1、2018屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案 18:難點(diǎn)突破：立體圖形的外接球與內(nèi)切球問題 一、基礎(chǔ)知識(shí)與概念：1 .球的截面：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去截球面，截面是圓.大圓：截面過(guò)球心，半徑等于球半徑（截面圓中最大）；小圓：截面不過(guò)球心.2 .球心和截面圓心的連線垂直于截面.3 .球心到截面的距離 d與球半徑R及截面圓半徑r的關(guān)系：R2 d2 r2.4.幾何體的外接球：幾何體的頂點(diǎn)都在球面上；幾何體的內(nèi)切球：球與幾何體的各個(gè)面都相切. 二、多面體的外接球（球包體）例：1. （2017年全國(guó)卷III第8題）已知圓柱的高為 1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體

2、積為A.3B. 一4C. 一2D. 一4【解析】模式辨識(shí)：“球包體”中的“垂底側(cè)邊棱（母線）”類型，h 1 , R 1,底面半徑為r ,則由R J r2r2h342. （2010年全國(guó)新課標(biāo)卷第 表面積為10題）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a ,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的A.11C3D.“球包體”中的“垂底側(cè)邊棱”類型,.3 Ta,r222 2a 7a312所以該球白表面積 S 4 R2 47 a2127a2 答案B.33. （2014年全國(guó)大綱卷第8題）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為 積為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面81A.4B. 16C. 927D.4【解析】

3、模式辨識(shí):“球包體”中的“頂點(diǎn)連心錐”2 2_,h 4, rJ2 ,則 R2,2 2h r2h16 28所以S 4 R244. （2013年全國(guó)卷8181- ,答案： A.164I第6題）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm,將一個(gè)放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為 球的體積為6cm,如果不計(jì)容器的厚度，則08663B. -cmC. Ucm33c 20483D. -cm【解析】設(shè)水面與球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）為 P,球心為O,則PO垂直于正方體的上表面，依題意2 o到正萬(wàn)體上表面的距離為 h 2,球與正萬(wàn)體上表面相交圓的半徑r 4,有： R 2r2R2,

4、球得：12- r222r 4， ， ，43 500R 5 ,所以球的體積V R3 433三、定心大法：球心在過(guò)截面圓的圓心且垂直于截面圓所在平面的直線上.兩圓定心法：如下圖，過(guò)兩個(gè)截面圓的圓心分別作相應(yīng)截面圓的垂線，由兩垂線的交點(diǎn)確定圓心.例2： 1.已知邊長(zhǎng)為2J3的棱形ABCD中,60 ,現(xiàn)沿對(duì)角線BD折起，使得二面角 A BDC為120 ,此時(shí)點(diǎn)A, B , C , D在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A. 20B. 24C. 28D. 322 .在矩形ABCD中，AB 4, BC 3,沿AC將矩形折成一個(gè)直二面角 B AC D ,則四面體 ABCD的外接球 的體積為.3 .在邊長(zhǎng)為1

5、的菱形ABCD中，BAD 60 ,沿對(duì)角線將菱形折成直二面角 A BD C ,則三棱錐A BCD的外 接球的表面積為.四、正多面體的內(nèi)切球（體中球）錐體的內(nèi)切球：R 圓錐的內(nèi)切球:R邊長(zhǎng)為a的正方體:等邊圓柱（母線a）:邊長(zhǎng)a的正八面體:RR a2R - .2五、正多面體的 切邊球”（與所有的棱都相切的球）正四面體邊長(zhǎng)為a ,球半徑R正方體邊長(zhǎng)為a ,球半徑R正四面體邊長(zhǎng)為a ,球半徑R例3: 1. 一個(gè)球的外切正方體的全面積為6,則球的體積為 .2 .某圓錐的截面為邊長(zhǎng)為 2的正三角形，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為 3 . （2016年全國(guó)卷III第10題）在封閉的直三棱柱 ABCA1B1C1

6、內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB BC, AB 6,BC 8, AA1 3 ,則V的最大值是A. 49B.2C. 632D.3【解析】考查直三棱柱中截面的內(nèi)切圓為球的大圓的情景，有10 R 6 8 R 2.343為一時(shí)球的體積取大為V R23練習(xí)：B.1.（2015年全國(guó)卷II第9題）已知A , B是球。的球面上兩點(diǎn), 體積的最大值為36,則球。的表面積為AOB90 ,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O ABCA. 36B. 64C. 144D.2562. （2016年福建漳州市5月質(zhì)檢）三棱錐 SABC 中，SB平面ABC,SB .5,ABC是邊長(zhǎng)為石的正三角形，則三棱錐S ABC的外接球的表面積為

7、（A. 3B. 5)C. 9D.123. （2014年湖南卷）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工IL正美度成球，則能得到的最大球的半徑等于（A. 1B. 2)C. 3D. 44.（2013年遼寧卷理10）已知三棱柱 ABC AB1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB3,AC 4, AB AC , AA1 12 ,則球。的半徑為（D. 3V103 17A.2ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角5. （2012年全國(guó)新課標(biāo)卷第 11題）已知三棱錐 S ABC的所有頂點(diǎn)都在球 。的球面上, 形，SC為球O的直徑，且SC 2,則此棱錐的體積為也B.遮C,&D,亞66326 .

8、在正三棱錐P ABC中，PA PB積為（）A.B.3PC 73,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體，4C. 4D.37.已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為 J2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（A. 32B. 4C. 2D. 4338. （2017年福建省質(zhì)檢）.空間四邊形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，E、F分別是 AB、CD的中點(diǎn)，且EF AB,EF CD ,若AB 8,CD EF 4,則該球的半徑等于A.述B.讓C.返D.病16829. 若三棱錐P ABC的最長(zhǎng)的棱PA 2 ,且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是 .10. （ 2008年

9、高考浙江卷 理14）已知球。的面上四點(diǎn)A、B、C、D , DA 平面ABC, AB BC ,DA AB BC 73,則球O的體積為.11. （2016年?yáng)|北三省三校聯(lián)考）三棱柱 ABC AB1C1各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，側(cè)棱與底面垂直，ACB 120 ,CA CB 2 J3, AA 4 ,則這個(gè)球的表面積為 ACB 90 , BAC 30 , BC 1,且三棱柱 ABC A1B1C112. 在三柱ABC A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直底面,MN ,若側(cè)棱SA 2V3 ,則正三棱錐的體積為3,則三棱柱ABC AB1cl的外接球表面積為 13. 在正三棱錐 S ABC中，M , N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且 AMBD 6，則三棱錐A BCD外接球的表面S ABC外接球的表面積是.14. 在三棱錐 A BCD 中，AB CD 2, AD B