1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及變形1 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)公式 cos() cos_cos_sin_sin_(C() cos() cos_cos_sin_sin_(C() sin()sin_cos_ cos_sin_(S( ) sin()sin_cos_ cos_sin_(S( )tan tan tan()(T()1tan tan tan tan tan()(T()1tan tan (2)公式變形 tan tan tan( )(1tan tan )tan tan tan( )(1tan tan )2 二倍角公式(1)公式 sin 22sin_cos_， cos 2 cos

2、2sin22cos2 1 1 2sin2，tan 22tan 2 .1 tan(2)公式變形1cos 21 cos 2cos22，sin22；2,21sin 2(sin cos ) ，sin ±cos 2sin)1sin 2 (sincos )(.43 判斷下列結(jié)論的正誤 (正確的打 “” ，錯(cuò)誤的打 “×” )(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的 ( )(2)存在實(shí)數(shù) ， ，使等式 sin()sin sin 成立 ( )(3)在銳角 ABC 中， sin Asin B 和 cos Acos B 大小不確定 (×)tan tan (4)公式 tan()

3、可以變形為 tan tan tan( )(1tan tan )，且對(duì)任意角 ，都成立 (×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角(×)(6)存在角 ，使得 sin 22sin 成立 ()(7)若 4，則 (1tan )(1tan )2.()(8)不存在實(shí)數(shù) ，使得 cos() sin cos .(×)(9)存在實(shí)數(shù) ，使 tan 22tan .()(10)y1 2cos2x的 x 無(wú)意義 (× )考點(diǎn)一三角函數(shù)式的給角求值1.已知非特殊角求函數(shù)式的值命題點(diǎn)2.已知含參數(shù)的角化簡(jiǎn)函數(shù)或求值例1 cos 20 °° 1ta

4、n 50 ) ；1 (1)求值： sin 102sin 20°(tan 50解：原式2cos2 10°cos50sin 50)2×2sin 10 cos° sin 10 °cos5010 °( sin 50cos 10 °cos25°sin25°cos 10 °cos 10 °2sin 10 sin 10·° sin 10 ·°°sin 5 cos° 5 °2sin 10 °12sin 10 °c

5、os 10 °cos 10 °2sin 20 °2sin 10 2cos 10 °2sin 10°°cos 10 °2sin 30°10°2sin 10°13°cos 10 °2 2cos 10 ° 2 sin 10 °3sin 10 32sin 10 °2sin 10° 2 .2·sin2cos2·cos21·(2)化簡(jiǎn)： sin2cos 2 cos 2 .解：法一： (復(fù)角單角，從 “角”入手)原式 s

6、in2·sin2 cos2·cos212·(2cos21) ·(2cos21) sin2·sin2cos2·cos212·(4cos2·cos22cos22cos2 1) sin2·sin2cos2·cos2cos2 cos2 12 sin2·sin2cos2·sin2cos21222111sin cos 2122.法二： (從“ 名”入手，異名化同名 )原式 sin2·sin2 (1sin2) ·cos21·2sin2(cos2 sin2)1&

7、#183;2cos 2cos 2cos2cos 2 cos2cos22·1·sincos 22cos 2 cos 2cos2·21)cos 2(sincos221cos 212 cos 2·sin22 12sin21cos 21122cos 22.法三： (從“ 冪”入手，利用降冪公式先降次 )1 cos 21cos 2 1cos 21cos 21原式2·22·22cos 2·cos 21114(1cos 2·cos 2 cos 2cos 2)4(1 cos 2·cos 2cos 2 cos 2)2

8、83;cos 2·cos 212. 方法引航 給角求值問(wèn)題往往給出的角是非特殊角，求值時(shí)要注意：1 觀(guān)察角，分析角之間的差異，巧用誘導(dǎo)公式或拆分.2 觀(guān)察名，盡可能使函數(shù)統(tǒng)一名稱(chēng).3 觀(guān)察結(jié)構(gòu)，利用公式，整體化簡(jiǎn).1求值 sin 50 (1°3tan 10 )°解： sin 50 (1°3tan 10 )°sin 50 (1° tan 60 ·°tan 10 )°sin 50cos 60 cos° 10°sin 60 sin° 10°·°cos

9、60 cos° 10 °sin 50cos 60° 10°°°°°·°102sin 50 cos 50 sin 100cos 10 1.cos 60 cos°°cos 10 °cos 10 °cos 10°ACA C2在 ABC 中，已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則 tan2tan23tan2tan2的值為_(kāi)解析：因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列，且 A BC，2 A CAC所以 AC3 ，23， tan23，ACAC所以 tan2tan

10、23tan2tan2tanAC )(1AC)AC( 22tan 2tan 23tan 2tan2ACAC 3(1tan2 tan 2) 3tan2tan2 3.考點(diǎn)二三角函數(shù)式的給值求值1.已知某角的三角函數(shù)值求其它的三角函數(shù)值命題點(diǎn)2.已知某角的三角函數(shù)值，求三角函數(shù)的值3.已知三角函數(shù)式的值，求三角函數(shù)值例 2(1)(2016 高·考全國(guó)丙卷 )若 tan 1，則 cos 2 ()34114A 5B5C.5D.52 2 cos2sin2解析：法一： cos 2cos sin cos2sin21tan2 41tan2 5.故選 D.法二：由 tan 1，可得 sin ±

11、1 ，因而 cos 212sin243105.答案： D12(2)已知 tan(4) 2，且20，則 2sinsin 2等于 ()cos()4253531025A 5B 10C10D.5解析：由 tan()tan 11，得 tan 14 1tan 23.10又 20，所以 sin 10 .故 2sin2sin 22sin sin cos 25222sin 5 .cos()2 sin cos 4答案： A已知 ，且 2sin2· sin(4)(3)(0, )sin2 ，則 _.cos3cos0sin 2cos212解析： 2sin2sin cos 3cos2 0 則(2sin 3cos

12、 )(sin cos ) 0，由于 (0,) ，sin cos 0，2則 2sin 3cos .又 sin2cos21， cos 2 ， 13sin()2sin cos 42262 228.sin 2cos21 sin cos sin cos 答案：268 方法引航 三角函數(shù)的給值求值，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：1 已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差 .2 已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍”的關(guān)系或 “互余互補(bǔ) ”的關(guān)系 .3 已知三角函數(shù)時(shí)，先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，再利用整體代入求值.1在本例 (1)中，已知條件不變，求tan() 的值631tan 6 tan 3356解：

13、tan () 3313.611tan6tan 1 3×32在本例 (1)中，已知條件不變，求2sin2sin cos 3cos2的值解：原式2sin2 sin cos 3cos2sin2cos2112tan2 tan 32× 323311tan211215 .3已知223，則 cos)3cos()sin ()5(2_.233解析：由 cos)223sin()，得(25322233323sin sin 3 cos cos 3sin52sin 2 cos 5，即 3sin () 253， sin (6) 2，65因此 cos)22 217 1 2sin () 12×

14、() 25.( 236517答案： 25考點(diǎn)三已知三角函數(shù)式的值求角1.利用弦函數(shù)值求角命題點(diǎn)2.利用切函數(shù)值求角113例 3(1)已知 cos 7， cos()14，0 2，則 _.解析： cos 1，0sin4372.7 .133 3又 cos()14，且 02.02，則 sin()14 .則 cos cos () cos cos( )sin sin( )1 134 33 34917×147×14 ×2，由于 02，所以 3.714答案：311(2)已知 ，(0，)，且 tan( )2，tan 7，則 2的值為 _tan tan 解析： tan tan() 1

15、tan tan 1121271 0， 02tan330，2.又211×13tan 21tan 1(1)2427331tan 2tan 4702 ， tan(2 )31.2 11tan 2 tan14×713tan 70，2， 20， 24.3答案：4 方法引航 1.解決給值求角問(wèn)題應(yīng)遵循的原則(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，且若角的范圍是(0,) ，選正、余弦皆2可；若角的范圍是 (0，)，選余弦較好；若角的范圍是(,) ，選正弦較好222 解給值求角問(wèn)題的一般步驟(1)求角的某一個(gè)三角函數(shù)值(2)確定角的范圍(3)根據(jù)角的范

16、圍寫(xiě)出所求的角設(shè) ，為鈍角，且sin 5，cos 3 10，則 的值為 ()15103575 7A. 4B. 4C. 4D.4或45310解析：選 C.， 為鈍角， sin 5， cos 10，25102cos 5，sin 10 ， cos( )cos cos sin sin 20.又 ( ， 2)， (3 ,2)72， 4 .已知tan 1，cos 5，(,) ，(0,) ，求 tan( )的值，并求出 的23522值解：由 cos 52，得 sin255 ， (0,5 ， tan 2.)12tan() tan tan 31.21tan tan 13, ) ， (0,) ，35 (2222

17、， 4 .方法探究 三角恒等變換在化簡(jiǎn)、求值、證明中的綜合應(yīng)用三角恒等變換要重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱(chēng)；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀(guān)察角度、函數(shù)名、所求(或所證明 )問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?典例 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：(1)sin213°cos217° sin 13 cos° 17 ；°(2)sin215°c

18、os215° sin 15 cos° 15 ；°(3)sin218°cos212° sin 18 cos° 12 ；°(4)sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48 ；°(5)sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55 . °()試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；()根據(jù) ()的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論 解()選擇 (2)式，計(jì)算如下：113sin215° c

19、os215°sin 15 cos° 15 °12sin 30 °1 44.()法一：三角恒等式為2 cos2°°3sin(30)sin cos(30)4.證明如下：sin2 cos2(30°)sin cos(30 °)sin2(cos 30 cos° sin 30 sin° )2sin (cos 30 cos°3313133 sin 30°sin )sin24cos2 2 sin cos 4sin22 sin ·cos2sin24sin2 4cos234.法二：三角

20、恒等式為 sin2 cos2° °3(30)sin cos(30)4.證明如下：2 cos2°1cos 2 1cos 60°2sin(30sin°sin (cos 30 cos° sin)cos(30)221111311130°sin )22cos 222(cos 60°cos 2 sin 60°sin 2)2 sincos 2sin222cos113311113224cos 24 sin 24 sin 24(1cos 2)14cos 244cos 24.高考真題體驗(yàn) (2016·高考全國(guó)甲卷)

21、若 cos()3，則 sin 2 ()1547117A. 25B. 5C5D25解析：選 D.因?yàn)?cos) 23，所以 sin cos (4cos4cossin4sin2 (sincos)532，所以 1sin 218，所以 sin 2 7 ，故選 D.52525(2016·高考全國(guó)丙卷 若tan3，則 cos2 2sin 2()2)4644816A. 25B. 25C1D.25解析：選 A.法一：由 tan sin 3 ，cos2sin21，得cos 433sin 5sin 5或，44cos 5cos 524164864則 sin 22sin cos 25，則 cos2 2sin

22、 2252525.224sin cos 1364 2sin 2cos2 1 4tan法二： cos22925.cossin1tan1163 (2015 ·高考課標(biāo)全國(guó)卷 )sin 20 cos° 10 °cos 160 sin° 10 °()3311A 2B. 2 C2 D.2解析：選 D.sin 20 cos° 10 °cos 160 °sin 10 °sin 20 cos° 10 °cos 20 °sin 10 °sin 301°2.·高考課

23、標(biāo)全國(guó)卷設(shè) ，且 tan 1 sin )，則()4 (2014)(0,)(0,cos 22A 3 2 B 22C3 2D2 2解析： 選B.由條件得sin 1sin cos ，即 sin cos cos (1sin )，sin( )cos cos sin (2) ，因?yàn)?2 2，02 2，所以 2，所以 22，故選 B.5 (2015 ·高考四川卷 )已知 sin 2cos 0，則 2sin cos cos2的值是 _解析：由 sin 2cos 0，得 tan 2.2sin cos cos2 2tan 1所以 2sin cos cos2222sin cos tan 141 1.4 1

24、答案： 1·高考四川卷2 sin2 _.6(2016)cos88解析：由二倍角公式，得cos2) 2 sin2cos( 28882 .答案：22課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A 組基礎(chǔ)演練11 tan 15 ° ()tan 15 °43A 2B2 3C4D. 3解析：選 C.法一： tan 15 °1sin 15°cos 15 °°tan 15°cos 15°sin 15124.cos 15 sin° 15°sin 30 °法二： tan 15 °11 cos 30 °1t

25、an 15sin 30 °° sin 30°1cos 30 °1cos 30 °1cos 30 °24.sin 30°sin 30 ° sin 30 °2.2cos 10 °sin 20°)sin 70°的值是 (13C. 3D. 2A. 2B. 2解析：選 C.原式 2cos 30°20°sin 20 °sin 70 °2 cos 30 ·°cos 20 °sin 30 ·°sin 2

26、0°sin 20 °sin 70°3cos 20 °3.cos 20 °已知 (0，且sin (42，則 tan 2()3) 1043C2424A. 3B.47D. 72221解析：選 C.由 sin (4) 10，得2 (sin cos ) 10，所以 sin cos 5.143sin 5sin 5解方程組sin cos 5，得或.sin2cos2 1cos 3cos 4553因?yàn)?(0，)，所以 sin 0，所以 sin 5不合題意，舍去，所以 tan 4，所以 tan43cos 5422tan 22×324，故選 C.1tan

27、4271 3若 ,，sin 23 7，則 sin 等于 ()484234C.73A. 5B.54D.43解析：選 D.由 sin 28 7和 sin2cos2 1 得(sin cos )23 71 (37 )2，84又 , ， sin cos 3 74.423 73同理， sin cos 4， sin 4.tan 5已知 sin 2( ) nsin 2，則 tan 的值為 ()n1nnn 1A. n1B. n 1C.n1D. n 1解析：選 D.由已知可得 sin()( ) nsin( ) () ，則 sin( )·cos( ) cos()sin( )nsin()cos()cos(

28、)sin( ) ，即 (n 1)cos( )sin( ) (n 1)sin( )cos( )，所以 tan n1tan n1，故選 D.若)3，則 cos 2 _.6sin (52323 27解析： sin (2) cos 5， cos 22cos 1 2× (5 ) 125.7答案：257若點(diǎn) P(cos ，sin )在直線(xiàn) y 2x 上，則 sin 2 2cos 2_.解析： 點(diǎn) P(cos ，sin )在直線(xiàn) y 2x 上 sin 2cos ，2于是 sin 22cos 2 2sin cos 2(2cos 1)答案： 2設(shè)sin，( , )，則 tan 2的值是 _8sin 22解析： sin 2 si