1、多尺度方法1. 多尺度方法的意義很多自然科學(xué)和工程的問題都具有多尺度的特征。 例如，高雷諾湍流的渦有 大小不同的尺度， 材料的微損傷有大小不同的尺度， 多孔介質(zhì)的孔徑大小存在著 不同的尺度等。 然而，在實際應(yīng)用中卻常常忽略多尺度特征而采用經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀?這 些模型在應(yīng)用中取得很大的成功， 但經(jīng)驗?zāi)Ｐ鸵泊嬖诒旧淼木窒扌裕?主要體現(xiàn)在：（1）由于模型的誤差大，導(dǎo)致很多問題求解的精度不高；（2）完全忽略細(xì)觀結(jié)構(gòu)的影響，不能完全反映問題本身的自然特征；（3）缺乏可靠的理論基礎(chǔ)。因此，對于很多問題， 需要建立能反映自然屬性、 精度更高且具有理論基礎(chǔ) 的多尺度模型。 在建立多尺度模型的同時， 首先必須考慮問題

2、自身的特征。 按照 問題的特征可以把多尺度問題分為以下幾類：第一類：這類多尺度問題包含了孤立的瑕點或奇異點，比如裂痕、斷層、突 變以及接觸線。 對于這類問題， 只需要在孤立的瑕點火奇異點附近建立細(xì)觀尺度 的模型，其它區(qū)域滿足某個宏觀模型即可。 這樣細(xì)觀尺度的模型只需在很小的計 算區(qū)域里求解。第二類： 這類多尺度問題存在相關(guān)的宏觀模型， 但宏觀模型不清晰， 不能直 接用于求解。典型的一個例子是均勻化問題，這時系數(shù) ?（ ?）? = ?（?,?）?，其中 表示細(xì)觀尺度，雖然與宏觀變量？相關(guān)的宏觀模型確實存在，但宏觀模型不明確。第三類：這類問題是包含第一類和第二類特征的多尺度問題。 第四類：這類多尺

3、度問題的習(xí)慣結(jié)構(gòu)具有強烈的不規(guī)則性， 難以找到相關(guān)的 宏觀模型。隨著多尺度模型的發(fā)展， 還會出現(xiàn)更多類型的多尺度問題， 對各類多尺度問 題的求解引起了人們廣泛的關(guān)注， 也推動了多尺度計算方法的發(fā)展。 很多科學(xué)和 工程問題都存在多尺度問題， 多尺度模擬是一個典型的跨學(xué)科問題， 它涉及到數(shù) 學(xué)、化學(xué)、物理、工程、計算機科學(xué)、環(huán)境科學(xué)等學(xué)科，越來越受到科學(xué)家的重 視。目前為止，已經(jīng)有一些經(jīng)典的多尺度計算方法，如多重網(wǎng)格方法、均勻化方法、小波數(shù)值均勻化方法、多尺度有限元法、非均勻化多尺度方法等，這些方法 在很多科學(xué)和工程領(lǐng)域中的應(yīng)用已取得了一定的成功。2. 多尺度計算方法隨著多尺度問題在工程中的應(yīng)用越

4、來越廣泛， 基于多尺度問題求解的復(fù)雜性， 國內(nèi)外學(xué)者提出了一些多尺度計算方法， 這些數(shù)值方法主要可分為傳統(tǒng)的多尺度 計算方法和近年來發(fā)展的多尺度計算方法。傳統(tǒng)的多尺度計算方法包括多重網(wǎng)格法、 自適應(yīng)方法等。 其中多重網(wǎng)格方法 通過粗網(wǎng)格校正和誤差光滑技術(shù)， 在減小工作量的同時保證了細(xì)尺度上解的計算 精度。然而， 傳統(tǒng)的多尺度計算方法需要在細(xì)觀尺度上求解原問題， 使得在解決 很多實際問題時仍需要巨大的計算量， 甚至難以求解。 因此， 人們希望找到更有 效的數(shù)值方法來求解多尺度問題。 近年來發(fā)展的多尺度計算方法包括多尺度有限 體積法、多尺度有限元法、非均勻化多尺度方法以及小波數(shù)值均勻化方法等。2.

5、1 多尺度有限元方法多尺度有限體積法有Jenny等提出的，多尺度有限元方法是由Babuska等提 出，這兩類方法在宏觀尺度上進行網(wǎng)格剖分， 然后通過在每個單元里求解細(xì)觀尺 度的方程（構(gòu)造線性或者振蕩的邊界條件） 來獲得基函數(shù)。 從而把細(xì)觀尺度的信 息反映到有限元或有限體積法的基函數(shù)里， 使宏觀尺度的解包含了細(xì)觀尺度的信 息。但多尺度有限元方法和多尺度有限體積法在構(gòu)造基函數(shù)時需要較大的計算量。2.2 均勻化方法均勻化方法是一種多尺度分析的方法， 該方法通過對單胞問題的求解， 把細(xì) 觀尺度的信息映射到宏觀尺度上， 從而推導(dǎo)出宏觀尺度上的均勻化等式， 即可在 宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科

6、學(xué)和工程應(yīng)用中取得了巨大成功， 但這種方法建立在系數(shù)細(xì)觀結(jié)構(gòu)周期性假設(shè)的基礎(chǔ)上， 因此應(yīng)用范圍收到了很大 限制。均勻化方法通過對單胞問題的求解把細(xì)觀尺度信息反映到宏觀尺度上， 得到 宏觀尺度的均勻化等式。 大體上來說， 均勻化方法是沿四種不同的途徑平行發(fā)展 起來的，包括：（1）級數(shù)漸進展開的方法； （ 2）能量估計的方法；（3）基于概率分析的方法；（4）具有周期性系數(shù)算子的譜分解方法。2.3 非均勻化方法鄂維南等綜合了多尺度問題求解的一些方法，于 2003 年提出了一種新的求 解多尺度問題的數(shù)值方法非均勻化多尺度方法， 并成功地應(yīng)用于求解了大量的 多尺度問題。 Abdulle 則把 HMM 應(yīng)

7、用于求解多尺度拋物型方程。非均勻化多尺 度方法不僅是一個具體的多尺度計算方法， 而且是構(gòu)造多尺度計算方法的一個框 架。給定一個細(xì)觀尺度的問題，其方程為?（ ?, ?） = 0 式中?表示細(xì)觀尺度的解， ?表示一些輔助的條件， 比如問題的初始條件和邊界條 件。對于細(xì)觀尺度的問題，一般不關(guān)心 ?的具體信息，而是關(guān)心細(xì)觀尺度的信息 對宏觀尺度解（記作 ?）的影響。設(shè) ?滿足宏觀尺度的方程?（?,?） = 0 ?表示宏觀尺度模型所缺少的數(shù)據(jù)。非均勻化多尺度方法的目標(biāo)是通過 ?和細(xì)觀尺度的模型，來求解宏觀尺度的 解? HMM方法主要包括兩個重要的組成部分：（1）選擇合適的宏觀尺度的模 型；（ 2）用細(xì)觀

8、尺度模型的解來估計缺少的宏觀數(shù)據(jù) ?。這個過程可以分解為兩 個步驟： 對細(xì)觀尺度進行求解， 構(gòu)造適當(dāng)?shù)某踔禇l件和邊界條件， 以求解細(xì)觀模 型；數(shù)據(jù)處理，由細(xì)觀的解來得到所需的宏觀數(shù)據(jù)。2.4 小波數(shù)值均勻化方法小波數(shù)值均勻化方法是由Dorobantu和Engquist提出的求解橢圓型方程的新 型方法。該方法基于多分辨分析， 在細(xì)觀尺度上建立原方程的離散算子， 然后對 離散算子進行小波變換， 得到了大尺度上的數(shù)值均勻化算子。 此方法在大尺度上 求解方程，大大地減小了計算時間。小波數(shù)值均勻化方法基于小波的多分辨率分析， 利用小波映射把小尺度的信 息反映到大尺度上， 然后在大尺度上求解方程， 這樣只

9、需在大尺度空間上求解就 能捕捉到小尺度的特征。近年來，小波理論在信號處理、圖像壓縮、音樂語音合 成、兩字物理等領(lǐng)域都取得了成功的應(yīng)用。 它主要是應(yīng)用了各類小波和小波基函 數(shù)所共有的被稱為 “數(shù)學(xué)顯微鏡” 的良好的時頻局部化能力， 以及小波基可構(gòu)成 各種常用空間的無條件基這兩個重要的性質(zhì)。 小波分析方法的提出， 可以追溯到 1910年Haar提出的小波規(guī)范正交基及 1938年Littlewood對Fourier級數(shù)建立的 L-P 理論，即按二進制頻率成分分組 Fourier 變換的相位變化，在本質(zhì)上不影響 函數(shù)的形狀及量值。1981年Stromberg對Haar系進行了改進，證明了小波函數(shù) 的存在性。3. 小結(jié)上述各類近年來發(fā)展的多尺度計算方法著重抓住宏觀尺度的特征， 而不直接 在細(xì)觀尺度求解多尺度問題， 因而能大大地減小計算工資量。 隨著多尺度計算方 法的不斷發(fā)展， 它在科學(xué)和工程領(lǐng)域中的應(yīng)用也越來越廣泛。 然而，無論多尺度 計算方法本身， 還是在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用都仍然處于探索階段。 進一步研究多尺 度計算方法及其在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用具有很重要的意義。參考文獻1 張洪武，王鯤鵬 . 材料非線性微 -宏觀分析的多尺度方法研究 J. 力學(xué)學(xué)報， 2004，36(3)： 359-3632 徐長發(fā)，李紅 . 偏微分方程數(shù)值解法 M. 武漢：華中理工