1、Knight不確定環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)模型OPTION PRICING UNDER KNIGHTIAN UNCERTAINTY周娟1 韓立巖2 韓立巖，北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向：宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融投資學(xué)，通訊地址：北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，100083；周娟，北京航空航天大學(xué)管理科學(xué)與工程專(zhuān)業(yè)博士研究生，主要研究方向：金融資產(chǎn)定價(jià)理論；鄭承利，北京大學(xué)深圳研究生院博士后，主要研究方向：金融工程。 鄭承利3 摘要：傳統(tǒng)的金融學(xué)主要研究的是投資個(gè)體在風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中投資組合選擇和資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題。而knight不確定性與風(fēng)險(xiǎn)是有區(qū)別的。風(fēng)險(xiǎn)（risk）是概率分布唯一存在的、在

2、數(shù)量上可確定的、封閉和完備的那種不確定性，而Knight不確定性則是指不具有這些性質(zhì)的、易受“潛在意外”和新事物影響而經(jīng)常變化的不確定性，這種不確定性不能被單一概率所揭示。Ellsberg悖論指出Knight不確定性的存在確實(shí)會(huì)影響當(dāng)事人的選擇行為。Knight不確定環(huán)境下的基礎(chǔ)資產(chǎn)定價(jià)已經(jīng)取得重大突破(Epstein, 1994）。本文此基礎(chǔ)上提出Knight不確定環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)方法，為衍生金融工具的定價(jià)提供一條新思路。本文利用-模糊測(cè)度和Choquet積分來(lái)導(dǎo)出Knight不確定環(huán)境下歐式無(wú)紅利期權(quán)的價(jià)格表示。認(rèn)為在knight環(huán)境下期權(quán)的價(jià)格是一個(gè)區(qū)間而不是某個(gè)特定得值。該種方法在金融

3、經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的使用前景。關(guān)鍵詞：Knight不確定性，期權(quán)定價(jià)，-模糊測(cè)度，Choquet積分1. 引言主流的資產(chǎn)定價(jià)理論，包括被Cochrane(2001)認(rèn)為是金融資產(chǎn)定價(jià)的兩根“支柱”的均衡定價(jià)理論和套利定價(jià)理論，總是假定投資者不但清楚地知道未來(lái)可能出現(xiàn)哪些不確定性狀態(tài)，而且能夠?qū)ζ浒l(fā)生的概率做出估計(jì)這些估計(jì)至少在投資者看來(lái)是可靠的，他們正是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行選擇或決策。這種處理外部不確定環(huán)境的手法是從經(jīng)濟(jì)學(xué)那里承襲來(lái)的，新古典學(xué)派的理性經(jīng)濟(jì)人模型等經(jīng)濟(jì)學(xué)研究都普遍使用該方法。事實(shí)上，面對(duì)充滿了不確定因素的金融市場(chǎng)，這個(gè)假定是有局限性的。Knight(1921) 和Keynes(192

4、1) 在不同場(chǎng)景下對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和不確定性都作了相同的辨析，指出了可知的不確定性（風(fēng)險(xiǎn)）和不可知的不確定性（真正的不確定性）的本質(zhì)差異。其后的研究者常常將“真正”的不確定性稱(chēng)為“Knight不確定性（Knightian uncertainty）”或“不明確性（ambiguity）”，并在模型研究中將風(fēng)險(xiǎn)（risk）限定為概率分布唯一存在的、在數(shù)量上可確定的、封閉和完備的那種不確定性，而設(shè)定Knight不確定性為不具有這些性質(zhì)的、易受“潛在意外”和新事物影響而經(jīng)常變化的不確定性。Knight不確定性的本質(zhì)并非“未知”而是不可知，處理未知可以使用貝葉斯方法，而處理不可知?jiǎng)t需要完全不同的方法。Ellsbe

5、rg(1961) 基于實(shí)驗(yàn)提出了著名的Ellsberg悖論，指出Knight不確定性的存在確實(shí)會(huì)影響當(dāng)事人的選擇行為，這種行為無(wú)法用單一概率測(cè)度的觀點(diǎn)加以解釋。因?yàn)檫@里的概率測(cè)度不但違背了著名的Von Neumann-Morgenstern公理系統(tǒng)，甚至違背Savage(1954) 提出的主觀概率存在的公理體系，而這些體系是主流經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)討論風(fēng)險(xiǎn)決策時(shí)所必須遵循的基本原則。由Ellsberg悖論引發(fā)了大量實(shí)證研究，其中既有基于實(shí)驗(yàn)的也有基于市場(chǎng)的，這些內(nèi)容在Camerer and Weber(1992)中有很好的綜述。由于利息過(guò)程和紅利過(guò)程都面臨Knight不確定性（Papamarcou

6、and Fine(1991)、Barsky and Delong(1992)），因此資產(chǎn)定價(jià)研究也需要考慮Knight不確定性。通過(guò)研究Knight不確定性，金融市場(chǎng)一些現(xiàn)存的“謎”，例如價(jià)格突變、資產(chǎn)收益率的超額波動(dòng)性、經(jīng)紀(jì)商的買(mǎi)賣(mài)差價(jià)、期權(quán)平價(jià)公式的背離以及投資組合慣性等，都能得到較好地解釋?zhuān)˙asili(2001)）。Miao and Wang(2004) 甚至發(fā)現(xiàn)Knight不確定性會(huì)影響美式期權(quán)執(zhí)行時(shí)間的決定。Epstein and Wang(1994) 將Lucas無(wú)限期經(jīng)濟(jì)人代表模型擴(kuò)展到Knight不確定環(huán)境下，討論了證券的均衡定價(jià)問(wèn)題。其中經(jīng)濟(jì)人代表的信念被描述成一個(gè)概率測(cè)度

7、集合，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出連續(xù)均衡價(jià)格過(guò)程，發(fā)現(xiàn)均衡價(jià)格有不唯一的可能性，證明了同時(shí)存在的多個(gè)均衡價(jià)格必然分布在同一個(gè)連通閉集內(nèi)的結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上很好地解釋了超額波動(dòng)現(xiàn)象。 Epstein and Wang(1995) 進(jìn)一步放寬了上述條件，允許不連續(xù)均衡價(jià)格在一定范圍內(nèi)存在，解釋了外界條件沒(méi)有發(fā)生顯著變化時(shí)證券價(jià)格也可能發(fā)生突變的奇異現(xiàn)象。Epstein and Chen(2002) 還將上述模型擴(kuò)展到連續(xù)時(shí)間場(chǎng)合，同樣得到了類(lèi)似的結(jié)論。 文獻(xiàn)調(diào)研表明，資產(chǎn)定價(jià)研究中的Knight不確定性已經(jīng)為越來(lái)越多的研究者所重視，在基礎(chǔ)資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域已經(jīng)取得突破，衍生資產(chǎn)定價(jià)研究的大門(mén)也正在開(kāi)啟。盡管已經(jīng)出

8、現(xiàn)了一些觸及Knight環(huán)境下衍生產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題的研究，例如Mceneaney(1997) 用穩(wěn)健性控制方法給完全市場(chǎng)中只考慮風(fēng)險(xiǎn)的環(huán)境下的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，得出了與傳統(tǒng)的B-S公式相一致的結(jié)果；鄭承利(2003) 采用基于非可加測(cè)度的模糊期權(quán)定價(jià)方法對(duì)市政債券發(fā)債規(guī)?？刂七M(jìn)行了實(shí)證研究；Miao and Wang(2004)關(guān)于Knight不確定性對(duì)美式期權(quán)執(zhí)行時(shí)間決定的影響的理論研究等，但是都尚未深入。然而在一個(gè)完整的資產(chǎn)定價(jià)體系中，衍生產(chǎn)品定價(jià)是不可或缺的基本組成部分，所以有必要系統(tǒng)地研究Knight不確定性環(huán)境下期權(quán)定價(jià)的理論和方法。本文旨在提出一種基于Knight不確定環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)方法

9、。2. 用-模糊測(cè)度表征Knight不確定性環(huán)境下投資者個(gè)體的信念用來(lái)描述Knight不確定性下的個(gè)體信念迄今為止有兩種方法，其一是以Epstein and Wang(1994，1995)為代表的多先驗(yàn)概率模型。個(gè)體的期望效用表示為。未來(lái)的不明確性用一族概率測(cè)度來(lái)表述，P()就是這樣的一個(gè)概率測(cè)度族。它表示如果現(xiàn)在的狀態(tài)是，則P()包含了將來(lái)出現(xiàn)各個(gè)狀態(tài)的概率的所有可能值m。值得注意的是P()中的元素m是一個(gè)定義在(,)上的概率測(cè)度，而不是某個(gè)特殊狀態(tài)的概率值。它實(shí)際上是選取得所有概率測(cè)度下的最小的期望值。另一種表達(dá)信念的方法是以Chateauneuf(1991)等為代表的用一個(gè)非可加測(cè)度（容

10、度）和基于非可加測(cè)度的Choquet積分來(lái)表征個(gè)體的效用評(píng)價(jià)，并且指出了在滿足某些條件的前提下，兩種方式是等價(jià)的。本文遵循著后一種方法，即用一個(gè)非可加測(cè)度來(lái)表征個(gè)體效用。在這里我們使用一種特殊的非可加測(cè)度，即-模糊測(cè)度來(lái)表示Knight不確定環(huán)境下的投資人信念。令為自然狀態(tài)空間，為的子集所構(gòu)成的-代數(shù)。定義1：一個(gè)定義在上的實(shí)值集函數(shù)是一個(gè)容度，如果它滿足：(a) (Ø)=0，()=1(b) 單調(diào)性，即"A、BÎ，若AÌB，則(A)(B)。進(jìn)一步地，若還滿足"A、BÎ，有(AÈB)+ (AÇB)³(A)+

11、(B)，則稱(chēng)是凸容度；若(AÈB)+ (AÇB) (A)+(B)，則稱(chēng)是凹容度。顯然容度不滿足可加性。定義2：對(duì)于任意非負(fù)隨機(jī)變量f: R+，f關(guān)于的 Choquet積分定義為：。定義3 (Wang and Kilr, 1992)：: 0, 是一個(gè)上的-模糊測(cè)度當(dāng)且僅當(dāng)：(a) 它滿足-規(guī)則，即存在使得，其中對(duì)于中的不交序列En 有。(b) 至少存在一個(gè)集合E有(E)<。若還滿足()=1，則稱(chēng)是一個(gè)正規(guī)的-模糊測(cè)度。定義4：扭曲函數(shù)是一個(gè)定義在0, 1上的連續(xù)的嚴(yán)格單調(diào)遞增映射，且滿足(0)=0，(1)=1。設(shè)P是(,)上的一個(gè)概率測(cè)度，則=P是一個(gè)容度，并且若是一個(gè)

12、凸函數(shù)，則是一個(gè)凸容度；若是一個(gè)凹函數(shù)，則是一個(gè)凹容度。本文中我們使用Wang and Kilr(1992)中給出的扭曲函數(shù)來(lái)構(gòu)建一個(gè)正規(guī)的-模糊測(cè)度，即：. (1)易知，在（1）式的扭曲函數(shù)下，=P是一個(gè)正規(guī)的-模糊測(cè)度，當(dāng)然也是一個(gè)容度。同時(shí)，當(dāng)0時(shí)，概率測(cè)度與-模糊測(cè)度之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。若是一個(gè)上的-模糊測(cè)度，則P=log1+(1+)是一個(gè)上的概率測(cè)度；反之，若P是一個(gè)上的概率測(cè)度，則是上的-模糊測(cè)度(Zhang and Ye, 1997)。當(dāng)>0時(shí)，是一個(gè)凹函數(shù)，因此是一個(gè)凹容度，它滿足超可加性；當(dāng)<0時(shí)，是一個(gè)凸函數(shù)，因此是一個(gè)凸容度，它滿足次可加性。這里我們給出-模

13、糊測(cè)度和Choquet積分的經(jīng)濟(jì)解釋。使用扭曲函數(shù)來(lái)構(gòu)建-模糊測(cè)度需要依賴(lài)于一個(gè)被扭曲的概率測(cè)度P，我們可以把它看作是事件發(fā)生的客觀概率。在投資者個(gè)體不能清楚地知道這個(gè)客觀概率時(shí)，個(gè)體只能選擇一個(gè)非可加測(cè)度來(lái)替代這個(gè)概率測(cè)度。因此只要0，就意味著經(jīng)濟(jì)行為人面臨Knight不確定性。對(duì)于投資者個(gè)體來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是一個(gè)外生給定的量，因?yàn)樗从沉藗€(gè)體所能夠捕獲到的市場(chǎng)信息，這個(gè)信息量的大小一般說(shuō)來(lái)不會(huì)受到個(gè)體本身的影響。換句話說(shuō)，個(gè)體所能得到的信息量是客觀的。然而對(duì)于信息的加工和處理過(guò)程最終并形成個(gè)體的信念，對(duì)未來(lái)狀態(tài)發(fā)生概率的估計(jì)，是屬于個(gè)體自身的因素，具有主觀性。當(dāng)>0時(shí)，個(gè)體表現(xiàn)出對(duì)Knig

14、ht不確定性的厭惡態(tài)度，并且隨著值的增大，采用一種超可加測(cè)度的信息處理方式，經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來(lái)越悲觀的心態(tài)；而當(dāng)<0時(shí)，個(gè)體表現(xiàn)出對(duì)Knight不確定性的喜好態(tài)度，并且隨著值的減小，個(gè)體采用一種次可加測(cè)度的信息處理方式，經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來(lái)越樂(lè)觀的心態(tài)（關(guān)于不確定性厭惡和不確定性喜好的概念，請(qǐng)參閱Chateauneuf(1991)）。同時(shí)，投資人個(gè)體的值并不是一成不變的，會(huì)受到整個(gè)市場(chǎng)的影響：當(dāng)市場(chǎng)繁榮時(shí)，個(gè)體的態(tài)度會(huì)趨于樂(lè)觀，值會(huì)逐漸減?。划?dāng)市場(chǎng)蕭條時(shí)，個(gè)體的態(tài)度會(huì)趨于悲觀，值會(huì)逐漸變大。于是，事實(shí)上可以成為反映市場(chǎng)的心理指數(shù)。3. 歐式無(wú)紅利股票期權(quán)價(jià)格的導(dǎo)出本節(jié)我們導(dǎo)出Knigh

15、t不確定環(huán)境下的歐式無(wú)紅利股票期權(quán)的定價(jià)公式。假設(shè)在一個(gè)兩期經(jīng)濟(jì)中，市場(chǎng)上只存在一個(gè)經(jīng)濟(jì)代表人。歐式無(wú)紅利股票看漲期權(quán)的期末支付為CT=maxST-K, 0，其中ST是期權(quán)到期時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，K是期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，假設(shè)T是到期時(shí)間，rf是0, T時(shí)間內(nèi)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率， EQ·是等價(jià)鞅測(cè)度Q下的期望。則看漲期權(quán)的價(jià)格為（Cochrance, 2001）：。 （2）為了解決Knight不確定環(huán)境下期權(quán)的定價(jià)方法，本文用l-模糊測(cè)度和Choquet期望分別去替代概率測(cè)度和風(fēng)險(xiǎn)中性概率下的期望。于是（2）式被改寫(xiě)為：， （3）其中，這里Q是風(fēng)險(xiǎn)中性概率，它是某個(gè)客觀概率的等價(jià)鞅概率，若經(jīng)濟(jì)代表

16、人的信息是清晰明確的，則=0；如果考慮Knight不明確性，則這個(gè)客觀概率被扭曲，用一個(gè)相應(yīng)的非可加測(cè)度來(lái)描述。CE·表示關(guān)于容度的Choquet期望。我們利用對(duì)偶測(cè)度構(gòu)建模糊價(jià)格區(qū)間，即，其中，AÎ，AC=-A。顯然，若是上的-模糊測(cè)度，則是上的*-模糊測(cè)度，被稱(chēng)為l的對(duì)偶參數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，表示經(jīng)濟(jì)代理人能夠準(zhǔn)確的用一個(gè)概率來(lái)描述未來(lái)狀態(tài)的發(fā)生。偏離0越遠(yuǎn)，信息越不明確，因而代理經(jīng)濟(jì)人越不能確定期權(quán)的具體價(jià)格。對(duì)于一個(gè)給定的l-模糊測(cè)度和它的對(duì)偶測(cè)度，Knight不明確性下的期權(quán)價(jià)格區(qū)間為： ，其中；以及 。（1）若在1期，股票價(jià)格有兩個(gè)狀態(tài)，即uS、dS，為避免退化的情況

17、，u<1+rf<d。對(duì)于看漲期權(quán)， （5） （6）于是，當(dāng)0時(shí)，c, c*構(gòu)成一個(gè)期權(quán)的價(jià)格區(qū)間。同樣地，對(duì)于看跌期權(quán)有：這與Epstein(1994)中所指出的，在Knight不確定環(huán)境下，金融資產(chǎn)的均衡價(jià)格是一個(gè)區(qū)間而不是一個(gè)確定的值，在思路上是一致的。當(dāng)期末標(biāo)的資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布時(shí)，情況會(huì)變得復(fù)雜些，下面我們簡(jiǎn)單的進(jìn)行一下討論。（2）若在期末，股票收益率服從正態(tài)分布，易知風(fēng)險(xiǎn)中性概率Q也是正態(tài)分布的，則 （7） （8）其中，N·表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的累積概率分布函數(shù)。上式中若=0，結(jié)果則與Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式一致。這說(shuō)明，B-S公式?jīng)]有考慮信息的不明

18、確性對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的影響。 同理可得看跌期權(quán)的定價(jià)公式：；，其中。圖1：歐式期權(quán)價(jià)值隨變化圖圖1指出歐式期權(quán)隨的值變化而使得交易區(qū)間不斷增大。這意味著當(dāng)投資人個(gè)體的信息越來(lái)越模糊時(shí)，期權(quán)的均衡價(jià)格范圍也越來(lái)越大。值得指出的是，鄭承利(2003)中也提出了異質(zhì)經(jīng)濟(jì)人環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)方法，其中也用到了-模糊測(cè)度，雖然推導(dǎo)過(guò)程相似，但經(jīng)濟(jì)原理顯然不同。在鄭承利(2003)中所考慮的是異質(zhì)經(jīng)濟(jì)行為人對(duì)市場(chǎng)信息不同的處理方式最終導(dǎo)致不同的均衡價(jià)格，而其本質(zhì)上還是在風(fēng)險(xiǎn)的環(huán)境下考慮期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。本文是在經(jīng)濟(jì)代表人面臨Knight不確定環(huán)境的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的研究。從研究對(duì)象上來(lái)說(shuō)，經(jīng)濟(jì)環(huán)境不一樣，經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)也不同。

19、因此這個(gè)結(jié)果所表示的經(jīng)濟(jì)含義也截然不同。雖然兩者最后都?xì)w到一個(gè)價(jià)格區(qū)間，然而鄭承利(2003)中的價(jià)格區(qū)間所反映的是經(jīng)濟(jì)人由于對(duì)市場(chǎng)的看法不同故價(jià)格會(huì)受到經(jīng)濟(jì)人行為的影響，在這種情況下要解釋均衡是比較困難的。本文是代表經(jīng)濟(jì)人模型，均衡的問(wèn)題比較容易處理，同時(shí)均衡價(jià)格在一個(gè)區(qū)間內(nèi)則是因?yàn)榇砣怂莆盏男畔⒔Y(jié)構(gòu)不完全所導(dǎo)致。5. 結(jié)論風(fēng)險(xiǎn)和Knight不確定性（有時(shí)也稱(chēng)不明確性（ambiguity）有本質(zhì)差異。通常風(fēng)險(xiǎn)（risk）可以被唯一的概率測(cè)度所描述，而在Knight不確定性情況下，投資者對(duì)未來(lái)的主觀評(píng)估不能用唯一的概率來(lái)表示。通常是用一族概率測(cè)度或某個(gè)非可加概率來(lái)表示。本文我們使用-模糊測(cè)

20、度和Choquet積分來(lái)表達(dá)經(jīng)濟(jì)行為人的信念。并且指出，當(dāng)0，意味著經(jīng)濟(jì)行為人面臨Knight不確定性。當(dāng)>0時(shí)，個(gè)體表現(xiàn)出對(duì)Knight不確定性的厭惡態(tài)度，并且隨著值的增大，經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來(lái)越悲觀的心態(tài)；而當(dāng)<0時(shí)，個(gè)體表現(xiàn)出對(duì)Knight不確定性的喜好態(tài)度，并且隨著值的減小，經(jīng)濟(jì)行為人表現(xiàn)出越來(lái)越樂(lè)觀的心態(tài)。基于-模糊測(cè)度和Choquet積分，我們證明了Knight不確定環(huán)境下，無(wú)紅利歐式期權(quán)的均衡價(jià)格是一個(gè)區(qū)間而不是一個(gè)確定的值，這將為Knight不確定環(huán)境下衍生資產(chǎn)定價(jià)的進(jìn)一步研究提供一些思路。參考文獻(xiàn):1 Barsky, R. B., and J. B. Delong

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