對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積 .（ 4）計(jì)算求解 . 由幾何概型公式求出概率.（七）、與定積分有關(guān)的幾何概型例 1、在區(qū)間 1,1 上任取兩數(shù) a、 b ，求二

34、次方程 x 2axb0 的兩根都是實(shí)根的概率 .分析：可用 (a, b) 表示試驗(yàn)結(jié)果 . 求出所有可能結(jié)果的面積和方程有實(shí)根的結(jié)果的面積，再利用幾何概型來(lái)解答 .解 ： 用 (a,b)表示每次試驗(yàn)結(jié)果，則所有可能結(jié)果為：(a, b)1a 1,1b1 ，即為圖 3 中正bD1CC方形 ABCD的面積；由方程有實(shí)根得：Db1 a2O4a24b0 ，則方程有實(shí)根的可能結(jié)果為11aMAA(a, b) a 24b 0,1a1,1 b1 ，即為1 B圖4圖4 中陰影部分區(qū)域. 陰影部分面積可用定積分來(lái)計(jì)算. 所以BA圖5SAB CD2 2 4，S陰影1121a31113，ada 1 21221 4126

35、6所以所求概率為：13PS陰影6130.5417 .SABCD424（八）、與隨機(jī)模擬有關(guān)的幾何概型例 1、如圖 5，面積為 S 的正方形 ABCD 中有一個(gè)不規(guī)則的圖形 M ，可按下面方法估計(jì) M 的面積：在正方形 ABCD 中隨機(jī)投擲 n 個(gè)點(diǎn)，若 n 個(gè)點(diǎn)中有 m 個(gè)點(diǎn)落入 M 中，則 M 的面積的估計(jì)值為 m S ，假設(shè)正方 n形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2， M 的面積為 1，并向正方形 ABCD 中隨機(jī)投擲 10000 個(gè)點(diǎn)，以 X 表示落入 M 中的點(diǎn)的數(shù)目（ I）求 X 的均值 EX ；（ II ）求用以上方法估計(jì) M 的面積時(shí)， M 的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間 ( 0.03

36、，) 內(nèi)的概率k附表： P( k)C10000t0.25t0.7510000tt0k2424242525742575P( k )0.04030.04230.95700.9590分析：本題從表面來(lái)看似乎與幾何概型無(wú)關(guān)，其實(shí)它是一個(gè)幾何概型的逆向問(wèn)題與 n 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的綜合題，而且本題有別于常規(guī)的面積型概率計(jì)算，設(shè)計(jì)新穎，通過(guò)隨機(jī)模擬來(lái)求不規(guī)則圖形的面積。解：每個(gè)點(diǎn)落入M 中的概率均為 PSM 的面積1依題意知SABCD41X B 10000，4（） EX10000125004（）依題意所求概率為PX4 1 0.03，0.0310000P 0.03X410.03P(2425 X2575)100

37、002574C10000t0.25t0.7510000tt242625742425C10000t0.25t0.7510000tC10000t0.25t0.7510000 1t2426t00.95700.04230.9147 例 2、利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算圖中陰影部分 ( 由曲線 y= 2x 與 x 軸、 x=±1 圍成的部分）面積思路點(diǎn)撥 不規(guī)則圖形的面積可用隨機(jī)模擬法計(jì)算解 (1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0,1上的隨機(jī)數(shù) ,a 1 =rand（）， b1=rand()(2) 進(jìn)行平移和伸縮變換 ,a=(a 1-0.5)*2,b=b 1 *2, 得到一組 0,2上的均勻隨機(jī)數(shù)(3) 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù) N 和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù) N1.(4) 計(jì)算頻率 N 1 ，則 N 1 即為落在陰影部分的概率的近似值NNS(5)利用幾何概型公式得出點(diǎn)落在陰影部分的概率P4(6) 因?yàn)?N1 = S , 所以 S=4N1 即為陰影部分的面積 .N4N方法技巧 根據(jù)幾何概型計(jì)算公式， 概率等于面積之比， 如果概率用頻率近似在不規(guī)則圖形外套上一個(gè)規(guī)則圖形，則不規(guī)則圖形的面積近似等于規(guī)則圖形面積乘以頻率而頻率可以通過(guò)隨機(jī)模擬的方法得到，從而求得不規(guī)則圖形面積的近似值（九）、生活中的幾何概型例 1、 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求此人等車