1、 第三節(jié)第三節(jié) 初等多值函數(shù)初等多值函數(shù) 7、冪函數(shù)冪函數(shù)第二章第二章 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)冪函數(shù)的定義:azaz=0)0(Lnzezwzaa由于. 0az)arg, 01(ln2lnzeezwikazaaazwz , 0),(2Zkeika因此，對(duì)同一個(gè) 的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)等于不同數(shù)值的因子 ,2時(shí)是正整數(shù)、當(dāng)n性，冪函數(shù)一般是、由于對(duì)數(shù)函數(shù)的多值1. 0|arg)2(arg|lnLnzinnkziznznnezeezw是一個(gè)單值函數(shù)；,)(31時(shí)是正整數(shù)、當(dāng)nn)2(arg|lnLn111kzizznnneezw值函數(shù)；是一個(gè)n).1, 2 , 1 , 0( |2arg1nkeznkzni不同數(shù)

2、值的個(gè)數(shù)等于數(shù)整個(gè)復(fù)平面上的多值函(。不同因子的個(gè)數(shù))2ike冪函數(shù)的基本性質(zhì)：,04時(shí)是、當(dāng); 10Lnz00eez）：的整數(shù)，為互素與是有理數(shù)時(shí)，即、當(dāng)0(5qqpqppkizkzizqqpqpqpqpeeez2ln)2(arg|lnLnz1取，當(dāng)為互素，所以不難看到與由于kqp個(gè)不同的值，即這時(shí)，得到，qq1,210值的函數(shù)；時(shí)冪函數(shù)是一個(gè)q冪函數(shù)的基本性質(zhì)：多值函數(shù)；函數(shù)是無窮是無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，冪、當(dāng)6是無理數(shù)時(shí)，有事實(shí)上，當(dāng)kizkzizeeez2ln)2(arg|lnLnz冪函數(shù)的基本性質(zhì)：時(shí)，有當(dāng))0( bbia)2(arg|)ln()2(arg|lnLnzkzizbiakziz

3、eeez)2(arg|ln)2(arg|)ln(kzazbikzzbae例如), 2, 1, 0(2)2(arg1lnLni2keeeikkiiiiiikkieee222ln2)22(arg2ln2Ln2222) ,2,1,0,(k )2lnsin2ln(cos2 2iek)22)ln1()22(arg2)ln1(Ln2)1(12ikikiiiieee)22(ln)22(ln22ln22ln kikkiikee), 2, 1, 0( 2 222keik上解析，、冪函數(shù)在0Re, 0Im7zzC冪函數(shù)的基本性質(zhì)：冪函數(shù)的基本性質(zhì): 設(shè)在區(qū)域G內(nèi)，我們可以把Lnz分成無窮個(gè)解析分支。對(duì)于Lnz的一

4、個(gè)解析分支，相應(yīng)地 有一個(gè)單值連續(xù)分支。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則， 的這個(gè)單值連續(xù)分支在G內(nèi)解析，并且其中 應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)它求導(dǎo)數(shù)的那個(gè)分支，lnz應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)數(shù)函數(shù)相應(yīng)的分支。azazwzzaezazwazaln1ddaz冪函數(shù)的基本性質(zhì): 對(duì)應(yīng)于Lnz在G內(nèi)任一解析分支：當(dāng)a是整數(shù)時(shí)， 在G內(nèi)有n個(gè)解析分支；a是無理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，冪函數(shù)az) 1(nnma既約分?jǐn)?shù)，azaz在G內(nèi)是同一解析函數(shù)；當(dāng) 時(shí)， 在G內(nèi)有無窮多個(gè)解析分支，是一個(gè)無窮值多值函數(shù)。冪函數(shù)的基本性質(zhì): 例如當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，稱為根式函數(shù)，它是nnzzw1nwz 0z),arg( | )2(arg121)arg|(ln121l

5、n1Zkzezeeeezwkzniniknzizniknznn 的反函數(shù)。當(dāng)時(shí)，有這是一個(gè)n值函數(shù)。冪函數(shù)的基本性質(zhì):在復(fù)平面上以負(fù)實(shí)軸（包括0）為割線而得的區(qū)域D內(nèi)，它有n個(gè)不同的解析分支：它們也可以記作) 1,.,1 , 0;arg( |)2(arg1nkzezwkznin這些分支在負(fù)實(shí)軸的上沿與下沿所取的值，與相應(yīng)的連續(xù)分支在該處所取的值一致。)1(21kninnezw支點(diǎn): 當(dāng)a不是整數(shù)時(shí)，原點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是 為了理解這些結(jié)論，我們?cè)?或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)，任作一條簡(jiǎn)單閉曲線C圍繞0或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。在C上任取一點(diǎn) ，azw 1z11argz1z )(lniArgzzaaezw 111l

6、n)arg(lnzazizaee1z的支點(diǎn)。但按照a是有理數(shù)或者a不是有理數(shù)，這兩個(gè)支點(diǎn)具有完全不同的性質(zhì)。 確定Argz在的一個(gè)值 ；相應(yīng)地確定在 的一個(gè)值代數(shù)支點(diǎn):現(xiàn)在考慮下列兩種情況：(1) a是有理數(shù)也即第一次回到了它從1z) 1(nnm既約分?jǐn)?shù)，1n21nmzw )|(lnln111iznmznmee 11ln)2(lnznmnznmee1znmzw，當(dāng)一點(diǎn)z從 出發(fā)按反時(shí)針或順時(shí)針方向連續(xù)變動(dòng)n周時(shí)，argz從連續(xù)變動(dòng)到而則從相應(yīng)地連續(xù)變動(dòng)到出發(fā)時(shí)的值。這時(shí)，我們稱原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是 的n-1階支點(diǎn)，也稱n-1為階代數(shù)支點(diǎn)。無窮階支點(diǎn):（2）a不是有理數(shù)時(shí)，容易驗(yàn)證原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是a

7、zw 當(dāng)a不是整數(shù)時(shí)，由于原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是azw 1K1D1Dazw 的無窮階支點(diǎn)。的支點(diǎn)，所以任取連接這兩個(gè)支點(diǎn)的一條簡(jiǎn)單連續(xù)曲線作為割線，得一個(gè)區(qū)域。在內(nèi)，可以把分解成解析分支。冪函數(shù)的映射性質(zhì):關(guān)于冪函數(shù)當(dāng)a為正實(shí)數(shù)時(shí)的映射性質(zhì)，有下面的結(jié)論：設(shè) 是一個(gè)實(shí)數(shù)，并且在z平面上取正實(shí)數(shù)軸（包括原點(diǎn)）作為割線，得到一個(gè)區(qū)域D*?？紤]D*內(nèi)的角形，2,0a并取 在D*內(nèi)的一個(gè)解析分支zAarg0:) 11 (aazwazw 冪函數(shù)的映射性質(zhì):當(dāng)z描出A內(nèi)的一條射線時(shí)讓 從0增加到 （不包括0及 ），那么射線l掃過角形A，而相應(yīng)的射線 掃過角形0arg:zl01arg:awl01lawA arg0

8、:1a（不包括0），w在w平面描出一條射線 冪函數(shù)的映射性質(zhì):因此) 11 (aazw1Aaa把夾角為 的角形雙射成一個(gè)夾角為 的角形，同時(shí)，這個(gè)函數(shù)把A中以原點(diǎn)為心的圓弧映射成中以原點(diǎn)為心的圓弧。 類似地，我們有，當(dāng)n(1)是正整數(shù)時(shí)，) 1,.,2 , 1 , 0( )1(21nkezwkninn冪函數(shù)的映射性質(zhì):nzw nkwnk) 1(2arg2的n個(gè)分支分別把區(qū)域D*雙射成w平面的n個(gè)角形例1、作出一個(gè)含i的區(qū)域，使得函數(shù)例1：, )2)(1(zzzw)2Arg() 1Arg(Arg2exp| )2)(1(|2/1zzzizzzw在這個(gè)區(qū)域內(nèi)可以分解成解析分支；求一個(gè)分支在點(diǎn)i個(gè)的值

9、。解：我們知道可能的支點(diǎn)為0、1、2與無窮，具體分析見下圖例1：結(jié)論：0、1、2與無窮都是1階支點(diǎn)。012012012012可以用正實(shí)數(shù)軸作為割線，在所得區(qū)域上，函數(shù)可以分解成單值解析分支。同時(shí)，我們注意到例1：), 2 因此也可以用0，1與 作割線。012我們求函數(shù)下述的解析分支例1：在z=i的值。在z=1處，取)6) 1( , )2)(1(iwzzzw,)2arg() 1arg(argzzz在w的兩個(gè)解析分支為：) 1 , 0(| )2)(1(|)2(arg)1(argarg22/1kezzzwikzzzi如下圖，例1：,21arctan)2arg(23) 1arg(,2argiii所以.

10、1010)(31arctan24)21arctan4(24iieeiw201i例2、驗(yàn)證函數(shù)例2：,)1 (43zzw,|)1 (|)-Arg(13Arg44/13zziezzw在區(qū)域D=C-0,1內(nèi)可以分解成解析分支；求出這個(gè)分支函數(shù)在(0,1)上沿取正實(shí)值的一個(gè)分支在z=-1處的值及函數(shù)在（0，1）下沿的值。解：我們知道例2：01，增加變，所以不，增加2/arg)1arg(2argwzz01，增加變，所以不，增加4/3argarg2)1arg(wzz例2：結(jié)論：0、1是3階支點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是支點(diǎn)。回到同一個(gè)分支。增加，所以也增加，增加,24/ )232(arg2)1arg(2argwzz01例2：因此，在區(qū)域D=C-0,1內(nèi)函數(shù)可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿規(guī)定, 0)1arg(argzz在w的四個(gè)解析分支為：則對(duì)應(yīng)的解析分支為k=0。在z=-1處，有，),3 , 2 , 1 , 0( ,|)1 (|2)-(1arg3arg44/13kezzwikzzi, 02arg)1arg(,argzz例2：所以),1 (28) 1(444iewi，變