1、【新教材】3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）（人教A版）教材分析客觀世界中的各種各樣的運(yùn)動變化現(xiàn)象均可表現(xiàn)為變量間的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系常?？捎煤瘮?shù) 模型來描述，并且通過研究函數(shù)模型就可以把我相應(yīng)的運(yùn)動變化規(guī)律.教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)1、能夠找出簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，初步體會應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、事函數(shù)、分段 函數(shù)模型解決實(shí)際問題：2、感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會一次函數(shù)、二次函數(shù)、器函數(shù)、分段函數(shù)模 型在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1 .數(shù)學(xué)抽象：總結(jié)函數(shù)模型；2 .邏輯推理：找出簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題干信息寫出分段函數(shù)：3 .數(shù)學(xué)運(yùn)算：結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)

2、性來求最值.：4 .數(shù)據(jù)分析：二次函數(shù)通過對稱軸和定義域區(qū)間求最優(yōu)問題：5 .數(shù)學(xué)建模：在具體問題情境中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將自然語言用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)模型的處理實(shí)際問題;難點(diǎn)：運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會中的簡單問題.課前準(zhǔn)備教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練°教學(xué)工具：多媒體，教學(xué)遼程一、情景導(dǎo)入我們學(xué)習(xí)過了一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)、基函數(shù)等都與現(xiàn)實(shí)世界有緊密聯(lián)系，請學(xué)生們 舉例說明與此有關(guān)的生活實(shí)例.要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱

3、讀課本93-94頁，思考并完成以下問題1 .一、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)形式分別是什么？2 .事函數(shù)、分段函數(shù)模型的表達(dá)形式是什么？3 .解決實(shí)際問題的基本過程是？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1 .常見的數(shù)學(xué)模型有哪些？(1) 一次函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),©0);(2 )反比例函數(shù)模型:f (x)=Lb (k, b為常數(shù),k#0);X(3)二次函數(shù)模型:f (x)=ax'+bx+c(a, b, c 為常數(shù),a#=0);(4)塞函數(shù)模型:f (x)=ax"+b(a, b, n 為常數(shù),a#0,

4、n#l);(5)分段函數(shù)模型:這個(gè)模型實(shí)則是以上兩種或多種模型的綜合,因此應(yīng)用也十分廣泛.2 .解答函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，一般要分哪四步進(jìn)行？提示:第一步:分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象；第二步:建立函數(shù)模型,把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第三步:解答數(shù)學(xué)問題,求得結(jié)果；第四步:把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論，做出解答.而這四步中，最為關(guān)鍵的是把第二步處理好.只要把函數(shù)模型建立妥當(dāng)，所有的問題即可在此基 礎(chǔ)上迎刃而解.四、典例分析、舉一反三題型一 一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1 (1)某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(套)之間的關(guān)系為v=6x+30 000,而出廠價(jià)格為每套12元,要使該廠不

5、虧本,至少日生產(chǎn)文具盒()A. 2 000 套 B. 3 000 套 C. 4 000 套D. 5 000 套(2)某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果,假設(shè)每箱售價(jià)不得低于50元且不得高于55元市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價(jià)格銷售,平均每天銷售90箱.價(jià)格每提高1元,平均每天少銷售3箱.求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為多少元時(shí),可以獲得最大利潤?最大利潤是多少？【答案】(1)D (2)見解析【解析】(1)因利潤 z=12x-(6x+30 000),所以 z=6x

6、-30 000,由z20解得x>5 000,故至少日生產(chǎn)文具盒5 000套.(2)根據(jù)題意,得y=90-3(x-50),化簡，得 y=-3x+240(50<x55, xGN).因?yàn)樵撆l(fā)商平均每天的銷售利潤;平均每天的銷售量X每箱銷售利潤.所以 w=(x-40) (-3x+240)=-3x:+360x-9 600(50x55, xEN).因?yàn)閣=-3/+360x-9 600=-3(x-60):+l 200,所以當(dāng)x<60時(shí),w隨x的增大而增大.又50W55, xGN,所以當(dāng)x=55時(shí),w有最大值,最大值為1 125.所以當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為55元時(shí)，可以獲得最大利潤,且最大利潤

7、為1 125元.解題技巧：(一、二次函數(shù)模型應(yīng)用)1 .一次函數(shù)模型的應(yīng)用利用一次函數(shù)求最值,常轉(zhuǎn)化為求解不等式2乂+13,0(或忘0).解答時(shí),注意系數(shù)a的正負(fù)，也可 以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值.2 .二次函數(shù)模型的應(yīng)用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時(shí)，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性 等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但 一定要注意自變量的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練一1、商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價(jià)為每個(gè)20元,茶杯每個(gè)5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法：買一個(gè)茶壺贈一個(gè)茶杯；按總價(jià)的92%付款.某顧客需購買茶壺4個(gè),茶杯若干個(gè)(

8、不少于4個(gè))，若購買茶杯x(個(gè))，付款y (元)，試分別建立兩種 優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時(shí),兩種辦法哪一種更優(yōu)惠？ 2、某自來水廠的蓄水池存有400噸水,水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60噸,同時(shí)蓄水池又向居民小 區(qū)不間斷供水,t小時(shí)內(nèi)供水總量為120倔噸(0WtW24).從供水開始到第幾小時(shí)時(shí)，蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少噸？若蓄水池中水量少于80噸時(shí),就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象,請問：在一天的24小時(shí)內(nèi)，有幾小時(shí)出現(xiàn)供 水緊張現(xiàn)象.【答案】見解析【解析】1.解：由優(yōu)惠辦法可得函數(shù)解析式為yl=20X4+5(x-4)=5x-60(x4,且x£N

9、).由優(yōu)惠辦法可得 y：=(5x+20X4) X92%=4. 6x+73. 6(x24,且yiy：=O. 4x-13. 6(x24,且 x£M),令 yi-ys=O,得 x=34.所以，當(dāng)購買34個(gè)茶杯時(shí),兩種優(yōu)惠辦法付款相同；當(dāng)4Wx<34時(shí),yi<y:,即優(yōu)惠辦法更省錢；當(dāng)工>34時(shí),y)y,優(yōu)惠辦法更省錢.2.解:設(shè)t小時(shí)后蓄水池中的存水量為y噸，則y = 400 + 60t - 120倔，令國=居則X? = 6t，即t = E, 6所以 y=400+10x:-120x=10 (x-6) :+40,/.當(dāng) x=6,即 t=6 時(shí),y皿=40,即從供水開始到第6

10、小時(shí)時(shí)，蓄水池存水量最少，只有40噸.令 400+10xc-120x<80,即 x°-12x+32<0,解得 4<x<8,即 4<V6t<8, - < t < -. 33因?yàn)?-9 = 8,所以每天約有8小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象. 33題型二分段函數(shù)模型的應(yīng)用例2 一輛汽車在某段路程中的行咬速度與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.(D求圖中陰影部分的而積，關(guān)說明所求而積的實(shí)際含義：(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立汽車行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s與時(shí)間t的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.v9080706()5040

11、302010()12 3 4 5 t【答案】見解析【解析】解：(1)陰影部分的而積為50 X 1 + 80 X 1 + 90 X 1 + 75 X 1 + 65 X 1 = 360陰影部分的面積表示汽車在這5 h內(nèi)行駛的路程為360 km.<2)獲得路程關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)解析式：10501+2004,80-1) + 2054, s = ( 90” 2)+2134, 75a -3)+ 2224, 65R 4)+2299,<t <22<t <33< <44 </ <5圖像如圖解題技巧：（分段函數(shù)注意事項(xiàng)）1 .分段函數(shù)的“段” 一定要分得合理,

12、不重不漏.2 .分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集.3 .分段函數(shù)的值域求法:逐段求函數(shù)值的范同最后比較再下結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練二1.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資 0. 25萬元,經(jīng)預(yù)測可知，市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件，當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t （單位: 百件）時(shí),銷售所得的收入約為5t- 萬元）.（1）若該公司的年產(chǎn)量為x（單位:百件），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量 x的函數(shù)；（2）當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，當(dāng)年所得利潤最大？【答案】見解析【解析】解：（1）當(dāng)0GW5時(shí),產(chǎn)品全部售出，當(dāng)x

13、>5時(shí),產(chǎn)品只能售出500件.所以，危尸(5x-jx2)-(0.5 + 0.25x)(0<x<5),即如5x5-x 52)-(0.5 + 0.25x)(x>5),-x2 +4.75x-0.5(0 < x < 5), 212-025x(% > 5).(2)當(dāng)0<x5時(shí)工產(chǎn)+/+4.75x45,所以當(dāng)x=4.75（百件）時(shí),f （x）有最大值，f （x）max=10. 781 25（萬元）.當(dāng) x>5 時(shí),f（x）<12-0. 25X5=10. 75（萬元）.故當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí)，當(dāng)年所得利潤最大.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知

14、識及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）1 .函數(shù)模型例1 例2 例32 .解決實(shí)際問題的基本步驟七、作業(yè)課本95頁習(xí)題3.4教學(xué)反思本節(jié)課主要就一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型舉例說明就函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.在實(shí)際應(yīng)用中, 建立合適的函數(shù)模型，把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題為關(guān)鍵點(diǎn).3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）教材分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修一（A版）的第三章的3.4函數(shù)的應(yīng) 用（一）。函數(shù)模型及其應(yīng)用是中學(xué)重要內(nèi)容之一，又是數(shù)學(xué)與生活實(shí)踐相互銜接的樞紐，特別在應(yīng) 用意識日益加深的今天，函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存有互有制約的關(guān)系, 因而函數(shù)模型的應(yīng)用舉例有著

15、不可替代的重要位置，又有重要的現(xiàn)實(shí)意義。通過經(jīng)歷由實(shí)際問題建立函數(shù)模型，再利用模型分析、解決問題的過程，學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)在 解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，有助于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，激發(fā) 他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展他們的實(shí)踐能力。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能夠利用給定的函數(shù)模型或建立函數(shù)L數(shù)學(xué)抽象：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；模型解決實(shí)際問題：2 .邏輯推理：由數(shù)學(xué)式子解決實(shí)際問題；3 .數(shù)學(xué)運(yùn)算：由函數(shù)解析式求值和有關(guān)函數(shù)解析式的計(jì)B.經(jīng)歷建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過算；程，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí) 際問題的能力。4.數(shù)學(xué)模型：由實(shí)際問題構(gòu)造合理的函數(shù)模

16、型。1 .教學(xué)重點(diǎn)：建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題；2 .教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆桨负秃瘮?shù)模型解決實(shí)際問題。多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1 . 一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、事函數(shù)的解析式分別是什 么？一次函數(shù)：y = kx+b(kO)k反比例函數(shù)：y =(攵H0)x通過復(fù)習(xí)以前所學(xué) 函數(shù),引入本節(jié)新 課。建立知識間的 聯(lián)系，提高學(xué)生概 括、類比推理的能 力。二次函數(shù)：基函數(shù)丁 =/(。為常數(shù))2 .建立函數(shù)模型應(yīng)把握的三個(gè)關(guān)口(1)事理關(guān)：通過閱讀、理解，明白問題講什么，熟悉實(shí)際背景, 為解題打開突破口.(2)文理關(guān)：將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)

17、學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.(3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，利用已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行 檢驗(yàn)，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.二、探索新知通過例題讓學(xué) 生進(jìn)一步理解應(yīng)用 題的解法，提高學(xué)生 的解決問題、分析問 題的能力。例1 .設(shè)小王的專項(xiàng)扣除比例、專項(xiàng)附加扣除金額、依法確定的其他 扣除金額與3. 1.2例8相同，全年綜合所得收入額為x (單位：元), 應(yīng)繳納綜合所得個(gè)稅稅額為y (單位：元).< 1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2 )如果小王全年的綜合所得由189600元增加到249600元，那么 他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個(gè)稅？分析：根據(jù)3. 1. 2例8中公式，可得應(yīng)納稅所得額t關(guān)于綜合所得

18、收入額x的解析式t=g(x),再結(jié)合行f(t)的解析式，即可得出y 關(guān)于x的函數(shù)解析式。解析步驟見教材。結(jié)論：根據(jù)個(gè)人收入情況，利用上面獲得的個(gè)稅和月工資關(guān)系的函數(shù) 解析式，就可以直接求得應(yīng)繳納的個(gè)稅.例2 一輛汽車在某段路程中的行駛速率v(單位：km/h)與時(shí)間t (單位：h)的關(guān)系如圖1所示，通過例題讓學(xué)生進(jìn)一步理解應(yīng)用 題的解法及讀圖能 力，進(jìn)一步熟悉分 段函數(shù)，提高學(xué)生 的解決問題、分析 問題的能力。(1)求圖1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s km與時(shí)間t h的函數(shù)解析

19、式，并作出相應(yīng)的圖象.解：(1)陰影部分的面積為50x1+80x1+90x1+75x1 + 65x1 = 360所以陰影部分的面積表示汽車在這5小時(shí)內(nèi)行駛的為360 km.(2)根據(jù)圖 1,有50/+2 004. 0</<1,80(11)+2 054.5=< 900 2)+2 134, 2</<3.7503)+2 2 24 . 3z<4.65(14)+2 299.三、達(dá)標(biāo)檢測1 .某商人將彩電先按原價(jià)提高40%,然后在廣告上寫上“大酬賓， 八折優(yōu)惠”結(jié)果是每臺彩電比原價(jià)多賺了 270元，則每臺彩電的原 價(jià)為 元.【解析】設(shè)彩電的原價(jià)為d（1+0.4>80%。=270,A0.12t7=270,解得 a=2 250.，每臺彩電的原價(jià)為2 250元.【答案】2 250通過練習(xí)鞏固本行所學(xué)知識，提高學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)2 .某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元，并且每生產(chǎn)一單位 產(chǎn)品，成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)。的函數(shù)