1、四邊形綜合題1. 已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，C)，點(diǎn)E在BC所在直線上，連結(jié)AD，AE，且DAE=45 (1)若點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)AF，CF，DF，EF 求證：ABDACF；若BD=1，DE=2，求CE的長(zhǎng)；(2)如圖2，若BD=85，AB=2，求CE的長(zhǎng).(直接寫出答案即可) 【答案】解：(1)點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AE的對(duì)稱，AE垂直平分DF，AD=AF，DAE=FAE=45，即DAF=90，DAC+FAC=90，BAC=90，DAC+BAD=90，BAD=FAC，在ABD與ACF

2、中，AB=ACBAD=CAFAD=AF，ABDACF(SAS)；由可得：ABDACF，B=ACF=45，BD=CF=1，ECF=ACB+ACF=90，AE垂直平分DF，DE=EF=2，CE=EF2CF2=3；(2)CE=3或54理由：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)AF，CF，EF， 根據(jù)ABDACF，可得BD=CF=85，在等腰直角三角形ABC中，AB=2，BC=2，CD=25，DE=CE+25=EF，在RtCEF中，CE2+(85)2=(CE+25)2，解得CE=3；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)AF，BF，EF， 根

3、據(jù)ABFACD，可得BF=CD=25，DE=CE25=EF，又BE=BCCE=2CE，在RtBEF中，(25)2+(2CE)2=(CE25)2，解得CE=54【解析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到AD=AF，DAE=FAE=45，再根據(jù)同角的余角相等，得到BAD=FAC，即可判定ABDACF(SAS)；由可得：ABDACF，據(jù)此得出B=ACF=45，BD=CF=1，進(jìn)而得到ECF=ACB+ACF=90，再根據(jù)DE=EF=2，運(yùn)用勾股定理求得CE即可；(2)分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)AF，CF，EF；當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱

4、點(diǎn)F，連結(jié)AF，BF，EF.分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求得CE的長(zhǎng)即可本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)以判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及對(duì)稱軸的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用2. 如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，在BC邊上取兩點(diǎn)E、F(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊)，以EF為邊所作等邊PEF，頂點(diǎn)P恰好在AD上，直線PE、PF分別交直線AC于點(diǎn)G、H(1)求PEF的邊長(zhǎng)；(2)若PEF的邊EF在線段CB上移動(dòng)，試猜想：PH與BE有何數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論；(3)若PEF的邊EF在射線CB上移動(dòng)(分別如

5、圖和圖所示，CF>1，P不與A重合)，(2)中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，直接寫出你發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論【答案】解：(1)過(guò)P作PQBC于Q(如圖1)，四邊形ABCD是矩形，B=90，即ABBC， 又AD/BC，PQ=AB=3，PEF是等邊三角形，PFQ=60，在RtPQF中，F(xiàn)PQ=30，設(shè)PF=2x，QF=x，PQ=3，根據(jù)勾股定理得：(2x)2=x2+(3)2，解得：x=1，故PF=2，PEF的邊長(zhǎng)為2；(2)PHBE=1，理由如下：在RtABC中，AB=3，BC=3，由勾股定理得AC=23，CD=12AC，CAD=30 AD/BC，PFE=60，F(xiàn)PD=60，PHA=30=CAD，PA=P

6、H，APH是等腰三角形，作ERAD于R(如圖2) RtPER中，RPE=60，PR=12PE=1，PHBE=PABE=PR=1(3)結(jié)論不成立，當(dāng)1<CF<2時(shí)，PH=1BE，當(dāng)2<CF<3時(shí)，PH=BE1【解析】(1)過(guò)P作PQBC，垂足為Q，由四邊形ABCD為矩形，得到B為直角，且AD/BC，得到PQ=AB，又PEF為等邊三角形，根據(jù)“三線合一”得到FPQ為30，在RtPQF中，設(shè)出QF為x，則PF=2x，由PQ的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出x的值，即可得到PF的長(zhǎng)，即為等邊三角形的邊長(zhǎng)；(2)PHBE=1，過(guò)E作ER垂直于AD，如圖所示，首先證明APH為

7、等腰三角形，在根據(jù)矩形的對(duì)邊平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，可得APE=60，在RtPER中，REP=30，根據(jù)直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由PE求出PR，由PA=PH，則PHBE=PABE=PAAR=PR，即可得到兩線段的關(guān)系；(3)當(dāng)若PEF的邊EF在射線CB上移動(dòng)時(shí)(2)中的結(jié)論不成立，由(2)的解題思路可知當(dāng)1<CF<2時(shí)，PH=1BE，當(dāng)2<CF<3時(shí)，PH=BE1此題綜合考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判別與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).學(xué)生作第三問(wèn)時(shí)，應(yīng)借助第二問(wèn)的結(jié)論，結(jié)合圖形，多次利用數(shù)學(xué)中等量代換的方法解決問(wèn)題，這就要求學(xué)生在作

8、幾何題時(shí)注意合理運(yùn)用各小題之間的聯(lián)系3. 已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長(zhǎng)分別交CB、DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M、N，AHMN于點(diǎn)H(1)如圖，當(dāng)MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：_ ；(2)如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；(3)如圖，已知MAN=45，AHMN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)【答案】AH=AB【解析】解：(1)如圖AH=AB，四邊形ABCD是正方形，AB=AD，B=D=90，在ABM與ADN中，AB=ADB=D

9、BM=DN，ABMADN，BAM=DAN，AM=AN，AHMN，MAH=12MAN=22.5，BAM+DAN=45，BAM=22.5，在ABM與AHM中，BAM=HAMB=AHM=90AM=AM，ABMAHM，AB=AH；故答案為：AH=AD；(2)數(shù)量關(guān)系成立.如圖，延長(zhǎng)CB至E，使BE=DNABCD是正方形，AB=AD，D=ABE=90，在RtAEB和RtAND中，AB=ADABE=ADNBE=DN，RtAEBRtAND，AE=AN，EAB=NAD，EAM=NAM=45，在AEM和ANM中，AE=ANEAM=NAMAM=AM，AEMANM，SAEM=SANM，EM=MN，AB、AH是AEM

10、和ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，AB=AH；(3)如圖分別沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90，分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD，由(2)可知，AH=AB=BC=CD=AD，設(shè)AH=x，則MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2，52=(x2)2+(x3)2，解得x1=6，x2=1(不符合題意，舍去) AH=6(1)由三角形全等可以證明AH=AB，(2)延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN，證明AEMANM，能得到AH=AB，(3)分別沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，然后分別延長(zhǎng)BM和DN交

11、于點(diǎn)C，得正方形ABCE，設(shè)AH=x，則MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，解得x本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，翻折的性質(zhì)，此題比較典型，具有一定的代表性，且證明過(guò)程類似，同時(shí)通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的猜想能力和類比推理能力4. 已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD邊上的一點(diǎn)(1)如圖1：當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，作出將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的圖形ABM；并判斷點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)是否在同一條直線上_ (填是或否)；(2)如圖1：當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，且EAF=45，請(qǐng)直接寫出線段EF、BE、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系_ ；(3)如圖

12、2：當(dāng)AB=AD，B=D=90，EAF是BAD的一半，問(wèn)：(2)中的數(shù)量關(guān)系是否還存在，并說(shuō)明理由；(4)在(3)的條件下，將點(diǎn)E平移到BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并寫出EF、BE、DF的關(guān)系【答案】是；EF=BE+DF【解析】(1)解：如圖1：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，ABM=90，四邊形ABCD是正方形，ABC=90，M、B、C三點(diǎn)在一條直線上故答案為：是；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AM=AF，BAM=DAF，BM=DF，四邊形ABCD是正方形，EAF=45，DAF+BAE=45，EAM=BAM+BAE=45，EAM=EAF，在EAM和EAF中，AM=AFEAM=EAFAE=AE，EAMEAF

13、(SAS)，EF=EM=BM+BE=BE+DF；故答案為：EF=BE+DF；(3)存在理由如下：延長(zhǎng)CB到P使BP=DF，B=D=90，ABP=90，ABP=D，在ABP和ADF中，AB=ADABP=DBP=DF，ABPADF(SAS)，AP=AF，BAP=DAF，EAF=12BAD，BAE+DAF=EAF，BAP+FAD=EAF，即：EAP=EAF，在APE和AFE中，AP=AFEAP=FAEAE=AE，APEAFE(SAS)，PE=FE，EF=BE+DF；(4)如圖3，補(bǔ)全圖形證明：在BC上截取BP=DF，B=ADC=90，ADF=90，B=ADF，在ABP和ADF中，AB=ADB=ADF

14、BP=DF，ABPADF(SAS)，AP=AF，BAP=DAF，EAF=12BAD， DAE+DAF=12BAD，BAP+EAD=12BAD，EAP=12BAD=EAF，在APE和AFE中，AP=AFEAP=FAEAE=AE，APEAFE(SAS)，PE=FE，EF=BEBP=BEDF(1)首先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后由ABM=D=ABC=90，證得點(diǎn)M、B、C三點(diǎn)共線；(2)首先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AM=AF，BAM=DAF，BM=DF，然后由EAF=45，證得EAM=EAF，繼而證得EAMEAF，繼而證得結(jié)論；(3)首先延長(zhǎng)CB到P使BP=DF，證得ABPADF(SAS)，再證得

15、APEAFE(SAS)，繼而證得結(jié)論；(4)首先在BC上截取BP=DF，證得ABPADF(SAS)，再證得APEAFE(SAS)，即可得EF=BEBP=BEDF此題屬于四邊形的綜合題.考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵5. 正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，(1)如圖1，連接DE、DF，若正方形的邊長(zhǎng)為4，AE=3，求EF的長(zhǎng)？(2)如圖2，連接AC交EF與G，求證：AC=2AE+2CG；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，AE=CF仍保持不變，試探索線段AC、AE、

16、CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由【答案】(1)解：正方形的邊長(zhǎng)為4，AE=3，BE=43=1，AE=CF， CF=3，BF=BC+CF=7，EF=BE2+BF2=52；(2)證明：如圖2，作EH/BC交AC于H，四邊形ABCD是正方形，BAC=45，AH=EH=2AE，AE=CF， EH=CF，又EF/CF，HG=CG，即HC=2CG，AC=AH+HC=2AE+2CG；(3)AC=2AE2CG證明：如圖3，作EP/BC交AC的延長(zhǎng)線于P，四邊形ABCD是正方形，BAC=45，AP=EP=2AE，AE=CF，EP=CF，又EF/CF，PG=CG，即PC=2CG，AC=APPC=2AE2CG【解析】

17、(1)根據(jù)題意分別求出BE、BF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；(2)作EH/BC交AC于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BAC=45，根據(jù)勾股定理得到AH=2AE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到HC=2CG，得到答案；(3)作EP/BC交AC的延長(zhǎng)線于P，與(2)的方法類似，證明即可本題考查的是正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用類比思想是解題的關(guān)鍵6. 如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF(1)求證：HEA=CGF；(2)當(dāng)AH=DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；

18、(3)設(shè)AH=2，DG=x，F(xiàn)CG的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍；(4)求y的最小值【答案】(1)證明：如圖1，連接GE，AB/CD，AEG=CGE，GF/HE，HEG=FGE，HEA=CGF；(2)證明：四邊形ABCD是正方形，D=A=90，四邊形EFGH是菱形，HG=HE， 在RtHAE和RtGDH中，AH=DGHE=HG，RtHAERtGDH，AHE=DGH，又DHG+DGH=90，DHG+AHE=90，GHE=90，菱形EFGH為正方形；(3)解：作FMDC，交DC的延長(zhǎng)線于M，在RtAHE和RtGFM中，A=MAEH=FGMHE=FG，RtAHERtGF

19、M，MF=AH=2，DG=x，CG=6x，y=12×CG×FM=12×2×(6x)=6x(0x26)；(4)k=1<0，y隨x的增大而減小，x=26時(shí)，y的最小值是626【解析】(1)連接GE，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AEG=CGE，根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到HEG=FGE，解答即可；(2)證明RtHAERtGDH，得到AHE=DGH，證明GHE=90，根據(jù)正方形的判定定理證明；(3)作FMDC，證明RtAHERtGFM，得到MF=AH=2，根據(jù)三角形的面積公式得到解析式；(4)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減

20、小解答即可本題考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的求法和一次函數(shù)的性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵7. 四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為射線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EFDE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)求證：矩形DEFG是正方形；求證：AC=CE+CG；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖2中畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出AC、CE、CG之間的數(shù)量關(guān)系；(3)直接寫出FCG的度數(shù)【答案】(1)證明：作EPCD于P，EQBC于Q，DCA=BCA，

21、EQ=EP，QEF+FEC=45，PED+FEC=45，QEF=PED，在RtEQF和RtEPD中，QEF=PEDEQ=EPEQF=EPD，RtEQFRtEPD，EF=ED，矩形DEFG是正方形；ADE+EDC=90，CDG+EDC=90，ADE=CDG，在AED和CGD中，AD=CDADE=CDGDE=DG，AEDCGD，AE=CG，AC=CE+AE=CE+CG；(2)AC+CE=CG， 證明：由(1)得，矩形DEFG是正方形，DE=DG，ADC=EDG=90，ADE=CDG，在ADE和CDG中，AD=DCADE=CDGDE=DG，ADECDG，AE=CG，AC+CE=CG；(3)如圖1，當(dāng)

22、點(diǎn)E為線段AC上時(shí)，ADECDG，DCG=DAE=45，F(xiàn)CG=FCD+DCG=135；如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)CG=FCDDCG=45【解析】(1)作EPCD于P，EQBC于Q，證明RtEQFRtEPD，得到EF=ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；根據(jù)三角形全等的判定定理證明AEDCGD，得到AE=CG，證明結(jié)論；(2)根據(jù)題意畫出圖形，與(1)的方法類似，證明ADECDG，得到AE=CG，即可得到答案；(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和點(diǎn)E的不同位置求出FCG的度數(shù)本題考查的是正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論

23、思想的運(yùn)用8. 在ABC中，AB=AC，點(diǎn)PABC為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PE/AC交AB于點(diǎn)E，PF/AB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F (1)當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上(如圖1)時(shí)，請(qǐng)你探索線段PD，PE，PF，AB與之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；(2)當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)(如圖2)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，線段PD，PE，PF，AB與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系(3)當(dāng)點(diǎn)P在ABC外(如圖3)時(shí)，線段PD，PE，PF，AB與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系【答案】(1)答：PD+PE+PF=AB證明如下：點(diǎn)P在BC上，PD=0，PE/AC，PF/AB，四邊形PFAE是平行四邊形，PF=

24、AE，PE/AC，BPE=C，B=BPE，PE=BE，PE+PF=BE+AE=AB，PD=0，PD+PE+PF=AB；(2)證明：AB=AC，B=C，PF/AB，B=CDF，C=CDF，CF=PD+PF，PE/AC，PF/AB，四邊形PFAE是平行四邊形，PE=AF，PD+PE+PF=AC，PD+PE+PF=AB；(3)證明：同(2)可證DF=CF，PE=AF，AF+CF=AC，PE+PFPD=AC，PE+PFPD=AB【解析】(1)先求出四邊形PFAE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可得PF=AE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得BPE=C，然后求出B=BPE，利用等角對(duì)等邊求出PE=BE，然后求解即可；(2)根據(jù)等邊對(duì)等角可得B=C，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得B=CDF，然后求出C=CDF，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得CF=PD+PF，然后求出四邊形PFAE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可得PE=AF，然后求出PD+PE+PF=AC，等量代換即可得證；(3)證明思路同(2)本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定方法與性質(zhì)，并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此類題目，關(guān)鍵在于后面小題