1、1,利用均值不等式證明不等式（1）均值不等式：設(shè)q衛(wèi)2是】個正實數(shù)，記4 “+勺+®它們分別稱為n個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù),平方平均數(shù)。有如下關(guān)系:Hn < Gn < An < a 等號成立的充要條件是瑪=a證法一:用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)" = 2W, 4 -G => o,4 > G成立。假設(shè)：n二心2時成立，即有：4二1.Gk八小 Ak Ak CiM n=k+1W：只需證密它0等靑/ 3k不妨設(shè)：04 <a2 S<©、如iA：二k2-1 _7k/-I= A：絞+1j-1J-1iT如1/-kiT半+1占+

2、1牛二4葉=咚所以對 =£ + 1時亦成立。原不等式成立。AGk證法二：用反向數(shù)學(xué)歸納法證明：Anq.當(dāng)n = 2W, &一G =>o,4 >G成立。假設(shè):n=2k(eN+)時成立，當(dāng)n=2k+W：2k2k+1嚴Z sV 42zl_ 4-心5 JQkqX4/厶乙即，對fk已NJ當(dāng)n二2咐，結(jié)論成立。假設(shè)n=t+l>3 (te7V+)時成立。則n二t時有:t+t+化簡即得：A>GZ,即=席1亦成立。所以原不等式成立。證法三：不妨設(shè)：0<<6/2<.<kD令：b嚴寧、則有:bk>bk>0.kb： 2® -乩)(

3、曠+b嚴毗+ b：)A血-乩)喊：即:b>bkbk-伙一嘰，亦即:X他-伙-1)®且：k如一伙一 1)_! =ak.(n>k>2),b =a.nftttA： =b：b.Yllkb, -(k-1 A_.J =G；J2 乞-iZZ.*.Gn 5九等號成立當(dāng)且僅當(dāng)：a =a2 = =an.上述不等式在數(shù)學(xué)競賽中應(yīng)用極為廣泛，好的、難的不等式問題往往只需用它們即可解決，而無需過分追 求所謂更“髙級”的不等式，這是應(yīng)該引起我們注意的。例1:求證下列不等式:(1)+(73(a>b> 0)(2) logn (/?-l)logn 02 + 1) V 1/ > 2(

4、3) x4 + y4 +yA >x2y2 + y2z2 + x2 >xyz(x+y+z) 其中竝y,z>0證明（1） a +(u -b)b> 33 (a-b)-b!= 3半 7 (a-b)h當(dāng)且僅當(dāng)a-b = b = -一>0,即a = 2,b = 1取等號。(a-b)bi正明(2)Jlog” ("-l)log“(” + l) Jog”(-l) + log”(" + l)27?2-l)<|log7?2 =1:' log” (n-1)log” (n +1) v 1/ > 2證明(3) x4 + />27V =2x2y2,

5、同理z4+/>2z2y2z4 +x4 > 2z2x2 ,三式相加得X4 + y4 + y4 > x2y2 4- y2z2 + z2x2另一方而 x2y2 +y2z2 >2yjx2y4z2 = 2xy1z,»同理x2y2 +2Z2 >= 2yx2z , x2z2 + y2Z2 >= 2yz2x三式相加得x2y2 + y2z2 + z2x2 >xyz（x+y + z）說明：（1）中涉及到與常數(shù)相關(guān)的不等式的i正明問題，通過變形使其出現(xiàn)互為倒數(shù)的因式，利用均值不 等式證得。（3）中累加的方法是常用的處理手段。例 2：若仏 Ocu/r 且 a+b+c

6、 = l,求證：J13d + 1+J13b + 1 +J13C + 1 S4 石證明：左邊空嚴+ 1） + （13；+1麗齊兀3厝朋例3：已知ava2,- an是正數(shù),滿足a a2 - an =1求證:(2 + q)(2+6)(2 + ©)»3 (89年聯(lián)賽試題) 證明：2 + 5 =l + l + q 二3 同理：2 + a2>3a,2 + an>3,將以上式子相乘即得證。例4： nwN, 求證：一+ ! + + !> 1 n+ n + 23/t + l證明：由 A2n+I > /2n+1 有1 1 1+n + 1 n + 23/7 + 1=2 +

7、 1)'一?+ 1)1_(n + l) + (n + 2) + (3H + l) (2“ + 1)顯然上式不可能取等號，故原不等式成立。說明：注意到的表達式的結(jié)構(gòu)特點，當(dāng)一些正數(shù)的倒數(shù)和易于化簡時，應(yīng)考慮含H的均值不等式。例 5：若 m.n e TV, tn < n ,求證:i+ir加丿< + -證明：由Gn < An有1 +丄I ni)1+-,n)詁右 1 +丄Hl,.：上式不可能取等號。m故原不等式得證。例6：設(shè)4，°2,是1，2, n的一個排列，求證:丄+2+.+二1<魚+纟+.+組23n a2an證明:V ax,a2-alx是1, 2,門的一個

8、排列 ©+1)(6 + 1)(+1)沢1 + 1)(2+1)(-1 + 1)n=丄+心+塵匕+.+位5“2"35> IV（q+i）a+i）.（+i）+而 ”=(1+!+丄I. 2 n1 2n-l+ + + +12 3n所以丄+?+.+<+魚+.+位2 3n a2 a3an說明：由于不等式的左邊值的估汁較為不便，且右邊由于排列的任意性導(dǎo)致若直接用均值不等式放縮則 “度”太大了，所以本題采用在兩邊均加上- + - + +丄的變形處理。12 n例 7：設(shè) a,b,c 為正實數(shù)，求證：(1 + -)(1 + -)(1 + -) > 2(1 +b c ayjabc證

9、明：(i+$(i+2)(i+£)=2+2+£+#+£ b c ab c a c a h.aaa.bbb、cc.thcabcah ca>3?babc+ 3?abc答凹一1嚴匕*亠2(1 +咎£)yjabcyjabcyjabc注：本題問題中由揚喬可以看得出給了均值泄理的提示:，構(gòu)造均值立理是本題的關(guān)鍵。例8：心,ce/T,求證：亡竺+出1 +匚巴>3 a(b + c) b(c + a) c(a + b)亠丄八+bc .、,b2+ca 八 z c2 + ab .、 證明左3時（喬礦g(“ + b)(a + c) (Z? + c)(Z? + a) (

10、c + a)(c + b)r 一a(b + c)十b(c + a)c(d + b)>3l(a+b)(a+c)(b + c)(b + a)(c + a)(c + b)a(b + c)b(c + a)c(a + b)=3j(" + “)(b + c)(c + ") _ 3abc> 32巫2価2皿_ 3 Vabc=3x23=3注:本題多次利用了均值不等式例9：已知a.b.ce /T,求證: （b + c）2 Y（c + d）， （i/ + /?）2 " V4分析：通過放縮，將異分母化為同分母，從而構(gòu)造成出一些“零件不等式”，最后，將這些“零 件不等式”相加，

11、即可得出原不等式的證明。證明：y/2aG + c)2冷 2a(b + c)Mia/2a (b + c)(b + c)2a + (b + c) + (b + c)yfi a+ b + c(a + b)2 V4 a + b + c將、三個零件不等式相加，得 （b + c）1 Y（c + g），斗（a + » 一 百注：本題的技巧在于將三個異分母的分式放縮成三個同分母的分式，構(gòu)造出“零件不等式” 、。例10：如圖AABC及其內(nèi)接ADEF分原三角形所得AAEF、BDF、ACDE中，至少有一個三角形的而積不大于原AABC面積的4 （這里所指AABC的內(nèi)接三角形DEF,是頂點D、E、F分別在AA

12、BC三條邊上的三角形）證明：如圖，設(shè)AABC 三邊 BC二/ CA=b, AB二c,且 AE=e, AF=f, BD=m, BF=n, DC二p, EC=q,逆用公式> ab-ab sin C2，于是有b224 ,更注意到SEF-SgDF -Sde = -efsin A-m n.sin B-pq sinC112221gW -a b -c -siti A-siti B -sin C = ( S aabc8 6441若Sase、Sg、Ssf皆大于S上加的孑，（*）式不可能成立，故所給四個三角形面積中，至少有一個不大于4SC 類似例子很多，望同學(xué)們在做題實踐中，更多予以總結(jié)，不斷提高自己的分析

13、，歸納解題能力。ft i例山已知叫0E,2,“召耐）求證:mxin2 mn >(/-!)?11 - xn證明：令=兀，則/=一,且Yxy = l1 + m；兀r-l: _ 齊=X +X2 HF 召_ + 齊+ Hxn（1一坷）（1一勺）（1 一聲）n:.叫n?叫 >(/-!)?說明：本題采用變量代換的方式淸晰地展現(xiàn)了已知條件與結(jié)論表達式中變雖:的關(guān)系。例 12;設(shè) a.b.c e R ,求證：a" + b'1 + cn > u'Wc，+ aqbrcp + a'bpcq，其中 n e N、p,q, r 都是非負整數(shù)，K p + c/ + r =

14、 n分析與解：欲證的不等式涉及到的量較多，為此先考察特殊情形：p = 2,g = l“ = 0,即先證明 cP+b+c3 >a2b+b2c+c2ai),該不等式關(guān)于a、b、c輪換對稱，不妨設(shè)a>b>c ,則左一右 =/ (a b) +b2 (/?c)+c2 (c=cr (a-b)+b2 (Z?-c)+c2 (c-b+b-a)= (“' -c')(d-/?) + 02 -c')(b-c)nO，故 式成立進一步分析發(fā)現(xiàn)，(1)式本身無助于原不等式的i正明，其證明方法也不能推廣到原不等式，故需重新 考慮(1)式的具有啟發(fā)原不等式證明的其它證法?？紤]常用不等式

15、證明的方法發(fā)現(xiàn)，(1)式可以利用"均值不等式”或證，即d'b = “/? =尋"、<同理：b2c < 2h -iC2a < °以上三個式相加即得(1)式。運用此法再考慮原一般問題就簡單多了，仿上,apWcr =腫aFb”c”c” < MW"以上三個式相加即得待證不等式。例 13:設(shè)銳角 a、隊丫滿足 cos2 a + cos2 P + cos2 / = 1,求證:tan a tan /7 tan / > 2y/l 分析與解：由已知852&+8$20 + 852了 = 1,立即聯(lián)想到長方體得對角線公式:a2 +

16、b 4-c2 =l,令cosa = y,cosp = y,cos/ = y , I = )a2 +b +c2 以dbc為棱構(gòu)造長方體，則易知：=空竺,rlTR1 c Jc' +/ 2ca>Ja2 +b2 y/2ab同理：tan0=>-，tan/ = >-bbcccJ2bc J co J2ab 宀. tan a tan 0 tan / >= 2>/2abc上而是從條件中隱含的數(shù)形關(guān)系中探索思考解題的途徑，那么，從結(jié)論不等式中觀察到什么呢？由 tanatanZ?tan/>2>/2=(>/2)' ,即是三個不等式相乘的結(jié)果，就可以再變化

17、為： sin a sin sin / > (x/2)' cos a cos /7cos / ,這樣也無需構(gòu)造長方體模型，而采用下而的證法：由 cos2 a + cos2 P + cos2 / = 1 ,知sin2 a = 1-cos2 a = cos2 0 + cos / >2cos/7cos/：都是銳角，/. sin a > 5/2cos/?cos/同理：/. sin p > /2cos/cos a > sin / > 2cos cos將上而三個不等式兩邊分別相乘，即得待證不等式通過上例的求解分析過程，我們可以看到問題的本質(zhì).例 14： 設(shè) x 已

18、 R,求證：f(x) = (x2 +2x+3)' +(x2 +2 + 3)'"5 >6.證明 令r = x+l,則g(r) = f(x) = (t2 + 2)(,_1>? +(t2 +2)/+2.分兩種情形：(1) 心-2時，(r-1)2 >9.§(/)> (/2+2)(/_1>' >29>6;(2) />一2時，/ + 2>0.(/)>2/2_2/+1+2,+2> 221 + 2f+2 = 丁 + 2 + 2 + 2 + 丄 + 丄22z 2"制2冷=6.點評 注意到/(-

19、1) = 6,故先作代換t = x+，使/(x)的表達形式更簡單，放縮較為大膽，但要注意/ = 0 時能取到符號，放縮不能過頭，最后回到平均值不等式。例15：設(shè)a,b,c,d為正實數(shù)，且滿足ab+bc+cd+da = 卄 /戻C3求址：+> -b+c+d a+c+d b+a+d b+c+a 3證明：由均值不等式得:H18b+c+d 118 邁從而一匕注丄 b + c + d 21812同理a + c + d18-112cc a+b+d 1a + b + d _ 218 nd d a+b+c 12a+h + c 21812各式相加得一- + -+-+- > b+c+d a+c+d b

20、+a+d b+c+aa+h+c+d3又由題設(shè) ab+bc+cd + da = (a + c)(b + d) = 1 得 d + + c + = d + c + )2 2代入上式即得。a + c說明：本題充分利用了等號成立的條件是“d=b = c = d 進行代數(shù)式的變形，借助ab+bc+cd+da = 進行消元, 所以,不等式得證.例 16：設(shè)°、b、c w/?+，且/+慶+c，= 1.亠2使問題得以解決。求證:2治+戻+，)* 3abc證明:r r LabcU+嗚斗2ncr b cabc(/ +b2 +c2)-ao ;cr(a2 +b2 +c2)-c2(a2 +b2 +c2)-h2

21、+> 2(宀戾+/)abc.1 1? 2b_ +lir +co+ ycr lr>2(/+戻+，)abc<=>Z?2c2(Z?2 +c2) + a2c2(a2 +c2) +a2b2(a2 +b2)> 2abc(cr +b3 +c3).山均值不等式得b4c2 +b4a2 > 2ylbAc2 -bAa2 = 2ab4c ,bc4 +a2c4 > 2>lb2c4 a2c4 = 2abf ,a4c2 +aAh2 > 2la4c2 -a4b = 2a4be.將以上三個不等式相加得b2c2(b2 +c2) + a2c2(a2 +c2) + a2b2(a2

22、 +b2)>2abc(a3 +b5 +c)因此，所證不等式成立。注：本題待證的不等式為非齊次不等式，先利用條件“1=/+慶+°2”，將其轉(zhuǎn)化為齊次不 等式，再利用均值不等式使問題獲解。例:17： 設(shè) a、b、c d 為正數(shù)，且(a+ b)(Z? +c)(c+ )( + “) = 1求證：(2a + b + c)(2b + c + d)(2c + + a)(2d + a + b)(abcd)2 < 16分析：本題屬于非齊次不等式，且次數(shù)較高，處理此題的切入點，還是利用已知等式將其齊 次化。證明：由均值不等式 1 |4(2a + /? + c) < y(2a+b + c

23、)=(a + b + c + d)4,故只須證(a + b + c + dy (abed)2 <丄,即須證 16(a+ b + c + d)4 abed)1S 丄(a + b)(b + c)(c + )( + a)Y lo1111)+H+ abc bed eda dab 丿令丄=X丄=乙丄=V,于是， a b e d式o (a- + y)(y + z)(z + v)(v + x)'> 16(xyz + xyv + yzy + rv)4 下面證明式.4(xyz + xyv + yzy + xzv)2 =4xy(z + v) + zv(z + y)2 s 4(7 葦(£

24、; + V)+(x+y)2= (x + y)z + y) 2(xy + zv + 2 歷云)* + 卅(z + V)2(y + z)(v + A). 同理，4(yzv + xzv + xyv + xyz)2 <(y + z)v + x)2(x + y)(z + v).將式，相乘得16 (ye + xzv + xyv + xyz)4(y + Xv + xXx+yXz + v)3. 因此，所證不等式成立。例18：設(shè)abc為正實數(shù)，求證:a + 3c4b8c1 a + 2b+ c a+ b + 2c a+ h + 3c n-17+ 12、伍分析本題的難點是分母較復(fù)雜，可以嘗試用代換的辦法化簡分

25、母。x = a + 2b + c, 證令< y = a +方+ 2c,Z = a + b + 3c,貝9 x - y = Z? - c, z - y = c,由此可得a + 3c = 2y 一 x,<b = z + x-2”c = z- y11 k a + 3c468c從而+a + 2b+ c a+ b + 2c a+ b + 3c2y-x 4(z + x-2y)8(z - y)=+=_17 + 2上+ 4蘭+ 4三+注% y y z>-17 + 28 + 2=-17 + 12 血不難算出，對任何正實數(shù)a,只要 =(1 +、伍)“,c = (4 + 3、 a,就可取到上述的等

26、號。注代換法(換元法)是常用的化簡分母、去分母、去根號的一種方法。19：對任意a.b,ceR+,證明：(a2+2) (b2+2) (c2+2) >9 (ab+bc+ca).證明 原不等式Oa2 b2c2+22加+4工/ +8>9工".由抽屜原理，不妨設(shè)a和b同時大于等于1,或同時小于等于1。則c2 (a2-l) (b2-l) >0即a2 b2 c2+ c2>a2 c2+ b2 c2由均值不等式，有a2b2 + 3>2ab以及a2>ab.2工/ + 3工/ + 6三7工“.又由知 2+ a2 b2c2+ 工/ =2+( a2 b2 C2+ c2)+

27、“2 + h2> a2 + b2 + a2c2 + b2c2 +2=(a2 + b2)+ (a2c2 +1)+( b2c2 +1)>2a b+2ac+2bc: 2+ a2 b2 c2+ 工/ >2a b+2ac+2bc.+得 a2 b2 c2 +2 ya2b +4 工/ +8 王 9 工.即原不等式成立。評注這是一道美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題。這里用抽屜原理構(gòu)造了一個局部不等式，結(jié)合算術(shù)一幾何平均值不等式給出了一個很精巧的證明，本題也可以利用柯西不等式與算術(shù)一幾何平均值來證明。練習(xí)題1 , 若ubc 丘 疋 且 d+/?+c = l, 求證： + +a(l + b) b(i + c

28、) c( + a)43證明： 一jy+a(+b) Z?(l + c) c(+a)d(l +) + /?( 1 +c) + c(l+d) i""+ H>"(1 + /?)/? (1 + c) c (1 + °) a(l + b) + Z?(l + c) + c(l + a)(a +b + c) + (ab + bc + ca)1 + (g/? + be + ca)又3(ab + bc + ca)<(a1 +b2 +c2 + lab + 2bc + 2cv/) = (« + /? + c)'19927. ab + bc + ca

29、 < _ , 故有:>-3 +(ab + bc + ca) 口丄3所以不等式潔T幵1?7成立+> -b)2(P-c)2 r21 -eXP-a)2,若hwAT,x>0,求證： <l + X + /+ + k 2/7 + 1證明:1 + x2/, > 2xn, x + x211"1 > 2xn, s+> 2xn:A + x+x2 +x2n >(2n + l)x1 1 P= - (a + b + c)77十77；3.設(shè)AABC內(nèi)切圓半徑為r,2，求證：(P-Q (P證明：由于“形似”，我們聯(lián)想到公式a:+b:+c2 2 ab+bc+ca

30、.于是有1 1 1 、 1 17T + Z7 +二+ 十(P-a)2 (P - b)2(P-c)2 (P Q(P 一 b) (P- b)(P -c) (I_Pc)繼續(xù)“聯(lián)想”三角形面積公式及內(nèi)切圓半徑公式:SAABC = VP（P-aXP-bXP-c） = Pr ,及£汙-可（卩-際 - c）就有匕=4(“_“)(一 )(“_c)廠 從而證明了本題。4：證明中，有以下關(guān)系成立:證明：注意到余弦定理：人 b2+c2-a2cosA =2bccos B =于是cosA cosB cosC b2 + c2 - a2 a2 -i- c2 - b2 a2 +b2 - c2a b c2abc2ab

31、c2abca2 + b2 + c2 . ab + be + ca 1,111、=>=-（十一十一）2abc2abc 2 a b c即原命題成立5：如圖，P是正AABC內(nèi)一點，A'、B . C分別是它在對應(yīng)邊上的射影。 u1它求證："BC篤也c證明：設(shè)PAS, PBF，PCS, A ABC底邊上的髙為h,則x+y+z=h,且S£A.ZETCZ = £ Bz +池疋 +$也曲=#（椚呼氓乎旦護12 a2 1屆彳i=< =S AARC16444殂乩命題成立6：已知a + 0 + y =蘭，且a、隊丫均為銳角，求證：2Janakm0+5 + Jan0t

32、any+5 + Jtanytana+5 <4羽證明：tJtana(an0+5 + Jtan0(any+5 + J(an7tana+5即 tan a + tan /7 = cot /(I - tan a tan /?)那么 tan 6Ztan/7+tan/(tana + tan 0)=tan a tan 0 + tan/cot/(I 一 tan a tan 0) = 1故有不等式 Juma tan 0+5 + Jtan0tany+5+Jtan ytana + 5 < 4 成立7：若 a.b.c>0 ,求證：abc >(6/ + b c)(b+c-a)c + a-b)證明：

33、V a+b-c.b+c-ac + a-b中任意二數(shù)之和為正， a + b-c.b + c-a.c + a-b中至多有一個非正，若 + /? 6/? +(? 40 +。一/?有一個數(shù)非正，結(jié)論顯然 成立。若心+/? ” + 0 匕0 +。一/?均為正，貝ijJ()(c + “")w(2i)；2 + Z)= a同理：+ b-c)(b + c-a) <byj(b + c - a)(c + a - b) <c三式相乘即得證。說明：應(yīng)用基本不等式和不等式的基本性質(zhì)推證不等式時應(yīng)注意這些結(jié)論成立的條件。 8： 已知, 求證： !+ J+J< a +b + abc c +b

34、9; + abc a +c' + abc abc (1997年第26屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)證明：a +/ +abc = (a+b)a2 4-b2 -ab + abc ,又 °° a +b2 > 2ab： ci2 +b2 - ah > ab, /. a' +/?' + abc >(«+/?)ab + abc =ab(a + b + c)同理b' + c3 + abc >bc(a + b + c)9 a + c + abc > ac(a +b + c) ci + b' + abc c3 + b

35、' + abc ci + c" + abc/ 1 1 1<-i1ab(a + b + c) bc(a + b + c) ac(a + b + c)=(±+±+n=丄a + b + c ab be ca) abc例1：已知：*b,c是三角形的三邊，求證： 一-+ - + -一>3 h+c-a c+a-h a+b-c證明：令方 + c-g = x,c + a-Z? = y , a+bc = z，則 x>0,y>0,z>0且a = = .c = ，則原不等式等價于2 2 2字 + 寺 + 寧左邊拆開為六項，由均值不等式即證得。2x

36、2y 2z9：若gb,c為AABC的三邊，k>.求證：abc311:>k (b + c)_a /c(c + a)-b k(a + b)-c 2k -1 x = k(b + c)-a證明：令< y = k(c + a)-b 貝ijZ = k(a + b)-c(-k)x + ky + kz, a (2k-)(k + )(-k)y + kx + kz,”(22)(21)(1-R)z + Ay + Ax z (2_1)(R + 1)則所證不等式的左邊為(l-k)x +幼 + 仗(-k)y + kx + kz (l-£)z +燈+ 也(2k-)(k + l)x (2£

37、;-l)(k + l)y(2k-l)(£ + l)z1"八yzzxxy)(2l)(k + l)L '7 UxyyZZ)>丄 2k-說明：換元法是常用的化簡分母，去分母，去根號的一種方法。10：已知x,ze7?+ , xyz = 1,且x(l+z)>l，y(l+x)>l, z(l + y)>l求證：2(x + y + z)> - + 丄+ 丄 + 3a y z證明：令x = -1 y = -, z = (a.b.ceR)bcaf則x(l+z)>l, y(l+x)>l, z(l + y)>l變?yōu)閍+ c>b g +

38、/?>c, c + b > a ,要證的不等式邊為A a bc a o2 +1 n + 3b c a 7 a b c等價于 2(a2c+b2a+c'b) > b2c + c2a+a2b + 3abc()注意到以gb,c為邊長可以構(gòu)成三角形，我們令a = m + n< b = n+l mjiJeR-將其代入(探)即得：c = 1 + m尸 +F + n +m2n+n2l +l2m > 2nrl + 2n2m + 2J2n由均值不等式得：/3+w2/>2/2n, n3 +m2n>2n2m f in +12m>2nrI上述三式相加即得證不等式。

39、說明：對于條件a>7 = 1>常作代換x = -, y = -, z =-從而使非奇次不等式變?yōu)槠娲尾坏仁?另外，三角形三邊常用的代換為：<h = n + l oc = l + m11：已知xyz = ,求證(IMO, 2000)證明：令x =冷,y = -» z = 則原不等式變?yōu)閍-b+cb-c+a)(c-a+h)<abc ,這樣就變?yōu)槲覀兪煜さ牟坏仁筋}了。12:設(shè)X, Z為正數(shù)，A>2 = 1求證:F+(l + y)(l + z) (l + x)(l + z) (l + x)(l + y)3>-(第39屆IM O預(yù)選題)4證明：由均值不等式(l + y)(l + z) 88ry丄 i + z i+x、3冋理： +>-y(l + x)(l + z)884'z3 1 + x 1 + y3+ > z(l + x)(l + y) 884、 x3b才加以(l + y)(l + z) + (l + x)(l + z) + (l + x)(l + y)> -(x + y + z)- > - - 31 xyz -=-2'丿 4