1、精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：sh13年 級：高二課時數(shù)：3學(xué)員姓名：Selena輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師:滿英課 題立體幾何（一）1、熟悉點線面之間的位置關(guān)系和集合描述語言教學(xué)目的2、熟悉異面直線所成角的概念和求法3、熟悉直線和平面所成角的概念和求法教學(xué)內(nèi)容% 知識點回顧1公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。集合語言：公理2：過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。推論1、推論2、推論3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。 集合語言；2. 空間中直線與直線之間的位關(guān)系:空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種,如圖：A

2、B與BC相交于B點，AB與"8/平行.AB與V Cz異面。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.3. 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：其中直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。注意，我們不提倡如下畫法.4. 平面與平面之間的位置關(guān)系:5求空間角(1) 異面直線所成的角通過平移成兩相交直線所成的角來算(2) 斜線和平面所成的角是一個直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內(nèi) 的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影.通過解直角三角形求解；二例題講解

3、例仁 求證：兩兩相交而不過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi).分析：四條直線兩兩相交且不共點，可能有兩種: 一是有三條直線共點；二是沒有三條直線共點，故而證明要分兩種情況.團 1-23(1) 已知：dCla = P, dCb=Q. dCc = R, a、b、c 相交于點 0. 求證：a、b、6 d共面.證明：.dria=P,過d、a確定一個平面a (推論2). 同埋過d、b和d、c各確定一個平面0、Y voea, OGbf OGc, .*.0G a t OG P f OG y .平面a、B、Y都經(jīng)過直線d和d外一點0. J. a、B、Y重合.a、b、c、d共面. 注：本題的方法是“同一法”（2）已

4、知：dAa = P, dAb=Q, dAc = R, aCb = M, bAc=N, aClc=S,且無三線共點.EJ 1-24求證：a、b、c、d共面證明：Tdriahp,d和a確定一個平面a （推論2）Vanb=M, dClb=Q,/.MG a , QG a /.MQc Q 即b u a.同理Cu a.a、b、c、d四線共面.注：讓學(xué)生從實物擺放中得到四條直線的兩種位置關(guān)系. 分類討論時，強調(diào)要注意既不要重復(fù)，又不要遺漏. 結(jié)合本例，說明證諸線共面的常用方法.例2、如圖，已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、AD、BC、CD上的點，且EF交GH于P. 求證：P在直線BD上.分

5、析：易證BD是兩平面交線，要證P在兩平面交線上，必須先證P是兩平面公共點.已知：EFCIGH=P, EGAB、FGAD, GGBC, HGCD,求證：B、D、P三點共線.證明：TABriBDuB,AB和BD確定平面ABD （推論2）VAGAB, DGBD,：ADu平面ABD （公理1）.VEEAB, FEAD,EF U平面ABD EFnGH=P,.卩丘平面ABD.同理，PG平面BCD.VBD u 平面ABD, BD u 平面BCD,二平面 ABDD 平面 BCD=BD.-P已BD即B、D、P三點共線.注：給合本例，說明證三點共線的常規(guī)思路.變式練習(xí)：兩個平面兩兩相交，有三條交線，若其中兩條相交

6、于一點，證明第三條交線也過這一點.實用標(biāo)準文案分析：雖說是證三線共點問題.但與例2有異曲同工之處.都是要證點P是兩平面的公共點.P A y =b, a A y =c, bDc = p.求證：pEa. 證明：.bOc=p, ApGb. *. P A y =b,/-be P /.pF B 同理，pe a .又I a A p=a, ApGa.例3、設(shè)圖中的正方體的棱長為a,(1) 圖中哪些棱所在的直線與直線BA'成異面直線？(2) 求直線BA'和CC'所成的角的大小.(3) 求異面直線BC和AA'的距離.解：(I) A'平面BC',而點B,直線CC&#

7、39;都在平面BC'內(nèi)，且EECC，直線BA'與CC'是異面直線.同理，直線C D'、D' D、DC、AD、B C'都和直線BA'成異面直線.B'(2) VCCA BB，ABAZ和BB'所成的銳角就是BA'和CC'所成的角.V=ZAz BB' =45° , /.BAZ和CC'所成的角是45° .(3) TAB丄AA' , ABCAA' =A,又TAB丄BC, ABABC=B, /.AB 是 BC 和 AA'的公垂線段. TAB二a, BC和AA&#

8、39;的距離是a.說明：本題是判定異面直線，求異面直線所成角與距離的綜合題，解題時要注意書寫規(guī)范.變式練習(xí)：1、(1)兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？解析：不一定，還可能異面.(2)垂直于同一直線的兩條直線，有幾種位置關(guān)系？解析：三種：相交，平行，異面.2、畫兩個相交平面，在這兩個平面內(nèi)各畫一條直線使它們成為(1)平行直線；(2)相交直線；(3)異面直線.例 4、在長方體 ABCD-AiBiCiDi 中，AB二BC二3,AA二4.求異面直線AiB和AD所成的角的余弦.AB解析:1625變式練習(xí):U 在長方體ABCD-AiBiCiDi中，ZC BC二45° , ZB AB二60

9、76; 求ABi與BG所成角的余弦.所臥 cosZD lAB i解析:AB； + AB； _ DR _ 4 J + 6宀 4a2 _ 喬 2'AB'AD _卮 _可2. 在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AAi=cf AB二a, AD二b,且a>b.求AG與BD所成的角的余弦.AB解析：法（一）連AC,設(shè)ACPIBD二0,則0為AC中點，取GC的中點F,連OF,貝IJO所以ZFOB即為AC】與DB所成的角.在FOE中，OE = #J+b2, OF = Va2 +b2 +c2, BF=b2 +c2,由余弦定理，得7（a2 +b2） +7（a2 +b2 +c2）-（b2

10、+c2） cosZFOB =4 4_4_2 - J a'十 b： J J 十 b：十 c? 4a3-b2_ J2 +/）（/ +b2法（二）取AC沖點O, B，B中點G在厶CiO.G中，ZCOG即為AC】與BD所成的角.OqZoE, CqZeF, OiClAC.由解法可知：co$ZC】OG = /.1 1（/+工）2+62+工）（如圖5）法（三）延長CD到E,使ED=DC.則ABDE為平行四邊形.AEBD,所以ZEAG即為AG與BD所成的角. 連EG,在ABC】中AE= Ja2 +b2 , AC = 7a2 +b2 +c2, C1E=74a2 +c2.由余弦定理，得2 寸£

11、十 b： 7a2 +b2 + ccosZEAG（+旳+（+/ +）- （4/+ 刊b2 - a2 +匕2）（+ J + J）<0.所以ZEAG為鈍角.根據(jù)異面直線所成角的定義，AG與BD所成的角的余弦為屆7以）（+ X +L）【課堂小練】1.在長方體ABCDABCD】中，AB=214, BC = 5, £ = 12.求BD和B£所成的角的余弦.2.在長方體ABCD-ABiCiD中，EC = £, CD二導(dǎo)，DD】 =乙£屈 求AiCWB】所成角的大小.60° 3. 在棱長為a的正方體ABCD-AbGD中，0是正方形ABCD的中心，E, F

12、分別是AB, BC中點.求：（1）異面 直線AQ和CD的距離；（2）異面直線C1O和EF的距離.72a9 a4. 在長方體 ABCD-AiBiCiDi 中，ZBABi=ZBiAiCi=30° .求：（1） AB 與 AC所成的角的度數(shù)；（2） A A 與 CB所 成的角的度數(shù)；（3） AB】與A心所成的角的余弦.3130°； 45°；-4B【課堂總結(jié)】1、空間中兩條直線的位置關(guān)系有哪些：2、如何求異面直線所成的角？主要有哪些步驟？【課后練習(xí)】1、在下列六組條件中，（1）空間三個點（2）空間的一條直線與一個點（3）空間兩條相交直線（4）三條平行直線與第四條直線都相交

13、（5）兩兩相交且不同于一點的三條直線（6）三條直線中的一條與其余兩條分別相交，能確定一個 平面的條件是 （不能的請舉岀反例）2、判斷下列命題的真假。（1）可畫一個平面，是它的長為4cg寬為2cm.（錯）（2）-條直線把它所在的平面分成兩部分，一個平面把一個空間分成兩部分。（對）（3）平面a與平面0只有一個公共點。（錯）（4）經(jīng)過平面內(nèi)的任意兩點的直線，若直線上各點都在這個面內(nèi)，那么這個面是平面。（對 ）3、若a、b為異面直線，c/a則c與b的位置關(guān)系是（D ）A相交B平行C異面D異面或相交4、空間四邊形ABCD中，對角線AC = 8, BD = 6,分別為AB.CD的中點，且MN = 5、求異

14、面直線AC.BD所成的角。90°5、在空間四邊形ABCD中，BD = 4, AC = 6,且AC丄BD, WN分別為AB.CD的中點，求M/V及MN與3D所成角的正切值。arcsmI136、空間四邊形ABCD中，AD = BC = 2, EF分別是AB、CD的中點，EF = *、D求異面直線AD. BC所成的角。解析：取3D中點G,連結(jié) E,F分別是AB. CD的中點, EG" AD.FGHBC、且EG = lAD = hFG = ZC = l,2 2異面直線AD.BC所成的角即為EG,FG所成的角，在應(yīng)GF 中,gsZEGF=EGrFGEF丄2EG FG2:.ZEGF =

15、 120°,異面直線AD.BC所成的角為60。 說明：異面直線所成的角是銳角或直角，當(dāng)三角形AEGF內(nèi)角ZEGF是鈍角時，表示異面直線AD.BC所成的角是 它的補角。1. “直線/上有兩點到平面加勺距離相等”是“直線/與半面Q半行”的 （）A、充要條件.B、充分非必要條件.C、必要非充分條件.D、非充分非必要條件.2. 若-為兩條不同的直線，Q, 0為兩個不同的平面，則以下命題正確的是（）BA.若 mH a、nV a 9 則 ml In ；B.若 m/n9 丄 a,則”丄 a；C.若 in/ a, nil a,則 m/n ；D.若a I 0 = 7.""丄 貝 ij” 丄 a.3. 設(shè)a,b是兩條直線，70是兩個平面，則。丄b的一個充分條件是【】A. a 丄 a.bU p.a 丄 0B. all a,b 丄 0,a”C. a丄a上丄隊all卩D. qIIa）川卩.a丄p3. 在空間中，給出下列4個命題(其中a、b、c表示直線，0表示平面)，則正確命題的序號是()三個點確定一個平面；(2)若° | c, b|c,則d|b：(3)在空間中，若角q與角Q的