1、無窮級數(shù) 無窮級數(shù)無窮級數(shù)數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的 基本概念和性質(zhì) 二二 、收斂級數(shù)的性質(zhì)、收斂級數(shù)的性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 第十一章第十一章 第一節(jié)引例引例1 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念.31化化為為小小數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)且且,3 . 033. 031 1033 . 0 210310303. 03 . 033. 0 32103103103003. 003. 03 . 0333. 0 無無限限循循環(huán)環(huán)小小數(shù)數(shù)概概念念之之中中無無窮窮級級數(shù)數(shù)的的思思想想蘊蘊涵涵在在1. 引例引例表表示示成成無無窮窮多多項項之之和和將將31求求極極限限nn1031031

2、03333. 02 個個一般地，一般地，33. 031 于是于是 n1031031032相當(dāng)于求相當(dāng)于求引例引例2 , )1()1(lim2 aaaann.12 naaa無窮多項的和無窮多項的和一般項一般項：級數(shù)的級數(shù)的和和2. 定義定義給定數(shù)列給定數(shù)列,321nuuuu 1nnu,321 nuuuu無窮級數(shù)無窮級數(shù):nu nkknuS1部分和部分和：nuuuu 321,lim存在存在若若SSnn 無窮級數(shù)無窮級數(shù)收斂：收斂：記作記作 1nnuS 21nnnnuuSSr級數(shù)的級數(shù)的余項余項：,lim不存在不存在若若nnS 無窮級數(shù)無窮級數(shù)發(fā)散發(fā)散 ：0lim nnr級數(shù)收斂時級數(shù)收斂時，例例1

3、 (幾何級數(shù)幾何級數(shù)) 0nnqa 1) 若若,1 q12 nnqaqaqaaSqqaan 1時，時，當(dāng)當(dāng)1 q, 0lim nnq由由知知qaSnn 1lim故級數(shù)收斂故級數(shù)收斂 ,;1qa ,1時時當(dāng)當(dāng) q,lim nnq由由知知,lim nnS則部分和則部分和故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散 .其和為其和為證明等比級數(shù)證明等比級數(shù))0(2 aqaqaqaan常數(shù)常數(shù)當(dāng)當(dāng) 時收斂時收斂,1 q當(dāng)當(dāng) 時發(fā)散時發(fā)散 .1 q證證2) 若若,1 q,1時時當(dāng)當(dāng) qanSn 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 ;,1時時當(dāng)當(dāng) q aaaaan 1)1( nSn 為奇數(shù)為奇數(shù)n 為偶數(shù)為偶數(shù)nnS lim結(jié)論：結(jié)論：1 q時收斂

4、時收斂,1 q時發(fā)散時發(fā)散 .則則, 級數(shù)為級數(shù)為,a,0不存在不存在 , 0nnqa等比級數(shù)等比級數(shù) 0nnqa等比等比級數(shù)級數(shù) 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散.拆項相消拆項相消 1ln1 nnn解解 12ln nS)1ln2(ln )1ln( n） n(所以級數(shù)發(fā)散所以級數(shù)發(fā)散.23ln 34ln nn1ln 例例2 判別級數(shù)判別級數(shù) 的斂散性的斂散性.部分和部分和)2ln3(ln nnln)1ln( 證證明明調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)證證(方法方法1)nSn131211 )0()1ln( xxx由由 nnn13121111 )11ln(nS)1ln(n )1ln(limnn nnSlim發(fā)發(fā)散散 11n

5、n)11ln(n )211ln(01 xx0) 0()( fxf)1ln(xxf 例例3發(fā)散發(fā)散.nun1 1d1nnxn時，有時，有當(dāng)當(dāng)1 nxnnx 1d11nnnxxnunnxnnln)1ln(ln1 nSn131211 ln)1ln()2ln3(ln)1ln2(lnnn )()1ln( nnxy 1 2n n+1 nnSlim.11發(fā)發(fā)散散 nnun(方法方法2)xyo(方法方法3)用用反反證證法法假設(shè)：假設(shè)：.11nnSn收收斂斂，其其部部分分和和為為 SSSSnnnn 2limlim，則則0)(lim2 SSSSnnn于是于是但另一方面，但另一方面，)21111211(2nnnSS

6、nn )1211(n )21111211(2nnnSSnn )1211(n nnn212111 nnn212121 項項n ，故故0)(lim2 nnnSS矛盾！矛盾！.11發(fā)發(fā)散散 nn(方法方法4) 見后面見后面.二、收斂級數(shù)的性質(zhì)二、收斂級數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 若若 1nnuS 1nnuc收斂收斂 ,證證 令令,1 nkknuS則則 nkknuc1,nSc nn limSc 1nnuc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . nnSc lim推論推論1 其和為其和為 c S.收斂，則收斂，則故故斂散性相同斂散性相同 . .nncS , 0 c若若 11nnnncuu 與與則則性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)

7、收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù),1 nnuS 1nnv，則則)(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S 注注 )(1nnnvu 的斂散性規(guī)律：的斂散性規(guī)律：收收為收，收收為收， 收發(fā)為發(fā)，收發(fā)為發(fā)， 發(fā)發(fā)發(fā)發(fā)不一定不一定發(fā)發(fā).例如例如, ,)1(2nnu 取取,)1(12 nnv0 nnvu而而1 收斂級數(shù)可逐項相加收斂級數(shù)可逐項相加( 減減 ).與與 1nnu 1nnv 均發(fā)散，均發(fā)散，.)(1收斂收斂但但nnnvu 2 性質(zhì)性質(zhì)3級數(shù)前面加上級數(shù)前面加上 不影響級數(shù)的斂散性不影響級數(shù)的斂散性.證證 1nnu去掉前去掉前 k 項項, 1nnku的部分的部分 nllknu1 knkSS nknS

8、與與,時時令令 n數(shù)斂散性相同數(shù)斂散性相同. 收斂時收斂時, 其和其和.kSS 故新舊級故新舊級新級數(shù)新級數(shù)同斂散，同斂散，有限項不影響有限項不影響級數(shù)的斂散性級數(shù)的斂散性（去掉、或修改）（去掉、或修改）有限項有限項, 和為和為性質(zhì)性質(zhì)4 收斂級數(shù)收斂級數(shù)加括弧加括弧后后原級數(shù)的和原級數(shù)的和.證證 設(shè)設(shè) 1nnuS收斂，任意加括弧收斂，任意加括弧,所成的級數(shù)仍收斂于所成的級數(shù)仍收斂于 )()()(1111211kknnnnnuuuuuu), 2 , 1(11 kuuvkknnk令令項項部部分分和和：則則其其前前 kkkvvv 21 knS kkvvv 21 knS 存存在在收收斂斂nnnnSu

9、 lim1)(limRSSSnn 設(shè)設(shè)的子數(shù)列的子數(shù)列是是nnkSSk SSSnnnkkkk limlimlim .S，且其和為，且其和為即加括號后的級數(shù)收斂即加括號后的級數(shù)收斂推論推論2 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, )11()11(但但 1111例如例如， 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散.用反證法用反證法注注加加括括號號后后的的級級數(shù)數(shù)收收斂斂？去去掉掉括括號號后后的的級級數(shù)數(shù)收收斂斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定不一定收斂收斂. .,0 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散例例3判斷判斷 nnn13121111的斂散性的斂散性.加加括括號號級級數(shù)數(shù) )1611019

10、1( 1nnv)211( )4131( )81716151( 解解(方法方法4) )221221211(111nnnn,212111 v,21414141312 v1 ),21161161161914 vnnnv212111 823項項 nn2121 21項項 n21 )21211(1nn 1nnv)211( )4131( )8151( nnSlim)(,221211 nnvvSnn發(fā)發(fā)散散，從從而而加加括括號號級級數(shù)數(shù) 1nnv.11發(fā)發(fā)散散故故 nn4281513 v8181 814 21 例例4 判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性31212121112 nn121解解 加括號級數(shù)為加括號級

11、數(shù)為)3121()2121()11(2 )121(nn 1)(nnnvu 1nnu由于由于收斂，收斂， 121nn 1nnv而而發(fā)散，發(fā)散， 11nn故故加括號加括號級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, 從而原級數(shù)發(fā)散從而原級數(shù)發(fā)散.性質(zhì)性質(zhì)5（級數(shù)收斂的必要條件）級數(shù)收斂的必要條件） 設(shè)設(shè) 1nnuS收斂，則收斂，則.0lim nnu證證 1 nnnSSunnu lim故故. 0 SS1limlim nnnnSS注注0lim nnu非級數(shù)收斂的充分條件非級數(shù)收斂的充分條件. .例如例如, , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) nnn13121111. 01limlim nunnn但但發(fā)散，發(fā)散，故所給級數(shù)發(fā)散故所給級數(shù)發(fā)散.

12、 .nnu lim)2(, 0 nu則級數(shù)則級數(shù) 必發(fā)散必發(fā)散 . 1nnu, 01)1(lim1 nnnn推論推論3 若若 544332212 ）（例例5 (1) 11nnn,011limlim nnnnnu解解 (1)故原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)發(fā)散. . 111nnn）（小結(jié)小結(jié):0nu 1nnu收斂收斂0 nu 1nnu發(fā)散發(fā)散例例6 判斷斂散性判斷斂散性, 若收斂求其和若收斂求其和:解解 令令,!nnnnneu 則則 nnuu1nne)1 (1 ),2,1(1 neuuunn 11,0lim nnu故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散. .11)1(! )1( nnnnennnne!eannn )1(1單單

13、增增數(shù)數(shù)列列.!1nnnnne 32252321nS,212nn nnnSSS2121 則則 1432212252321nn 21 21 221132121 n1212 nn nn21225232132.2121 nnn例例7 判斷級數(shù)的斂散性：判斷級數(shù)的斂散性：解解 21 21 221132121 n1212 nn 21211211211 n1212 nn121121 n1212 nn原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂, 其和為其和為 3 ., 3lim nnS故故23內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 無窮無窮級數(shù)概念級數(shù)概念：級數(shù)收斂、發(fā)散，部分和，余項級數(shù)收斂、發(fā)散，部分和，余項2. 兩個常見級數(shù)的斂散性：兩個常見級數(shù)的斂散性：(1) 等比級數(shù)等比級數(shù) .11,1111時時當(dāng)當(dāng)發(fā)散，發(fā)散，時；時；當(dāng)當(dāng)收斂，和為收斂，和為qqqqnn(2) 調(diào)和級數(shù)調(diào)和