1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A1.3 1.3 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.3.1 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念 1.3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)1.3 1.3 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)1.3.1 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念 函數(shù)極限的唯一性函數(shù)極限的唯一性 收斂函數(shù)的局部有界性收斂函數(shù)的局部有界性函數(shù)極限的局部保號性函數(shù)極限的局部保號性 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限及習(xí)例自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限及習(xí)例1-3 自變量趨于有限值時函

2、數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限 函數(shù)極限的幾何解釋函數(shù)極限的幾何解釋用定義驗證函數(shù)極限用定義驗證函數(shù)極限 Axfxx)(lim0步驟步驟習(xí)例習(xí)例4-8函數(shù)單側(cè)極限的定義函數(shù)單側(cè)極限的定義 證明極限不存在的方法證明極限不存在的方法函數(shù)極限函數(shù)極限 :有三種情況有三種情況 x ,0)1( xxx記為記為且且 ,0)2( xxx記為記為且且 ,)3( xxx記為記為可正可負(fù)且可正可負(fù)且定義定義1 ,),)(是是一一個個確確定定的的數(shù)數(shù)上上定定義義在在設(shè)設(shè)Aaxf .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)若若記為記為時的極限時的極限當(dāng)當(dāng)是是則稱則稱.)(xxfAAxfx )(lim)

3、()( 時時當(dāng)當(dāng)或或xAxf1. 自變量趨于自變量趨于無窮大無窮大時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限 一、函數(shù)極限的概念一、函數(shù)極限的概念注意：注意：(1)與數(shù)列極限情形相比較，與數(shù)列極限情形相比較，X的作用與數(shù)列極限中的的作用與數(shù)列極限中的N一樣，說明一樣，說明x充分大的程度，依賴于充分大的程度，依賴于 ；所不同的是這；所不同的是這里必須考慮比里必須考慮比X大的所有實數(shù)，而不僅僅是自然數(shù)大的所有實數(shù)，而不僅僅是自然數(shù)n.(2)幾何解釋：幾何解釋：.)(,之之間間與與的的圖圖形形全全部部位位于于兩兩直直線線時時當(dāng)當(dāng) AyAyxfXxxoyA A AX.)3(時時的的極極限限定定義義與與類類似似地地可可得

4、得出出 xx ,),()(是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù)上上定義在定義在設(shè)設(shè)Axf.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)若若記為記為時的極限時的極限當(dāng)當(dāng)是是則稱則稱.)( xxfAAxfx )(lim)()( 時時當(dāng)當(dāng)或或 xAxfxoyA A A1X2X:時的極限定義x ,()(是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù)上上定義在定義在設(shè)設(shè)Abxf.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)若若記為記為時的極限時的極限當(dāng)當(dāng)是是則稱則稱.)(xxfAAxfx )(lim)()( 時時當(dāng)當(dāng)或或xAxf結(jié)論：結(jié)論：AxfxfAxfxxx )(lim)(lim)(lim:時的極限定義x自變量趨

5、于無窮大時函數(shù)的極限舉例自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限舉例:. 0sinlim . 1 xxx證明證明例例例例2. 證明證明 1lim0 xx例例3. 證明證明 coslim0 xxx. 0sinlim . 1 xxx證證明明例例證明證明:,1sin0sinxxxxx , 0 ,0sin xx要要使使,1 x只只要要,1 x即即,1 X取取.0sin , xxXx有有時時當(dāng)當(dāng). 0sinlim xxx. 0coslim, 01lim , xxxxx同同樣樣可可證證實例分析實例分析 12)()1( xxfxoy2152. 自變量趨于自變量趨于有限值有限值時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限 5)(2xfx時時

6、當(dāng)當(dāng)24)()2(2 xxxfxoy24 4)(2xfx時時當(dāng)當(dāng))()()(00常數(shù)常數(shù)時時但不等于但不等于兩實例歸結(jié)為兩實例歸結(jié)為Axfxxx這這兩個兩個“趨于趨于”反映了反映了f(x)與與A和和x與與x0無限接近程度之間的聯(lián)無限接近程度之間的聯(lián)系系. ,)(,)(的的距距離離可可任任意意小小與與即即AxfAxf. )( ,來描述用引入任意小的正數(shù) Axf000 , ,xxxxxx但的距離可任意小與即. 0,0來描述用引入任意小的正數(shù)xx, )( 成立成立都有都有并非對所有的并非對所有的 Axfx. )( 00成立時才有而只有當(dāng)Axfxx, )( 0 xxAxf必須有必須有即要使即要使說明說

7、明 隨著隨著 的指定而確定，有時也記為的指定而確定，有時也記為 ( ).設(shè)設(shè)f(x)在在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，的某去心鄰域內(nèi)有定義，A是一個確定的常數(shù)是一個確定的常數(shù).,)(0, 0, 00成立成立時有時有當(dāng)當(dāng)若若 Axfxx記記為為的的極極限限時時是是當(dāng)當(dāng)則則稱稱.)(0 xfxxAAxfxx )(lim0)()( 0時時當(dāng)當(dāng)或或xxAxf注意注意: (1) 依賴于依賴于 ，但不是由，但不是由 唯一確定，唯一確定，.4,3,2等等也也可可以以則則取取可可以以如如取取 .)()2(0是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf定義定義)( 定義定義2 函數(shù)極限的精確定義函

8、數(shù)極限的精確定義,即即 ,)(00成成立立時時有有當(dāng)當(dāng) Axfxxoxy)(xfy A A A0 x 0 x 0 x.2,)(,0的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數(shù)數(shù)鄰鄰域域時時的的去去心心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 函數(shù)極限函數(shù)極限 的幾何解釋的幾何解釋 Axfxx )(lim0用定義驗證函數(shù)極限的步驟：用定義驗證函數(shù)極限的步驟：(1)通過計算或估計得通過計算或估計得 )()(0 xxgAxf 0的簡單函數(shù)式的簡單函數(shù)式是是xx ) (10 xx制不等式制不等式有時要事先給出某個限有時要事

9、先給出某個限,)( , 0)2( Axf要使要使,)(g 0 xx只要只要),( 0 xx解得解得 .),(min )( 1 或或取取.)(,0 0 Axfxx有有時時當(dāng)當(dāng)(3)得出結(jié)論得出結(jié)論.用定義驗證函數(shù)極限習(xí)例用定義驗證函數(shù)極限習(xí)例4-8例例4. 證明證明. 5)12(lim2 xx例例8. 證明證明 . 1coslim0 xx例例5. 證明證明 . 424lim22 xxx例例6.lim,0:000 xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)證明證明例例7. 證明證明 . 311lim31 xxx例例4. 證明證明 . 5)12(lim2 xx證明證明:,22512)( xxAxf, 0 ,)( Axf要

10、使要使,22 x只要只要,22 x即即 ,2 取取.512 ,20 xx有有當(dāng)當(dāng). 5)12(lim2 xx例例5. 證明證明 . 424lim22 xxx證明證明:,2424)(2 xxxAxf, 0 ,)( Axf要使要使,2 x只要只要 , 取取.424 , 20 2 xxx則有則有時時當(dāng)當(dāng). 424lim22 xxx盡管盡管f(x)在在x=2處沒有意義，但函數(shù)當(dāng)處沒有意義，但函數(shù)當(dāng)x2時極時極限存在與否與它無關(guān)限存在與否與它無關(guān).例例6.lim,0:000 xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)證明證明證明證明:,0 xx .20 , 000 xxxxx 即即不妨設(shè)不妨設(shè)000)(xxxxxxAxf ,

11、 0 ,)( Axf要使要使, 00 xxx只要只要, 00 xxx 即即 ,min 00 xx 取取. , 0 00 xxxx則有則有時時當(dāng)當(dāng).lim00 xxxx ,00 xxx 例例7. 證明證明 . 311lim31 xxx證明證明:, 1x. 1 20 , 11 xxx但但得得不妨設(shè)不妨設(shè)122311)(23 xxxxxxAxf141)2( xxx, 0 ,)( Axf要使要使,14 x只要只要,41 x即即 ,1 ,4min 取取.311 , 10 3 xxx則有則有時時當(dāng)當(dāng). 311lim31 xxx例例8. 證明證明 . 1coslim0 xx證明證明:,2422sin21co

12、s)(222xxxxAxf , 0 ,)( Axf要使要使,2 2 x只要只要,20 x即即 ,2 取取.1cos , 00 xx則有則有時時當(dāng)當(dāng). 1coslim0 xx函數(shù)單側(cè)極限的描述定義函數(shù)單側(cè)極限的描述定義 .)( 000限限時時函函數(shù)數(shù)的的極極限限稱稱為為左左極極趨趨于于的的左左側(cè)側(cè)從從xxxx )(lim)0( 00 xfxfxx 記記為為 .)( 000限限時時函函數(shù)數(shù)的的極極限限稱稱為為右右極極趨趨于于的的右右側(cè)側(cè)從從xxxx )(lim)0( 00 xfxfxx 記記為為函數(shù)單側(cè)極限精確定義函數(shù)單側(cè)極限精確定義.)(.)( , 0 , 0 )1(000的的左左極極限限當(dāng)當(dāng)為

13、為則則稱稱時時都都有有當(dāng)當(dāng)若若xxxfAAxfxxx .)(.)( , 0 , 0 )2(000的的右右極極限限當(dāng)當(dāng)為為則則稱稱時時都都有有當(dāng)當(dāng)若若xxxfAAxfxxx 函數(shù)單側(cè)極限函數(shù)單側(cè)極限注意注意:(1)左右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限左右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限. (2)通常在考慮區(qū)間端點的極限與分段函數(shù)分段點處的極限時通常在考慮區(qū)間端點的極限與分段函數(shù)分段點處的極限時碰到左右極限問題碰到左右極限問題. (3)對于區(qū)間的左端點只求右極限，右端點只求左極限對于區(qū)間的左端點只求右極限，右端點只求左極限. .)(lim)(lim)(lim)4(000AxfxfAxfxxxxxx 例例9 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 證明

14、極限證明極限 不存在不存在. 1,0,0,0,1,0.xxf xxxx 0limxf x證明證明: 容易證明當(dāng)容易證明當(dāng) 時，時， 的左極限的左極限0 x f x 00limlim11xxf xx 而右極限而右極限 00limlim11xxf xx所以，所以， 不存在不存在. 0limxf x可見可見 在在0處的左、右極限存在但不相等，處的左、右極限存在但不相等， f x定理定理1（唯一性）（唯一性） .,)(lim0則極限唯一則極限唯一存在存在若若xfxx定理定理2（局部有界性）（局部有界性） , 00,)(lim0 和和則則存在存在若若Mxfxx ,0 :),( 00 xxxxUx對對于于

15、一一切切 .)( Mxf 都有都有證明：證明： ,)(lim 0Axfxx 設(shè)設(shè) , 1 對于對于 , 1)( ,),(, 0 0 AxfxUx有有時時當(dāng)當(dāng) AAxfxf )()( 故故MAAAxf 1)(1. 函數(shù)極限的唯一性函數(shù)極限的唯一性 二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì)2. 函數(shù)極限的局部有界性函數(shù)極限的局部有界性 定理定理 3 （局部保號性）（局部保號性） 0, ),0 (0 ,)(lim0 則則或或且且若若AAAxf xx ).0)( 0()( xfxf或或有有, ),( 0時時當(dāng)當(dāng) xUx 證明：證明： 就就 A0 的情形加以證明的情形加以證明.,)(lim0Axfxx ,

16、A 則取則取 .)( ,),( 0 AxfxUx有有時時當(dāng)當(dāng),)( AxfA即即. 0)( xf. ,0AA 此時取此時取的情形的情形類似地可證類似地可證, 0 必必3. 函數(shù)極限的局部保號性函數(shù)極限的局部保號性 推論推論1（局部保號性）（局部保號性） ,)(lim ),0)( (0)( ),(00AxfxfxfxUxx 且且或或內(nèi)內(nèi)若若在在 ).0 (0 AA或或則則推論推論2（局部保序性）（局部保序性）. ),()( ),( 0, ,)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則當(dāng)當(dāng)若若設(shè)設(shè) 證明：證明： , BA 假假設(shè)設(shè).2 AB 取取,)(lim0Axfxx

17、 ,2)( ,),( 0,101ABAxfxUx 有有時時當(dāng)當(dāng) .2)(23 BAxfBA 即即,)(lim0Bxgxx ,2)( ,),( 0,202ABBxgxUx 有有時時當(dāng)當(dāng) .23)(2 ABxgBA 即即 ,min 21 取取),g(2BA)( ,),( 0 xxfxUx 有有時時當(dāng)當(dāng) 與與已知條件矛盾已知條件矛盾.BA 4. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理定理 4（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系） 證明證明: 如果極限如果極限 存在存在, 為為 函數(shù)的定義域內(nèi)任一收斂于函數(shù)的定義域內(nèi)任一收斂于 的的 0limxxfx nx f x0 x

18、數(shù)列數(shù)列, 且滿足且滿足 , 那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 必收斂必收斂, 0nxx nNnf x且且 . 0limlimnnxxf xf x設(shè)設(shè) ，則，則 ， ， 當(dāng)當(dāng) 時，時， 0limxxf xA0000 xx有有 . fxA又因又因 ,故對故對 , ,當(dāng)當(dāng) 時，有時，有 .0limnnxx0NNnN0nxx由假設(shè)由假設(shè) , 故當(dāng)故當(dāng) 時時, 從而從而 , 0nxxnNnN nf xA即即 .limnnf xA.)0()0()(lim)1(000AxfxfAxfxx 利用利用解解:)(lim)01 ( 1xffx )(lim)01( 1xffx . )(lim 0不不存存在在xfx).(lim,1 , 121 ,