1、第二十四章 圓24.1 圓的有關性質第二十四章 圓圓垂直于弦的直徑考場對接 題型一 圓的有關概念的識別考場對接 例題例題1 下列說法正確的是下列說法正確的是(). A半圓是弧半圓是弧, 弧也是半圓弧也是半圓 B 過圓上任意一點只能作一條弦過圓上任意一點只能作一條弦, 且這條弦且這條弦 是圓的直徑是圓的直徑 C弦是直徑弦是直徑 D直徑是圓中最長的弦直徑是圓中最長的弦D分析選項選項判斷判斷理由理由A半圓是弧半圓是弧, 但弧不一定是半圓但弧不一定是半圓B過圓上任意一點能作無數(shù)條弦過圓上任意一點能作無數(shù)條弦C直徑是弦直徑是弦, 但弦不一定是直徑但弦不一定是直徑D直徑是圓中最長的弦直徑是圓中最長的弦錦囊

2、妙計圓中容易混淆的圓中容易混淆的“兩組基本概念兩組基本概念” 1弦與直徑：弦與直徑： (1)弦是連接圓上任意兩點的線段弦是連接圓上任意兩點的線段, 直徑是直徑是 經(jīng)過圓心的弦經(jīng)過圓心的弦. (2)直徑是弦直徑是弦, 是圓中最長的弦是圓中最長的弦, 但弦不一定但弦不一定 是直徑是直徑. 2弧與半圓：弧與半圓： (1)圓上任意兩點分圓成兩段弧圓上任意兩點分圓成兩段弧, 圓的任意圓的任意 一條直徑的兩個端一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧點把圓分成兩條弧, 每一條每一條 弧叫作半圓弧叫作半圓. (2)半圓是弧半圓是弧, 但弧不一定是半圓但弧不一定是半圓.題型二 利用圓的性質進行證明例題例題2 如圖如圖

3、24-1-10, A, B, C 是是 O上的三個點上的三個點, BO平分平分ABC. 求求證：證：AB=BC. 分析證明證明 如圖如圖24-1-11, 連接連接OA, OC. OA=OB, OB=OC, ABO=BAO, CBO=BCO. BO平分平分ABC, ABO=CBO, BAO=BCO. 在在OAB與與OCB中中, OAB OCB, AB=BC. 錦囊妙計半徑相等的運用半徑相等的運用 在同圓或等圓中在同圓或等圓中, 可以通過連接圓心和圓可以通過連接圓心和圓 上一點構造等腰上一點構造等腰三角形或全等三角形來解決問三角形或全等三角形來解決問 題題. 在做有關圓的習題時在做有關圓的習題時,

4、 一定一定不要忘記半徑相不要忘記半徑相 等這個隱含條件等這個隱含條件.題型三 垂徑定理及其推論的有關計算與證明例題例題3 如圖如圖24-1-12, 在在 O中中, 直徑直徑AB弦弦 CD于點于點M, AM=18, BM=8, 則則CD的長為的長為_.分析分析如圖如圖24-1-12, 連接連接OD. AM=18, BM=8,OB=ODOM=13-8=5. 在在RtODM中中, DM=直徑直徑AB弦弦CD, CD=2DM=212=24. 24錦囊妙計應用垂徑定理的注意事項應用垂徑定理的注意事項 1垂徑定理基本圖形中垂徑定理基本圖形中 的四變量、兩關系：的四變量、兩關系： (1)四變量：如四變量：如

5、圖圖24-1-13, 設弦長為設弦長為a, 圓心到弦的距圓心到弦的距 離為離為d, 半半徑為徑為r, 弧的中點到弦弧的中點到弦 的距離的距離(弓形高弓形高)為為h, 知道知道這四個變量中任意兩這四個變量中任意兩 個可求出其他兩個個可求出其他兩個. (2)兩關系：兩關系：錦囊妙計2垂徑定理應用中常作的輔助線：垂徑定理應用中常作的輔助線： (1)若已知圓心和弦若已知圓心和弦, 則連接圓心和弦的一則連接圓心和弦的一 個端點個端點, 即即“連半徑連半徑”, 并作垂直于弦的直徑并作垂直于弦的直徑, 構造直角三角形；構造直角三角形； (2)若已知圓心和弦若已知圓心和弦(弧弧)的中點的中點, 則連接圓則連接

6、圓 心和弦心和弦(弧弧)的中點的中點, 并延長并延長使其與圓相交使其與圓相交, 得圓得圓 的直徑的直徑, 再再“連半徑連半徑”, 構造直角三角形構造直角三角形. 3垂徑定理應用中常用的技巧：垂徑定理應用中常用的技巧： 設未知數(shù)設未知數(shù), 根據(jù)勾股定理列方程根據(jù)勾股定理列方程.題型四 利用垂徑定理求最值例題例題4 如圖如圖24-1-14, AB, CD是半徑為是半徑為5的的 O的兩條弦的兩條弦, AB=8, CD=6, MN是直徑是直徑, ABMN 于點于點E, CDMN于點于點F, P為為EF上的任上的任意一點意一點, 則則 PA+PC的最小值為的最小值為_.分析分析如圖如圖24-1-15,

7、連接連接BP, BC. 由于由于A, B 兩點關于直線兩點關于直線MN對稱對稱, 故故PA+PC=PB+PC, 所以當所以當 B, C, P三點在一條直線上時三點在一條直線上時, PA+PC的值最小的值最小, 即即 BC的長就是的長就是PA+PC的最小值的最小值. 連接連接OA, OB, OC, 過點過點C作作CHAB于點于點H. AB=8, CD=6, MN是是 O的直徑的直徑, ABMN于于 點點E, CDMN于點于點F,CH=EF=OE+OF=3+4=7, BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7, 在在 Rt BCH中中, 由勾股定理得由勾股定理得BC=即即PA+PC的最小值為的最小值

8、為 .錦囊妙計求線段長的最值常用模型求線段長的最值常用模型 如圖如圖24-1-16, 點點A, B在直在直 線線l的同側的同側, 要在直線要在直線l上找一點上找一點 C, 使使點點C到點到點A, B的距離之和最的距離之和最 小小, 只需作點只需作點B關于直線關于直線l的對稱的對稱 點點B, 連接連接AB, AB與直線與直線l的交的交 點就是所求點點就是所求點C.題型五 利用垂徑定理解決實際問題例題例題5 把球放在長方體紙盒內把球放在長方體紙盒內, 球的一球的一 部分露出盒外部分露出盒外, 其截面如其截面如圖圖24-1-17所示所示. 已知已知EF=CD=16厘米厘米, 則球的半徑為則球的半徑為

9、_厘米厘米.108錦囊妙計利用垂徑定理解決弓形問題利用垂徑定理解決弓形問題 利用垂徑定理解答弓形問題利用垂徑定理解答弓形問題 時時, 常通過作輔助線構造直角三角常通過作輔助線構造直角三角 形形, 然后利用勾股定理求得相關線然后利用勾股定理求得相關線 段的長段的長, 從而解決問題從而解決問題. 題型六 應用垂徑定理作圖 例題例題5 如圖如圖24-1-19, 已知已知 , 用直尺和圓用直尺和圓 規(guī)作這條弧的中點規(guī)作這條弧的中點圖圖24-1-19分析分析構造弦構造弦AB作垂直平分作垂直平分 弦弦AB的直線的直線解解作法：作法：1. 連接連接AB； 2. 作線段作線段AB的垂直平分線的垂直平分線CD, 交交 于點于點E. E就是就是 的中點的中點. 如圖如圖24