1、2018-2019學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題an1 .已知an、bn都是公差不為0的等差數(shù)列，且11m h = 2 , Sn =a +a2 + an, f : bn2S則lim 的值為（）n-'' nb2nA. 2B. -1C. 1D.不存在【答案】Can 八一.2Sn【解析】首先根據(jù) 四,丁 =2求出數(shù)列4、>公差之間的關(guān)系，再代入Im n j bnn j nb2n即可?！驹斀狻恳驗镼n）和如都是公差不為零的等差數(shù)列，所以設(shè) bn =bin -1 di?an = ain -1 d2第18頁共16頁anan -1 d1故 lim 上=1而-=

2、2 ,可得 d1 =2d2n 二 bnn :b1n -1 d2又因為 a1 +a2 +| +an =na1 +nn空1 和 b2n = bi +(2n-1 )d1代入2n(n -1 Jd1d12d22S同十2一則 1im-n-=1im 2 M2nfnb2n n+nb1 +n(2n1 )d2故選：C.【點睛】本題主要考查了極限的問題以及等差數(shù)列的通項屬于基礎(chǔ)題。2.設(shè)an是公比為q（0 <|q <1）的無窮等比數(shù)列，若an的前四項之和等于第五項起以后所有項之和，則數(shù)列 a2n4是（）1,一A .公比為一的等比數(shù)列2B.公比為Y2的等比數(shù)列2c.公比為Y2或_Y2的等比數(shù)列 22D.公

3、比為41=或一上的等比數(shù)列：.2：2【答案】B【解析】根據(jù)題意可得 Sn =2S4,帶入等比數(shù)列前n和即可解決?！驹斀狻?a1(1-q 變形可得1 - q根據(jù)題意，若an的前四項之和等于第五項起以后所有項之和,又由Qn是公比為q(0< q <1 )的無窮等比數(shù)列，則41 一 1q =彳，則 q = -7/r，2. 2數(shù)列、20，為Qn的奇數(shù)項組成的數(shù)列，則數(shù)列 a2n為公比為q2：2的等比數(shù)2列；故選：B.【點睛】本題主要考查了利用等比數(shù)列前n項和計算公比，屬于基礎(chǔ)題。冗冗冗3.函數(shù)y =sin(2x+5)(0(邛 <一)圖象的一條對稱軸在(一,一)內(nèi)，則滿足此條件的 26

4、3一個中值為()5 二A,石B 9D.【答案】A fn n ) 【解析】求出函數(shù)的對稱軸方程，使得滿足在.一,一內(nèi)，解不等式即可求出滿足此條6 3件的一個。值.【詳解】解：函數(shù)y = sin（2x+）p<<（圖象的對稱軸方程為：x號函數(shù) y =sin 2x+中00<5（二I,圖象的一條對稱軸在2JIJT 中冗(j)=12k 二“，-r,所以一<十一一一 < 一當(dāng) k= 0時62423故選：A.【點睛】 本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，不等式的解法，考查計算能力，能夠充分利 用基本函數(shù)的性質(zhì)解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提.4 .若數(shù)列 an的前n項和為Sn ,則下列命題

5、：（1 ）若數(shù)列 an是遞增數(shù)列，則數(shù)列Sn也是遞增數(shù)列；（2）數(shù)列Sn是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列 an的各項均為正數(shù)；（3）若2門是等差數(shù)列（公差d =0 ）,則Si S2III Sk = 0的充要條件是a1 2ak=0; （4）若6口是等比數(shù)列，則S AIIISk =0（k之2,k w N）的充要條件是街+an書=0 .其中，正確命題的個數(shù)是（）A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個【答案】B【解析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，數(shù)列的前n項和的意義，通過舉反例可得（1）、（2）、（3）不正確.經(jīng)過檢驗，只有（4）正確，從而得出結(jié)論.【詳解】解：數(shù)列an的前n項和為Sn,故 Sn=

6、 a + 32+a3+an,若數(shù)列an是遞增數(shù)列，則數(shù)列Sn不一定是遞增數(shù)列，如當(dāng) an<0時，數(shù)列 Sn是遞 減數(shù)列，故（1）不正確.由數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，不能推出數(shù)列 an的各項均為正數(shù)，如數(shù)列：0, 1, 2, 3,， 滿足&是遞增數(shù)列，但不滿足數(shù)列 an的各項均為正數(shù)，故（2）不正確.若an是等差數(shù)列（公差 dw。，則由S1?S2&=0不能推出a1?a2ak=0,例如數(shù)列：-3, -1,1, 3,滿足S4=0,但a1?a2&3?a4WQ故（3）不正確.若an是等比數(shù)列，則由 S1?S2 - Sk= 0 （k斗kCN）可得數(shù)列的an公比為-1,故有 an+a

7、n+1 = 0.由an+an+1 = 0可得數(shù)列的an公比為-1,可得S1?S2 - Sk= 0 （k" 代N）,故（4）正確.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，數(shù)列的前n項和的意義，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題.二、填空題5.方程cosx = sin 的解為x=.6【答案】2k二(k z) 3【解析】計算出sin上的值，再轉(zhuǎn)化在.|0,-1 對應(yīng)的余弦值，結(jié)合周期性質(zhì)，即可解決?！驹斀狻恳?,、一一.冗Hf 冗、因為方程 cosx =sin =cos = cos 一一 |633 '所以 x =2kn ±

8、(k z z), 3故答案為：2kn 土工(kz).3【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及三角函數(shù)的周期性。 常用三角函數(shù)值需記憶。6.設(shè)an為等差數(shù)列，若 a +a5 +氣=n，則a2 +a8 =.八 2二【答案】3【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)： 在等差數(shù)列中若 m + n = p+q則am+an=ap+aq即可【詳解】* a1 a5 ag = = 3a5冗a5 一 3八 2二a2 a8 - 2a5 -3，.2 二故答案為：3【點睛】本題主要考查的等差數(shù)列的性質(zhì)：若m + n=p+q則am+an=ap+aq,這一性質(zhì)是?？嫉闹R點，屬于基礎(chǔ)題。7.求值:sin2 2)1jarccoS

9、 I I 3人【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2 a +cos2 a =1,以及反三角函數(shù)即可解決。由題意sinarccos -2 ,31 -cos2，arccos -21=-._. 33故答案為:,53本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，同角角三角函數(shù)基本關(guān)系主要有.22 , sin a 一sin a +cos a =1,tan a =.屬于基礎(chǔ)題。cos a8.函數(shù) y =arccossinx ),【解析】首先根據(jù) x的范圍求出sin x的范圍，從而求出值域?！驹斀狻恳欢? 二3當(dāng) 一一 <x< 時，<sinxW1,332由于反余弦函數(shù)是定義域-1,1上的減函

10、數(shù),口/由、5nd n且 arccos =，arccos1 =0I 2 J 6所以值域為故答案為:本題主要考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法:首先求出內(nèi)函數(shù)的值域再求外函數(shù)的值域。屬于基礎(chǔ)題。9.設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn,若1*2an 書=0(nw N ),則an的通項公式為n =1n _2【解析】已知Sn求an ,通常分anS,n=1=S -S,n進行求解即可。,2an 4=3ai .1n 之 2時，an = SSn=2an 書1n =1時，-1 =a1 =一 a2,解得a2 = -2 .不滿足上式. 2數(shù)列& 在n22時成等比數(shù)列.n 之2時，an =2父3»_-11an = -2

11、 3Tn =1ns -2故答案為：ann =1n -2本題主要考查了數(shù)列通項式的求法:求數(shù)列通項式常用的方法有累加法、定義法、配湊法、累乘法等。10.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式由1=卜”變到% =卜+1”時，左邊增加了1 n _* ,+ - >-(n>2,n= N )的過程中,一項.【解析】分析題意，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明方法得到n = k + 1時，不等式左邊的表示式是解答該題的突破口，當(dāng) n = k +1時，左邊11=1 1 1 .2 3到結(jié)果.111 1+ ( +一，由此將其對n = k時的式子進行對比，得2k -1 2k2k 1 -1當(dāng)n = k時，左邊111=1 +- +-

12、+! k ,2 32 -1,.，11當(dāng)n =k +1時，左邊=1 + +-+2 32k -1 2+ + k 2k4 _1 '觀察可知，增加的項數(shù)是2k 1 -1 _(2k _1) = 2k1 -2k = 2k ,故答案是2k.【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)學(xué)歸納法的問題，在解題的過程中，需要明確式子的形式，正確理解對應(yīng)式子中的量，認真分析，明確哪些項是添的，得到結(jié)果11.若f（x）=2sinx1在區(qū)間la,b（ a, b= R且a<b）上至少含有30個零點，則b -a的最小值為86【答案】86二3【解析】首先求出f （x并£ b,n】上的兩個零點，再根據(jù)周期性算出至少含有

13、30個零點時a b的值即可1二5 二根據(jù) f (x )=2sinx -1=0,即 sinx =-,故 x = 25 + ，或 x = 2依 +, 266f (x ) = 2sinx -1 在區(qū)間 b,b 1 (a,bwR且a <b)上至少含有30個零點,5 二，不妨假設(shè)a=（此時，k=0）,則此時b的最小值為28冗+，（此時，k=14）,665 二b a的取小值為28K + 二 86 二故答案為：86二3本題函數(shù)零點個數(shù)的判斷,解決此類問題通常結(jié)合周期、函數(shù)圖形進行解決。屬于難題。12.設(shè)數(shù)列an的通項公式為ann1?<n<3 I1 1 ：n-2，n 3,貝u nim(ai

14、+a2 +川+ an 尸【答案】14524【解析】根據(jù)數(shù)列的通項式求出前n項和，再極限的思想即可解決此題。n,1<n<3數(shù)列Qn 的通項公式為an = 1 1 'I 2J貝U a1 »a2| ' an =1 . 2 -3 -/ J匯，44-21611224nI 2,則答案 lim (a1 +a2 +|+an )=lim 6 n»Cn n_ac .1 d1-12414524145故為：24【點睛】本題主要考查了給出數(shù)列的通項式求前n項和以及極限。求數(shù)列的前n常用的方法有錯位相減、分組求和、列項相消等。本題主要利用了分組求和的方法。13.已知數(shù)列an

15、中，其前n項和為Sn, an【答案】377【解析】本題主要考查了已知數(shù)列的通項式求前n和，根據(jù)題目分奇數(shù)項和偶數(shù)項直接求S9即可?！驹斀狻?n，n為正奇數(shù)an =4.，、2n-1, n為正偶數(shù)貝U S9 = 1 4 16 64 2563 7 11 1551-4=+36=341 +36 = 377 1 -4故答案為：377 .【點睛】本題主要考查了給出數(shù)列的通項式求前n項和以及極限。求數(shù)列的前n常用的方法有錯位相減、分組求和、裂項相消等。本題主要利用了分組求和的方法。屬于基礎(chǔ)題。14.對于正項數(shù)列an,定義Hnna1 2a2 3a3nan為2口的光陰”值，現(xiàn)知2某數(shù)列的 光陰”值為Hn =，則數(shù)

16、列an的通項公式為n 2an2n 12n【解析】根據(jù)Hn的定義把Hn帶入Hn即可。 Hna1 - 2a2 , 3a3 11| nana1 2a2 nann n 2a1 +2a2 + nan =2n -1 n 1 ai +2a2 +|M +(n -1 戶口二=2-得 na =n（n+2）Jn-Hn+1）2n1 n2222n 1一 an = -2n故答案為：an2n【點睛】本題主要考查了新定義題，解新定義題首先需要讀懂新定義，其次再根據(jù)題目的條件帶入新定義即可，屬于中等題。15. |_ABC 中，sin2A <sin2B +sin2C -sinBsinC ,則 A 的取值范圍為 .【答案】0

17、,-,3b?2 _ 2余弦定理推論可求 cos A = b一±二a-2bc【解析】由正弦定理將sin2Aw sinB + sin C sin Bsin C 變?yōu)閎c Wb2 +c2 a2 ,然后用1、一一，>進而根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可求得角A2的取值范圍?！驹斀狻?因為 sin2Aw si2B+sin2C sin Bsin C,所以 a2 w b2+c2 bc ,即 bcMb2+c2-a2。2 .22b c -a 1所以cos A =之一,2bc 2因為A亡（0,町，所以A氣0二。 3【點睛】在三角形中，已知邊和角或邊、角關(guān)系，求角或邊時，注意正弦、余弦定理的運用。條ab件只

18、有角的正弦時，可用正弦定理的推論sin A =,sin B =，將角化為邊。2R2R16.關(guān)于x的方程x2 4 arctancosx)+n a2 =0只有一個實數(shù)根，則實數(shù)a=【答案】【解析】首先從方程看是不能直接解出這個方程的根的，因此可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)，從函數(shù)的奇偶性出發(fā)?！驹斀狻?2 一設(shè) f (x )=x 4arctan(cos( )+n a ,貝U2222f -x - -x -4arctan cos -x)廣 a = x -4arctan cosx a = f xf (x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 y軸對稱,又依題意f (x )只有一個零點，故此零點只能是x = 0,2所以 04arctan

19、(cos0)+n a =0,2 一一Tarctanl 十幾 a =0 ,.二2 八._4><_ + n 丑=0, 4a2 =1,，a = ±1 ,故答案為：1【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性以及零點與方程的關(guān)系，方程的根就是對應(yīng)函數(shù)的零點，本題屬于基礎(chǔ)題。3 一 一 -. 2014-17 .等差數(shù)列an前 n項和為 Sn,已知(a2 2) +2013(a2-2 )= sin,3-32015二八何2013 2 ) +2013(a2013 -2 )=cos,貝U S2014 =.62014 二【答案】4028_ 3【解析】首先根據(jù)a2 -22013 a2 -2 = sin一

20、32015二(a2013 2 ) +2013(a2013 2 )= cos 即可求出 a2 和 a2013 , 從而求出 S2014。6(a2 2 j +2013(a2 2 )=sin 2014' =3 , 323a20i3 -22013 22013 - 2 = cos2015 二+得,33(a2 -2 )十2013(a2 -2 )+(a2013 -2 )十2013(a2013 -2)=0 ,即22a2- 2a2013- 2 ) I：a2- 2-a2- 2a2013 - 2 廠 1a2013 - 22013 a2 -2 a20132):0a22 *22013 2=0,即 a2 +a20

21、13 =4 ,.o aa20142014一 S2014 -= 1007 x(a2 +22013 )=4028,故答案為：4028.本題主要考查了解方程，以及等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和。其中等差數(shù)列的性質(zhì):若3a24 二二；8數(shù)列a1, a2 +aa-+a8+a9+a10,是等比數(shù)列；數(shù)列a1，a2 + a3,m+n = p+q則am+an =ap+aq比較常考，需理解掌握。118 .數(shù)列an的前n項和為Sn,若數(shù)列an的各項按如下規(guī)律排列：一2n -1», 一，一，有如下運算和結(jié)論:na4 *a5 *a6, a- +a8 +a9 +a10,n2 n ，的前n項和為Tn=nn；若存在正整

22、數(shù)k,使45.（將你認為正確的結(jié)論序Sk <10 , Sk+ >10 ,則ak =-.其中正確的結(jié)論是號都填上） 【答案】 【解析】根據(jù)題中所給的條件，將數(shù)列的項逐個寫出，可以求得 項求出，可以發(fā)現(xiàn)其為等差數(shù)列， 故不是等比數(shù)列，利用求和公式求得結(jié)果， 結(jié)合條件, 去挖掘條件，最后得到正確的結(jié)果- 1 1 2 1 2 31 2 33對于，前24項構(gòu)成的數(shù)列是，_,_,_, ,3_ ,_,_,3 所以a24故正確;2 3 3 4 4 48 8 88對于，數(shù)列a1，a? +a3, ad+a5 +a6, a? +a8 +a§ +a1o， 是一，1, ,2,，可知其為等24差數(shù)列

23、，不是等比數(shù)列，故 不正確;1、一對于 ，由上邊結(jié)i匕可知 a1，a2 + a3, ad+ a5 + a6, a7 + a8 + a9 + aio,-是以一為首項,21 一.n2 n以一為公比的等比數(shù)列，所以有 Tn =-一n ,故正確;24對于，由知& <lO,Sk+>lO,即上上<10,小*1) *+10,解得k = 7,55且a7 = 7 ,故正確;故答案是.【點睛】 該題考查的是有關(guān)數(shù)列的性質(zhì)以及對應(yīng)量的運算，解題的思想是觀察數(shù)列的通項公式, 理解項與和的關(guān)系，認真分析，仔細求解，從而求得結(jié)果 三、解答題19 .已知函數(shù)f (x )=x2+(2n )x2n的圖

24、象與x軸正半軸的交點為 A(an，0),n =1,2,31一(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn =3an +(-1)n,九2 an ( n為正整數(shù))，問是否存在非零整數(shù) 九，使得對任意 正整數(shù)n ,都有bn+ >bn ?若存在，求出九的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1) an =n；存在，1.【解析】(1)把點A帶入f (x ) = x2 +(2 n )x 2n即可(2)根據(jù)(1)的QJ計算出bn、bn由，再解不等式即可【詳解】2(1)設(shè) f(x)=0, x +(2n )x2n = 0得 x, =-2 , x2 = n .所以an =n ；n -4(2) bn=3n+(1)

25、4 2n，若存在九#0,滿足bn+ Abn恒成立n1 . nn1 n )nn當(dāng)n為奇數(shù)時,即：3+(1 j 2 23 +(1)九 2 ),二 ： 1當(dāng)n為偶數(shù)時,f3 P-(12 J .3所以3九1 ,2故：, =-1 .【點睛】 本題考查了數(shù)列通項的求法，以及不等式恒成立的問題，不等式恒成立是一個難點，也 是高考中的常考點，本題屬于較難的題。20.已知函數(shù) f (x) =273sin xcosx+3sin2 x+cos2x-2 , x= R .(1 )求函數(shù)f ( x )在(0, H)上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在 ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別是 a,b,c,若f (A)=2, C =

26、一, 4c = 2 ,求AABC的面積S abc的值.【答案】(1) i0,生產(chǎn))；(2) 31Y3.I 3j 16)2【解析】(1)首先把f (x )化成f (x)= Asin(wx+中)的型式，再根據(jù)三角函的單調(diào)性即可解決(2)根據(jù)(1)結(jié)果把f (A )=2代入可得a的大小，從而計算出 B的大小，根據(jù)正弦定理以及面積公式即可解決?！驹斀狻?1)因為 f x =2、3sinxcosx 3sin2x cos2x-2-.3sin2x 2sin2x -1=3sin2x -cos2x( 國= 2sin . 2x 一一 ,6t 冗c 兀 兀由一一 +2kn <2x < +2kn , k

27、w Z ,262一+knMxM +kn, kZ,5 又xw (0,n卜 所以0<xE或 Ex<n , 36所以函數(shù)f (X/(0,n )上的遞增區(qū)間為:Ml "J(2)因為 f (A) = 2, . 2sin |2A- 16=2,sin '2A- l' 6=1 ，c . n n c. 2A =42kn ,62kw Z , A=±+kn , kw Z ,35 二- 0<A<n, - A = . . B =,312a在三角形ABC中由正弦定理得sinA sinCcsinAa 二sinCo .32-22S ABC1. 一 1 二八.5二 3

28、；3122= - acsinB = 、6 2 sin=【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)問題以及解三角形問題。三角函數(shù)問題?？贾芷凇握{(diào)性最值等，在解三角形中長考的有正弦定理、余弦定理以及面積公式。21 .已知函數(shù)f (x) =2sin (cox),其中常數(shù) w>0(1)令 3=1,. ji 判斷函數(shù)F x = f x f I x 2的奇偶性，并說明理由;(2)令 3 =2將函數(shù)y=f (x)的圖象向左平移個 一單位，再向上平移 1個單位，得到函數(shù)y=g(X)的圖象，對任意 ae R,求y=g (x)在區(qū)間a, a+10兀止零點個數(shù)的所有可能值.【答案】(1) F (x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(2) 21或20ji【解析】(1)特值法： 但1時，寫出f (x)、F (x),求出F (一 )、F (),結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可作出正確判斷;(2)根據(jù)圖象平移變換求出 g (x),令g (x) =0可得g (x)可能的零點,而a, a+107t恰含10個周期，分a是零點，a不是零點兩種情況討論，結(jié)合圖象可得g (x)在a,a+10兀止零點個數(shù)的所有可能值【詳解】(1) f (x) = 2sinx,F (x) = f (x) +f (x+)= 2sinx+2sin (x + )= 2 (sinx+cosx),井(1), F (F 1)= 2 V2，F(xiàn)( -W)