1、初中數(shù)學(xué)題典網(wǎng)1初中數(shù)學(xué)題典網(wǎng)8第5講爹代數(shù)式與恒等變形在化簡、求值、證明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的過程中，常需將代數(shù)式變形恒等變形，沒有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問題，采用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡潔，一般可以把恒等變形 分為兩類：一類是無附加條件的，需要在式子默認(rèn)的范圍中運(yùn)算；另一類是有附加條件的，要善于利用條件，簡化運(yùn)算恒等式變形的基本思路：由繁到簡（即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo)）和相向趨進(jìn)（即將等式兩邊同時轉(zhuǎn)化為同一形式）恒等式證明的一般方法：1 單向證明，即從左邊證到右邊或從右邊證到左邊，其原則是化繁為簡，變形的過程中要不斷注意 結(jié)論的形式，調(diào)整證明的方向.2 雙向證

2、明，即把左、右兩邊分別化簡，使它們都等于第三個代數(shù)式.、力3 運(yùn)用“比差法”或“比商法”， 證明“左邊一右邊=0"或左邊=1 （右邊工O）”，可得左邊d右邊. 右邊4 運(yùn)用分析法，由結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，探求思路，本節(jié)結(jié)合實(shí)例對代數(shù)式的基本變形（如配方、因式分解、換元、設(shè)參、拆項(xiàng)與逐步合并等）方法作初 步介紹，教材深4題 1 求證:3n 2 -2n 2 - 2 5n 2 3n _2n = 10(5n 1 3n _2n). on爲(wèi)©對同底數(shù)幕進(jìn)行合并整理，解方法一：左邊=2 5 5n1 - (3n 2 3n) (-2n 2 -2n)=10 5n 1 3n(32 1) -2n4(

3、23 2)=10 5n 110 3n -10 2nJ= 10(5n 13n _2nJ1)=右邊，“5n1、3n、2心”的提示，對左邊式子進(jìn)行合并時，以5"、3n與2心為主元合并,方法二：左邊=2 5n 23n(321)-2n(22 1)=2 5n 2 ' 10 3n-52n.右邊=10 5n 110 3r' -102n4=2 5n 210 3n-52n.故左邊=右邊.中受右邊迅速便捷.ffSJETJ讀一題，練3題，練就解題高手1-1 .已知 a b c = 0,求證：a3 亠 b3 亠 c3 = 3abc-1-2 .已知 x y z 二 xyz,證明：x(1 - y2

4、)(1 z2)y(1 - x2)(1 - z2) z(1 - x2)(1 - y2) =4xyz1-3 .證明：，2 、3、2 . 3.,22 2 3.2-2 23=1.1 .題2 123亠亠100 = ?經(jīng)研究，這個冋題的一般結(jié)論是1 2 3 丁丁 n n(n - 1),其中，n為2整數(shù)，現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：1 22 3 . n (n 1)二？觀察下面三個特殊的等式：11 2(12 3-0 12);312 3(2 3 4 -1 2 3);313 4(3 4 5 -2 3 4);3將這三個式子兩邊相加(累加)，可得11 22 3 3 4345 =20.3讀完這段材料，請您思考回答：(

5、1) 1 2 2 300 m 二(2) 1 2 2 3 n(n 1) =(3) 1 2 3 2 3 4川川'n(n 1)(n，2)=(只寫出結(jié)果，不必寫出中間的過程)C3O謔 分析此題可得到如下信息：1(1) 100 101(100 101 102 -99 100 101);31(2) n(n 1) n(n 1)(n2) -(n 1)n(n1);31解 (1)1 2 2 3 亠亠00 101(1 2 3 0 1 2 2 3 4-1 2 3 詁川 100 101 10231-99 100 101)100 101 102 =343400;3(2)由類比思想知11 22 3 n(n 1) n

6、(n 1)(n2).1(3) 1 2 3(1 2 3 4 -0 1 2 3),4- 12 3 4.(2 3 4 5 -1 2 3 4),41n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2)(n 3)-(n -1)n(n 1)(n 2)4則 1 2 32 3 4 亠 亠n(n 1)(n 2)= n(n 1)( n 2)( n 3).4柘展探究在解題時要善于利用類比推理思想,理解并記住一些常用的一般性結(jié)論,1n 11= 十n(n 1) n 1 >“22.32二.n 1 -1,1 3 5 亠 亠(2 n -1) n .C羽直注刁讀一題，練3題，練就解題高手k2-1 已知n是正整數(shù)，Pn(Xn,

7、yn)是反比例函數(shù)y 圖象上的一列點(diǎn)，其中 x 1, x 2 ,Xn =n.X記T1以$2兀=乂2丫3,，T9 = Xg%。若入=1,則T1T2T9的值是 2-2 .我們把分子為1的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù)，1 1 如越1任何一個單位分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個不同的單位4111111111分?jǐn)?shù)的和，如= + = += +23634124520'(1)根據(jù)對上述式子的觀察，你會發(fā)現(xiàn)1 _:丄1丄，請寫出口 ,0所表示的數(shù)；5 口 011 1(2)進(jìn)一步思考，單位分?jǐn)?shù)丄(n是不小于2的正整數(shù))=-請寫出.-：,*所表示的代數(shù)式，并加以驗(yàn)n心*證.2-3 已知 a1,a2009 都是正數(shù)，M =1 +&am

8、p;2 + &2008)(&2 +&2009), N =V &1 +a2009)(a2a3a2008).試比較M與N的大小.生活數(shù)學(xué)a+b b+c c+a題3已知= b c = c a a b c互不相等，求證 8 +9b +5c= 0.a -b 2(b -c) 3(c-a)'''強(qiáng)Lki日本題可設(shè) 口口J空k,然后求解.a -b2(b-c) 3(c a)a b b c c a ,解設(shè)k,a b2(bc) 3(c-a)則 a b = k(a -b),.c = 2k(b -c), c a = 3k(c - a).故 6(a b) =6k(a

9、 -b),3(b c)(b -c),2(c a) = 6k(c -a).以上三式相加，得 6(a b) 3(b c) 2(c a)二 6k(a - b - c c - a).即 8a 9b 5c =0.eajoED本題運(yùn)用了連比等式設(shè)參數(shù)k的方法，這種引入?yún)?shù)的方法是恒等式證明中的常用技巧,，竟說駛讀一題，練1題，決出能力高下3-1 .已知 込壬 = 2b c 1 = -3a * 二 2,則 a 2b 3c-2abk2 3b + 2c8 2c+a64a3b + c+7感受333題 4 證明(y z -2x) (z x _2y) (x y -2z) = 3(y z- 2x) (z x -2 )(

10、x y _2z). 益越本題看似復(fù)雜，但是仔細(xì)分析各項(xiàng)特征，可嘗試使用多變量換元法.解令y z -2x =a,z x -2y =b,x y -2z =c,則原待證恒等式轉(zhuǎn)化為 a3 b3 c 3abc.聯(lián)想到公式a3 b3 c3 _3abc = (a b c)(a2 b2 c2 _ab _ be -ca).由+，得a b c = (y - z - 2x) (z x_2y) - (x y_2z)-0.故 a3 b3 c3 _ 3abc 二 0,即 a3 b3 c3 二 3abc.原式得證.換元法的使用可以使題目條件更趨簡潔，更易把握題目特點(diǎn). i 幀亞】讀一題，練3題，沖刺奧數(shù)金牌4-1試用x+

11、l的各項(xiàng)幕表示x3 -2.x2 3x -1.2 2 2 1 1 14-2 已知 2005x =2007y -2009z ,x 0,y0, z 0且1.x y z求證：4-3 .解方程:題5設(shè)x,y,z.2005x2007y2009z 二 20052007. 2009.x-232x-3 '3 x-2 x-32 '互為不相等的非零實(shí)數(shù)，且 x - = y z 1求證：x2y2z2二1y z x丸込、由于結(jié)論為“x2y2z2 =T的形式，可以從題設(shè)式中導(dǎo)出x, y, z乘積的形式xy, yz , zx11解 由xy ,變形可得yx11 y -zx _ y =z y yz同理可得zx=

12、±,y zXy 二口 Z Xx2 y2z2 =1.毎展援究本題中x,y, z具有輪換對稱的特點(diǎn)，也可從二元情形中得到啟示：即令x, y為互不相等的非1零實(shí)數(shù)，且x = yy1,易推出x-y二丄-丄，故有xy =xx yy 一 x1,所以x2y2二1,三元與二元情形類x y似.讀一題，練3題，沖刺奧數(shù)金牌1.1 15-1 若實(shí)數(shù) x, y, z 滿足 x + = 4, y + =1,z+ yzx=7 ,則 xyz=311_5-2 .已知 x ( ,5.3), y ( .5 -、3),求 x2222-6xy y 的值.5-3 .已知實(shí)數(shù)a, b, c,d互不相等，且a丄二bb111cdx

13、,試求x的值,cda2 a 題6已知y = a , zx2 a x = a _z解由已知，得y兩式相乘，得2-a - az知要從題設(shè)條件中消去y.2 2 a a 二a-二a-z.2=(a - 為(a -z).32 a=a x-az2azx初中數(shù)學(xué)題典網(wǎng)#初中數(shù)學(xué)題典網(wǎng)#2所以az a z 二x x幽展探冤2綜合考查條件結(jié)論，充分挖掘隱含信息，常會成為解題的關(guān)鍵，如本題中由y二a-g,z二a-初中數(shù)學(xué)題典網(wǎng)#初中數(shù)學(xué)題典網(wǎng)#2普,到x2二a -尋，發(fā)現(xiàn)要消去y這一信息.初中數(shù)學(xué)題典網(wǎng)111 :顧斷讀一題，練3題，沖刺奧數(shù)金牌ab6-1.已知ab =1,求一 的值.a+1 b+1小小、工abbcc

14、a 土6-2 設(shè)P, q, r，其中a b, b c,c a不為零.求證:a bb cc a(1P)(1q)(1 r) =(1 - P)(1 q)1 r).6-3 .已知 a, b, c, d 滿足 a 遼 b, c d,a b = c d = 0,a3 b3 二 c3d3.求證：a = c, b = d.參考答案與提示!.鏈力沖浪J1 L方袪一：1耳為<i十屛十方怙:十F十代""肛占一be 又 £i+fi>+r= 0«戰(zhàn)2 +枳+戸一加k=0；即診+護(hù)+盧=3肚 方法二個為卄打+匸=6故«=兩邊立方得禍=一宀+產(chǎn)+矽匚+3妒h移項(xiàng)

15、扁$+護(hù)+以=一血仙牛廠=込方法三:.由費(fèi)4占得也匸一材一心代人左邊.得(-詁戶十滬+以m f (臚+ 3r+3fir2 + c3)十夕十日P2P 因?yàn)樗?左邊=忑(】?2 護(hù)+護(hù)孑+W I 一邸一 H + F尹+jr、 .rs< r 辛 y=< > + c) + fyz (址尹+ y# + 甌=j-yz bT'Cw z) fttjjs y) -yzt r、+ 砒工(ry + yz+ ST) = JTJ?卜二遲 4孑j*4 -ryz 4 j-yz 右邊.1- 3.捉i=/_(2+7S鬲 y!2+ 2475 * v/S/5=/4 -<2+V> * 丿2+肩

16、=/4-(?3)! =I =右邊-2 L 51. 2提示：外粗“ = l5 = h所以曲=打故1 =2.所貞 Td丁9 =“屮-及M ' -J,Byto = lX-X2X-|iX3X，Y，X-X9X-=-j = 51,瓷2- 2. (1O表示的數(shù)為氣O我示的數(shù)抑冊.(即去示的代敗式為料十1.吉表示的代數(shù)式側(cè) 1斗 I I _ _ A i I _冏乃齊I十石二萬伽十門十門一川仙+"膠不=市喬幣.2-3,設(shè) d； +悶 +"+ilpm4 9AM Mi 4力)(由+瞬血)=1 * ft+aifliKs+fr3 +6 S2owN=(ai+A+d：2tsM)ft=O * A+

17、A2+632009-故 JVf 里迦.咫宀冉嚇都見旺數(shù)所以W -心。御心汕 3-J, y 提示屆+剛一5=£3亠州劉丸+抽一9=山I+1+9-2 1-6+3+7為+£十 1=2( a6+2r-8)=>4t+Sc-170( r 3d + E= 2(2c+u SlnSr+Sir14G 聯(lián)宜"解得"I ,6=2+r=3.故原式=4- L設(shè)才+】=仆則x=/ 1.敝F-M+BhLFl!戶一氛1一審斗3"-門一】 ?-5?+lOf-7-<i+lJ-5(x+n2 + l(Kjr+l)-7,4 22 00jjr3=2 007/=2 009s2=J

18、fe(*>0).!H1ttk2 005jt =*2 007y= f 2 OQBz j"y工Wy+y+4-1' 所以ySOC+aW+Ofe =Jk(-y + 十+ )眾只 2 0M-A *2 007-4r t2 009=4- +工 £y£j/故 72005 十 /2 007 4- 72 009 -芻十普 + 乎=、所科 /2O)&T+2 007yi-Z004 = /2005 + /007 + 72009.亠X2衛(wèi)3 miu=BPCtfVl)(«+v)=Ot亦關(guān) u-v=0 uu- 1- 披號+寧=0或守.寧=.13即 5j13=0 或 jrti5)=0 + 1U -r=_或 £=或上 ±5,經(jīng)檢驗(yàn)購満足原方程-5-1.1 提示:因?yàn)? =工4+二工豐一4-wjf+話2 ! Z從而t=2_ T'由已知轉(zhuǎn) t+j/=/5 .-ry= -j-.故 F+屜孑十護(hù)=(A+4X-7.5-3. lh已知有<x + -