1、高等數(shù)學(xué)公式之楊若古蘭創(chuàng)作(tgx)sec2 x(ctgx)csc2 x(secx) secx tgx(cscx)cscx ctgx(ax) axlna(loga x)1xlna(arcsin x)(arccosx)(arctgx)(arcctgx)12,1 x12,1 x11 x211 x2tgxdx In cosx C ctgxdx In sinx C secxdx In secx tgx Cdx2- cos xdx一 2 sin x2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx Ccscxdx In cscx ctgx Cdx2 xdx2 a-arctg -dxdxIn導(dǎo)數(shù)公式:

2、a12aax aIn x a1a xIn2a a x.x _arcsin- Casinn xdx02cosn xdx0x2 a2dxx2 a2dxa2 x2dx基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分:x x22x x22cscxctgxdx csc xCx .xa -a dx C In ashxdxchx Cchxdxdxshx C2 1 r4 / v ，va2) C22 in(x xxasecx tgxdx secx C2 a / 萬(wàn)1n(x2a .一 In xx2 a2) C22- arcsin C2 a一些初等函數(shù):兩個(gè)主要極限:,和差化積公式：積化和差公式倍角公式:sinsin2sincos

3、22sinsinsinsin2sincos22sincoscoscos2coscos22coscos1 /2 cos(1 /一 sin(21/cos(2)cos(sin(cos(coscos2sin 2sin2A:正弦定理：sin A反三角函數(shù)性質(zhì):sin B sinC2R ,余弦定理:2.2a b2abcosCarcsin x arccosx arctgxarcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式一一萊布尼茲（Leibniz)公式:中值定理與導(dǎo)數(shù)利用: 曲率：定積分的近似計(jì)算：定積分利用相干公式：空間解析幾何和向量代數(shù):多元函數(shù)微分法及利用微分法在幾何上的利用：y V。 z Zox(t)空間曲線(xiàn)y(t)在點(diǎn)

4、M(xo,yo,z。)處的切線(xiàn)方程：上心。Z(t)(to)在點(diǎn)M處的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y y°)(to)(Z Zo)若空間曲線(xiàn)方程為:F(x,y,z)G(x,y,z)0則切向量T Fyo GyFz FzFx FxGz,Gz Gx'GxFyGy曲面F(x,y,z) o上一點(diǎn) M(%,yo,zo),則：1、過(guò)此點(diǎn)的法向量:n Fx(xo,yo,zo),Fy(xo,yo,zo),Fz(xo,yo,zo)2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程：Fx(xo,yo,zo)(x xo) Fy(xo,yo,zo)(y y°) Fz(x0,yoz)(z 4) o&過(guò)此

5、點(diǎn)的法線(xiàn)方程：一一Fx(xo,yo,zo)y v。z zoFy(xo,yo,zo) Fz(xo,yo,zo)方導(dǎo)游數(shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法:重積分及其利用：柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：曲線(xiàn)積分：曲面積分：高斯公式：PQR( )dv :Pdydz xyzQdzdx Rdxdy 仁(P cos Q cosRcos )ds高斯公式的物理意義 通量與散度：散度：div -R,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生 的流體質(zhì)量，若divo,則為消失x y z通量： A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds,因此，高斯公式又可寫(xiě) 成： divAdv o Ands斯托克斯公式 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)： 級(jí)數(shù)審斂法：曲線(xiàn)積

6、分與曲面積分的關(guān)系:絕對(duì)收斂與條件收斂：事級(jí)數(shù)：函數(shù)睜開(kāi)成哥級(jí)數(shù)：一些函數(shù)睜開(kāi)成哥級(jí)數(shù)：歐拉公式：三角級(jí)數(shù)：傅立葉級(jí)數(shù)：周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：微分方程的相干概念：一階線(xiàn)性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程及其解法:r1, r2的形式(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p2 4q 0)rixr2xy Gec2e兩個(gè)相等實(shí)根(p2 4q 0)y (g C2x)er1x一對(duì)共軻復(fù)根(p2 4q 0)rii ,2ip44q p22'2y ex(c1cos x c2 sin x)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程概率公式清算1 .隨機(jī)事件及其概率AA A接收律：A A

7、 AA (AB) A A (A B) A反演律： AB A B AB A B2 .概率的定義及其計(jì)算若A B P(B A) P(B) P(A)對(duì)任意兩個(gè)事件 A, B,有P(B A) P(B) P(AB)加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B,有3 .條件概率乘法公式全概率公式Bayes公式4 .隨機(jī)變量及其分布分布函數(shù)計(jì)算5 .離散型隨機(jī)變量(1) 0 1分布二項(xiàng)分布B(n, p)若 P (A ) = p*Possion 定理k k kn k右 limCnPn(1 Pn)e侶nk!k 0,1,2,(3) Poisson 分布 P()6 .連續(xù)型隨機(jī)變量(1)均勻分布U(a,b)(2)指數(shù)分布E()

8、正態(tài)分布N (m , S2 )*N (0,1)一尺度正態(tài)分布7 .多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量( X ,Y )的分布函數(shù)邊沿分布函數(shù)與邊沿密度函數(shù)8 .連續(xù)型二維隨機(jī)變量(1) 區(qū)域 G 上的均勻分布， U ( G )(2)二維正態(tài)分布9 .二維隨機(jī)變量的條件分布10 .隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望X 的 k 階原點(diǎn)矩X 的 k 階絕對(duì)原點(diǎn)矩X 的 k 階中間矩X 的方差X ,Y 的 k + l 階混合原點(diǎn)矩X ,Y 的 k + l 階混合中間矩X ,Y 的二階混合原點(diǎn)矩X ,Y 的二階混合中間矩X ,Y 的協(xié)方差X ,Y 的相干系數(shù)X 的方差D (X ) = E (X

9、 - E(X)2)協(xié)方差相干系數(shù)線(xiàn)性代數(shù)部分梳理：條理化，給由一個(gè)零碎的，有內(nèi)在無(wú)機(jī)結(jié)構(gòu)的理論體系溝通：突由各部分內(nèi)容間的聯(lián)系 .充實(shí)提高：環(huán)繞考試請(qǐng)求，介紹一些普通教材上沒(méi)有的結(jié)果，教給大家罕見(jiàn)成績(jī)的實(shí)用而簡(jiǎn)捷的方法.大家要有如許的思想籌辦：發(fā)現(xiàn)我的講解在體系上和你之前進(jìn)修的有所分歧，有的方法是你不曉得的.但是我信任，只需你對(duì)它們了解了，把握了，會(huì)提高你的解題能力的.基本運(yùn)算 A B B A A B C A B C c A B cA cB c d A cA dA c dA cd A cA 0 c 0或 A 0.cAT c AT .轉(zhuǎn)置值不變| AT | A逆值變|A1A 1, 2, 3 ,

10、3階矩陣有關(guān)乘法的基本運(yùn)算線(xiàn)性性質(zhì) Ai A2 B AB A2B ,結(jié)合律 ABC A BCABAkBk紛歧定成立!AE AEA AAB 0 AB AC可逆矩陣的性質(zhì)i）當(dāng)A可逆時(shí)，AT也可逆，且AT 1 A1T.Ak也可逆，且Ak 1 A1k數(shù)c 0, cA也可逆，A kE kA, kE A kA與數(shù)的乘法的分歧的地方AB k AkBk紛歧定成立！無(wú)交換律因式分解妨礙是交換性一個(gè)矩陣A的每個(gè)多項(xiàng)式可以因式分解，例如 無(wú)消去律（矩陣和矩陣相乘）當(dāng)AB 0時(shí) A 0或B 0由 A 0 和 AB 0 B 0由A 0時(shí)AB AC B C （無(wú)左消去律）特此外設(shè)A可逆，則A有消去律.左消去律：AB A

11、C B C.右消去律：BA CA B C.如果A列滿(mǎn)秩，則A有左消去律，即B 0B C1_ 11B 1 A 1 .ii) A, B是兩個(gè)n階可逆矩陣AB也可逆，且 AB推論:命題:命題:Aii1000設(shè)A, B是兩個(gè)n階矩陣，則AB E BA E初等矩陣都可逆，且準(zhǔn)對(duì)角矩陣0A2；00Aii0000A2200000Akk可逆 每Ai都可逆，記000Akk1陪伴矩陣的基賦性質(zhì):11 1 AA A(求逆矩陣的陪伴矩陪伴矩陣的其他性質(zhì)|A|n 1 , A* AA AT * A* T cA* cn 1A* , AB* B* A*, Ak * A* k , A* *|A|n 2 An 2 時(shí)， AaA

12、A*關(guān)于矩陣右上肩記號(hào)：T， k，1， *i）任何兩個(gè)的次序可交換,如 AT * A* T，A* s 1, 2,記作線(xiàn)性相干0相干證實(shí)：設(shè)C1, ,Cs,c不全為0,使得G 1 Cs s C 0則其中c。，否則G, ,Cs不全為0, G 1Cs s 0 ,與條件1, , s有關(guān)矛盾.因而 自 1% s.cc當(dāng) 1, , s時(shí)，暗示方式獨(dú)一 1 s有關(guān)（暗示方式不獨(dú)一1 s相干）若1, , t 1, , s,而且t s,則1, , t必定線(xiàn)性相干.證實(shí)：記 A 1, , s , B 1, , t ,則存在s t矩陣C ,使得B AC . A 1 *等ii) AB TBTAT, AB 1 B 1

13、A 1，但ABk BkAk紛歧定成立!線(xiàn)性暗1, 2, sX1 1X2 2xss有解1, 2, , s X 有解 XX1,T ,XsAx 有解，即可用A的列向量組暗示AB,2,s， A2,則1,2,s1, 2,2 , s)則存在矩陣使得t 1, 2,有傳遞s11 , 2,1,2,p.等價(jià)關(guān)系1 , 2,t互相可暗示s 2 ,1, 2相干 對(duì)應(yīng)分量成比例 1, 2相干a1 : b| a2 : b2an : bn向量個(gè)數(shù)s=維數(shù)n,則i, , n線(xiàn)性相（無(wú)）關(guān) | in|0A i, 2, , n , Ax 0有非零解|A 0如果s n,則i, 2, , s必定相干Ax 0的方程個(gè)數(shù)n未知數(shù)個(gè)數(shù)s如

14、果1, 2, , s有關(guān)，則它的每一個(gè)部分組都有關(guān)Cx 0有s個(gè)方程，t個(gè)未知數(shù)，s t,有非零解C 0.如果1, 2, , s有關(guān)，而1, 2, s,相干，則 1, 2, , s則B AC 0,即也是Bx 0的非零解，從而1, , t線(xiàn)性相干.各性質(zhì)的逆否方式如果1, 2, , s有關(guān)，則s n.如果1, 2, , s有相干的部分組，則它本人必定也相干.如果1 s有關(guān)，而 1, , s,則1, , s有關(guān).如果1 t 1 s,1 t有關(guān)，則t s.推論：若兩個(gè)有關(guān)向量組1 s與1 t等價(jià)，則s t.極大有關(guān)組一個(gè)線(xiàn)性有關(guān)部分組I ,若#1等于秩1, 2, 4, 6 I , I就必定是極大有關(guān)

15、組 1, 2, s 有關(guān)1, 2, , s s 1, 2, s1, 2, s,1, s另一種說(shuō)法： 取1, 2, , s的一個(gè)極大有關(guān)組II也是1, 2, , s,的極大有關(guān)組I ,相干.證實(shí)： 1, , sI I ,相干.可用1, , s獨(dú)一暗示1, , s,1, , s s 1, t 1 , s1, s, 1, t1, s1 , , s 1 , , t1 , , s1s, 1 t1 , , t矩陣的秩的簡(jiǎn)單性質(zhì)A行滿(mǎn)秩：r A mA列滿(mǎn)秩：r A n n階矩陣A滿(mǎn)秩：r A nA滿(mǎn)秩 A的行（列）向量組線(xiàn)性有關(guān)A可逆Ax。只要零解，Ax 獨(dú)一解.矩陣在運(yùn)算中秩的變更初等變換堅(jiān)持矩陣的秩 r

16、 AT r A c 0 時(shí)，r cA r A r A B r A r B r AB min r A ,r BA可逆時(shí)，r AB r B弱化條件：如果A列滿(mǎn)秩，則 AB B證：上面證ABx 0與Bx 0同解.是ABx 0的解 AB 0B 0 是Bx 0的解B可逆時(shí)，r AB r A若AB 0 ,貝U r A r B n （ A的列數(shù)，B的行數(shù)）A列滿(mǎn)秩時(shí)r AB r BB行滿(mǎn)秩時(shí)r AB r A rAB n r A r B解的性質(zhì)1 . Ax 0的解的性質(zhì).如果1, 2, , e是一組解，則它們的任意線(xiàn)性組合Ci 1 C2 2Ce e必定也是解.2 . Ax 0如果1, 2, , e是AX 的一

17、組解，則G 1C22Cee 也是 A 的解GC2Ce1G 1C22Cee 是 Ax 0的解 GQCe。特此外：當(dāng)1,2是AX的兩個(gè)解時(shí)，12是Ax 0的解如果。是Ax的解，則n維向量也是Ax 的解0是Ax 0的解.解的情況判別方程：Ax ,即 X 1 x2 2xn n無(wú)量多解 A| a n方程個(gè)數(shù)m :當(dāng) A m時(shí)，A| m,有解當(dāng)m n時(shí),n,不會(huì)是獨(dú)一解對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組Ax 0 ,只要零解 A n （即A列滿(mǎn)秩）（有非零解 A n）特征值特征向量是A的特征值是A的特征多項(xiàng)式|xE A的根.兩種特殊情形：(1) A是上(下)三角矩陣，對(duì)角矩陣時(shí)，特征值即對(duì)角線(xiàn)上 的元素.(2) r A 1

18、時(shí)：A的特征值為0,0, ,0,tr A特征值的性質(zhì)命題：n階矩陣A的特征值 的重?cái)?shù)n r E A命題：設(shè)A的特征值為1, 2, , n,則| 12 n IA 12n tr A-命題：設(shè)是A的特征向量，特征值為，即A ，則對(duì)于A的每個(gè)多項(xiàng)式f A , f A f x當(dāng)A可逆時(shí)，A1工，A* 命題：設(shè)A的特征值為1, 2, , n,則f A的特征值為f 1 ,f 2 , ,f nA可逆時(shí)，A1的特征值為,，上12nA*的特征值為四,叫，兇 12nAT的特征值也是1, 2, , n特征值的利用求行列式|A|1, 2, , n判別可逆性是A的特征值 | E A 0 A E不成逆A E可逆 不是A的特

19、征值.當(dāng)f A 0時(shí)，如果f c 0,則A cE可逆若 是A的特征值，則f是f A的特征值f 0.f c 0 c不是A的特征值 AcE可逆.n階矩陣的類(lèi)似關(guān)系當(dāng) AU UA 時(shí)，B A ,而 AU UA 時(shí)，B A.類(lèi)似關(guān)系有i）對(duì)稱(chēng)性：A B B AU 1AU B ,貝U A UBU 1ii）有傳遞性：ab, bc,則acU 1AU B , V 1BV C ,則命題 當(dāng)AB時(shí)，A和B有很多不異的性質(zhì)A |B A BA, B的特征多項(xiàng)式不異，從而特征值完整分歧.A與B的特征向量的關(guān)系： 是A的屬于 的特征向量U 1是B的屬于的特征向量.正定二次型與正定矩陣性質(zhì)與判別可逆線(xiàn)性變換替換堅(jiān)持正定性f

20、 X1,X2, ,Xn變成g y1,y2, ,yn ,則它們同時(shí)正定或同時(shí)不正AB,則A, B同時(shí)正定，同時(shí)不正定.例如B CTAC .如果A正定，則對(duì)每個(gè)x 0（C 可逆，X 0, Cx 0!）我們給由關(guān)于正定的以下性質(zhì)A正定 AE存在實(shí)可逆矩陣C , A CTC .A的正慣性指數(shù)n.A的特征值全大于0.A的每個(gè)順序奴才式全大于 0 .判斷A正定的三種方法：順序奴才式法.特征值法.定義法.基本概念對(duì)稱(chēng)矩陣AT A.反對(duì)稱(chēng)矩陣AT A.簡(jiǎn)單階梯形矩陣：臺(tái)角地位的元素都為1 ,臺(tái)角正上方的元素都為0.如果A是一個(gè)n階矩陣，A是階梯形矩陣A是上三角矩陣，反之紛歧定矩陣消元法：（解的情況）寫(xiě)生增廣矩

21、陣A ,用初等行變換化 A為階梯形矩陣B .用B判別解的情況.i）如果B最上面的非零行為0, ,0d ,則無(wú)解，否則有解.ii）如果有解，記 是B|的非零行數(shù)，則n時(shí)獨(dú)一解.n時(shí)無(wú)量多解iii）獨(dú)一解求解的方法（初等變換法）去掉B的零行，得B0 0 ,它是n n c矩陣，B0是n階梯形 矩陣，從而是上三角矩陣.則bnn 0bn. 0 坊都不為0 .A 行 B r行 E 就是解.aii a12ain一個(gè)n階行列式a21 a22a2n的值：a n1 a n2ann是n!項(xiàng)的代數(shù)和每一項(xiàng)是n個(gè)元素的乘積，它們共有n!項(xiàng)&jia2j2anjn其中jl j2 jn是1,2, ,n的一個(gè)全排列.a

22、lji anjn前面乘的應(yīng)為 1 jlj2 jnjlj2jn的逆序數(shù)代數(shù)余子式Mij為aij的余子式.定理：一個(gè)行列式的值 D等于它的某一行（列），各元素與各自 代數(shù)余子式乘積之和.一行（列）的元素乘上另一行（列）的響應(yīng)元素代數(shù)余子式之和 為0.范德蒙行列式111alalan(aj ai)C；個(gè)乘法相干AB的i,j位元素是A的第i行和B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和.乘積矩陣的列向量與行向量(1)設(shè)m n矩陣Ai, 2, , n , n維列向量 “b, hT,則矩陣乘法利用于方程組方程組的矩陣方式Ax ,bi,b2, ,bmT方程組的向量方式(2)設(shè) AB C ,AB的第i個(gè)列向量是A的列向量組的線(xiàn)

23、性組合，組合系數(shù)是B的第i個(gè)列向量的各分量.AB的第i個(gè)行向量是B的行向量組的線(xiàn)性組合，組合系數(shù)是A的第i個(gè)行向量的各分量.矩陣分解當(dāng)矩陣C的每個(gè)列向量都是 A的列向量的線(xiàn)性組合時(shí)，可把 C分 解為A與一個(gè)矩陣B的乘積特此內(nèi)在有關(guān)對(duì)角矩陣的乘法中的若干成績(jī)對(duì)角矩陣從右邊乘一矩陣A ,即用對(duì)角線(xiàn)上的元素順次乘A的各列向量對(duì)角矩陣從左邊乘一矩陣A ,即用對(duì)角線(xiàn)上的元素順次乘A的各行向量因而 AE A , EA AA kE kA , kE A kA兩個(gè)對(duì)角矩陣相乘只須把對(duì)角線(xiàn)上對(duì)應(yīng)元素相乘對(duì)角矩陣的k次方哥只須把每個(gè)對(duì)角線(xiàn)上元素作 k次方哥 對(duì)一個(gè)n階矩陣A ,規(guī)定tr A為A的對(duì)角線(xiàn)上元素之和稱(chēng)為

24、 A的跡 數(shù).因而 T k T k 1 T tr T k1 T T tr T其他方式方陣的高次嘉也有規(guī)律1 0 1例如：A 0 2 0 1 0 1 初等矩陣及其在乘法中的感化(1) E i, j ：交換E的第i, j兩行或交換E的第i, j兩列(2) Ei(c)：用數(shù)c 0乘E的第i行或第i列(3) Ei,j(c):把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列 的c倍加到第j列上.初等矩陣從左(右)側(cè)乘一個(gè)矩陣A等同于對(duì)A作一次相當(dāng)?shù)某醯刃?列)變換乘法的分塊法則普通法則：在計(jì)算兩個(gè)矩陣 A和B的乘積時(shí)，可以先把 A和B用 縱橫線(xiàn)分割成若干小矩陣來(lái)進(jìn)行，請(qǐng)求A的縱向分割與B的橫向分割分歧.兩

25、種經(jīng)常使用的情況(1) A,B都分成4塊A11A12B11B12B22其中Al的列數(shù)和Bij的行數(shù)相等，A2的列數(shù)和B2j的行數(shù)相干.(2)準(zhǔn)對(duì)角矩陣矩陣方程與可逆矩陣兩類(lèi)基本的矩陣方程(都需求A是方陣，且A 0)(I)的解法：(II)的解法，先化為ATxT BT.AT BTE xT .通過(guò)逆求解：Ax B, x A1B可逆矩陣及其逆矩陣定義：設(shè)A是n階矩陣，如果存在 n階矩陣H ,使得AH E,且 HA E,則稱(chēng)A是可逆矩陣，稱(chēng)H是A的逆矩陣，證作A1.定理：n階矩陣A可逆|A 0求A 1的方程(初等變換法)陪伴矩陣線(xiàn)性暗示可以用1, 2, , s線(xiàn)性暗示，即可以暗示為1, 2, , s的線(xiàn)

26、性組合，也就是存在C1,C2, ,Cs使得 Ci 1 C2 2 Cs st 己號(hào)：1, 2, , s線(xiàn)性相干性線(xiàn)性相干：存在向量i可用其它向量1, , i1, i1, , s線(xiàn)性暗示.線(xiàn)性有關(guān)：每個(gè)向量 i都不克不及用其它向量線(xiàn)性暗示定義：如果存在不全為0的 C 0,使得G 1 C2 2Cs s 0則稱(chēng)1, 2, , s線(xiàn)性相干，否則稱(chēng)1, 2, , s線(xiàn)性有關(guān)即：1, 2, , s線(xiàn)性相（無(wú)）關(guān)X1 1Xs s 0有（無(wú)）非零解1.2, , s X 0有（無(wú)）非零解極大有關(guān)組和秩定義：1, 2, , s的一個(gè)部分組I稱(chēng)為它的一個(gè)極大有關(guān)組，如果滿(mǎn)足：i） I線(xiàn)性有關(guān).ii） I再擴(kuò)大就相干.

27、定義：規(guī)定1, 2, , s的秩 1, 2, , s # I .如果1, 2, , s每個(gè)元素都是零向量，則規(guī)定其秩為0.有不異線(xiàn)性關(guān)系的向量組定義：兩個(gè)向量若有不異個(gè)數(shù)的向量:而且向量方程1 , 2 , s , 1 , 2 , s)X1, 1X22Xss。與X11X22 Xs s 0同解，則稱(chēng)它們有不異的線(xiàn)性關(guān)系.對(duì)應(yīng)的部分組有分歧的相干性.1, 2, 4的對(duì)應(yīng)部分組1, 2, 4,若1, 2, 4相干，有不全為。的G,C2,C4使得c2 2C4 40，即 01,02,0,04,0, ,0 是 x1 1x2 2xs0的解,從而也是x 1x2 2xs s 0的解,則有c2 2c4 40，2,3

28、也相干.極大有關(guān)組絕對(duì)應(yīng)，從而秩相等有分歧的內(nèi)在線(xiàn)暗示關(guān)系 設(shè)：Axs sxs s0 即 Bx 0., s有不異的線(xiàn)性關(guān)系即Ax0與Bx 0同解.反之，當(dāng)Ax 0與Bx 0同解時(shí)，A和B的列向量組有不異的線(xiàn)性關(guān)系.矩陣的秩定理：矩陣A的行向量組的秩=列向量組的秩規(guī)定r A行（列）向量組的秩.rA的計(jì)算：用初等變換化 A為階梯形矩陣B,則B的非零行數(shù)即命題:r A A的非零子式階數(shù)的最大值方程組的表達(dá)方式1.anXa12x2a1 n xn6a21 x1a22x2a2nxnb2a m1 x1am2x2amn xnbm2, Ax 是解 A3. x1 1x2 2xn n有解基礎(chǔ)解系和通解1 . Ax

29、0有非零解時(shí)的基礎(chǔ)解系0的基礎(chǔ)解系的條件:每個(gè)i都是Ax0的解,e線(xiàn)性有關(guān)Ax。的每個(gè)解通解如果是Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則Ax 0的通解為C1 1C2 2CeG任意如果0是Ax0的一個(gè)解,是Ax 0的基礎(chǔ)解系,則Ax的通解為Ci任意0 G 1C2 2特征向量與特征值定義：如果 0,而且A與 線(xiàn)性相干，則稱(chēng) 是A的一個(gè)特征 向量.此時(shí)，無(wú)數(shù) ，使得A ，稱(chēng)為 的特征值.設(shè)A是數(shù)量矩陣E,則對(duì)每個(gè)n維列向量,A ,因而，任何 非零列向量都是 E的特征向量，特征值都是特征值無(wú)限特征向量無(wú)量多若 A , A c cA c c每個(gè)特征向量有獨(dú)一特征值，而有很多特征向量有不異的特征值.計(jì)算時(shí)先求特征值，后

30、求特征向量.特征向量與特征值計(jì)算是E Ax 0的非零解命題：是A的特征值 | E A 0 是屬于 的特征向量是E Ax。的非零解稱(chēng)多項(xiàng)式xE A為A的特征多項(xiàng)式.是A的特征值是A的特征多項(xiàng)式|xE A的根.的重?cái)?shù)：作為xE A的根的重?cái)?shù).n階矩陣A的特征值有n個(gè)：1, 2, 一可能其中有的不是實(shí)數(shù)，有的是多重的.計(jì)算步調(diào)：求生特征多項(xiàng)式xE A .求xE A的根，得特征值.對(duì)每個(gè)特征值、求iE Ax 0的非零解，得屬于i的特征向小.n階矩陣的類(lèi)似關(guān)系設(shè)A, B是兩個(gè)n階矩陣.如果存在n階可逆矩陣U,使得U 1AU B,則稱(chēng)A與B類(lèi)似，記作AB.n階矩陣的對(duì)角化基本定理A可對(duì)角化 A有n個(gè)線(xiàn)性有

31、關(guān)的特征向量.設(shè)可逆矩陣U 1, 2, , n ,則i 1,2, ,n判別法則A可對(duì)角化 對(duì)于A的每個(gè)特征值 , 的重?cái)?shù)n E A .計(jì)算：對(duì)每個(gè)特征值i ,求生iE Ax 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，把它們合在一路，得到n個(gè)線(xiàn)性有關(guān)的特征向量，1, ,n.令 U 1, 2, , n ,則1000U 1AU0 ； 0 0 ,其中i為i的特征值.000 n二次型（實(shí)二次型）二次型及其矩陣一個(gè)n元二次型的普通方式為只要平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)為尺度二次型.形如：x2 x2 xP xPi xpq的n元二次型稱(chēng)為規(guī)范二次型. 對(duì)每個(gè)n階實(shí)矩陣A,記x x1,x2,兇T ,則xTAx是一個(gè)二次型. 稱(chēng)A的秩A為這個(gè)二次型

32、的秩.尺度二次型的矩陣是對(duì)角矩陣 .規(guī)范二次型的矩陣是規(guī)范對(duì)角矩陣.可逆線(xiàn)性變量替換設(shè)有一個(gè)n元二次型f x1,x2, ,xn ,引進(jìn)新的一組變量yi,y2, ,yn,并把x1，x2,£用匕們暗小.xiCiiyiCi2 y2CinynC11C12Cinx2C21 yic22y2C2nyn（并請(qǐng)求矩陣Cc2ic22c2n是可逆矩xnCni yiCn2 y2CnnYnCniCn2Cnn代入f Xi,X2, ,Xn ,得到y(tǒng)i, ,yn的一個(gè)二次型g yi, ,yn如許的操縱稱(chēng)為對(duì)f Xi Xn作了一次可逆線(xiàn)性變量替換.設(shè)Y yi,y2, ,ynT,則上面的變換式可寫(xiě)成則 f Xi Xn

33、XT Ax YTCTACY g y， *因而g yi, yn的矩陣為CTac實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的合同兩個(gè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A和B,如果存在n階實(shí)可逆矩陣C,值得CTAC B.稱(chēng)A與B合同，記作AB.命題：二次型f Xi Xn XT AX可用可逆線(xiàn)性變換替換化為二次型的尺度化和規(guī)范化i .每個(gè)二次型都可以用可逆線(xiàn)性變量替換化為尺度二次型和 規(guī)范二次型.也就是每個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣都會(huì)同于對(duì)角矩陣和規(guī)范對(duì)角矩陣.設(shè)A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在正交矩陣Q,使得D QMQ是對(duì)角矩陣.QTAQ Q iAQ D A D , A D2 .尺度化和規(guī)范化的方法正交變換法配方法3 .慣性定理與慣性指數(shù)定理：一個(gè)二次型用可逆線(xiàn)性變換替

34、換化由的尺度形的各個(gè) 平方項(xiàng)的系數(shù)中，大于 0的個(gè)數(shù)和小于0的個(gè)數(shù)是由原二次型所決定的，分別稱(chēng)為原二次型的正、負(fù)慣性指數(shù) .一個(gè)二次型化由的規(guī)范二次型在方式上是獨(dú)一的，也即響應(yīng)的規(guī) 范對(duì)角矩陣是獨(dú)一的.用矩陣的說(shuō)話(huà)來(lái)說(shuō)：一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A合同于獨(dú)一規(guī)范對(duì)角矩陣.定理：二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)在可逆線(xiàn)性變量替換下不變；兩個(gè)二次型可互相轉(zhuǎn)化的充要條件是它們的正、負(fù)慣性指數(shù) 相等.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)就等于正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù).正定二次型與正定矩陣定義：一個(gè)二次型f Xi,X2, ,Xn稱(chēng)為正定二次型，如果當(dāng) Xi, ,Xn 不全為0時(shí)， f Xi,X2, ,Xn 0.例如，尺度二次型 f Xi

35、,X2, ,Xn diXi2 d2x2dnx2 正定di 0, i 1, ,n（須要性""，取Xi 1 , X2Xx 0 ,此時(shí)f 1,0, ,0 di 0同樣可證每個(gè) di 0）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定 即二次型XTAX正定，也就是：當(dāng)X 0時(shí)，xtAx 0.1000例如實(shí)對(duì)角矩陣0 02 0 0正定 i 0, i i, ,n000 n定義：設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，記Ar是A的東南角的r階小方陣，稱(chēng) Ar為A的第r個(gè)順序奴才式（或r階順序奴才式）.附錄一 內(nèi)積，正交矩陣，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化.向量的內(nèi)積1.定義兩個(gè)n維實(shí)向量，的內(nèi)積是一個(gè)數(shù)，記作 ，規(guī)定為它們對(duì)應(yīng)分量乘積之和aibi設(shè)a

36、2,b2,則anbn2 .性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性：,雙線(xiàn)性性質(zhì)：12,aibia2 b2anbnn正交性：，0,且，00 ,ai2i 13 .長(zhǎng)度與正交 n向量的長(zhǎng)度ii l a a2 -i 1單位向量：長(zhǎng)度為1的向量210 萬(wàn)0,1,。，0022若 0,則口是單位向量，稱(chēng)為的單位化.口 p| | 1兩個(gè)向量，如果內(nèi)積為0:0,稱(chēng)它們是正交的.如果n維向量組1, 2, , s兩兩正交，而且每個(gè)都是單位向量,則稱(chēng)為單位正交向量組例1.如果向量組1, 2, , s兩兩正交，而且每個(gè)向量都不為零 向量，則它們線(xiàn)性有關(guān).證：記A 1, 2, , s ,則貝 U r AT A s, r A s 即 r 1, , s

37、 s.例2.若A是一個(gè)實(shí)的矩陣，則r ATA r A .二.正交矩陣一個(gè)實(shí)n階矩陣A如果滿(mǎn)足AAT E ,就稱(chēng)為正交矩陣.AT A1定理A是正交矩陣A的行向量組是單位正交向量組 .A的列向量組是單位正交向量組 .例3.正交矩陣A堅(jiān)持內(nèi)積，即證：A , ATATAT ,1例4. ( 04) A是3階正交矩陣，而且a11 1,求Ax 0的解.0三.施密特正交化方法 這是把一個(gè)線(xiàn)性有關(guān)的向量組改造為與之等價(jià)的單位正交向量組 的方法.線(xiàn)性有關(guān)正交化：令1(設(shè) 22 k 11正交.)單位化：令11_一1一2_ I )則1, 2, 3是與1, 23等價(jià)的單位正交向量組四實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化設(shè) A 是一個(gè)實(shí)的

38、對(duì)稱(chēng)矩陣，則 A 的每個(gè)特征值都是實(shí)數(shù).對(duì)每個(gè)特征值 ，重?cái)?shù) n r E A .即 A 可以對(duì)角化 .屬于分歧特征值的特征向量互相正交 .因而：存在正交矩陣Q,使得Q1AQ是對(duì)角矩陣.對(duì)每個(gè)特征值 ，找E A x 0 的一個(gè)單位正交基礎(chǔ)的解，合在一路構(gòu)造正交矩陣 .設(shè)A是6階的有3個(gè)特征值i （二重），2 （三重），i （-重）找 1的2個(gè)單位正交特征向量1, 2.找 2 的 3個(gè)單位正交特征向量3, 4, 5 .找 3 的一個(gè)單位特征向量6 .例5. （04） A是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，r A 2, 6是它的一個(gè)二重特征值，1 212 ， 1 和 2 都是屬于 6 的特征向量.013（ 1）求 A

39、 的另一個(gè)特征值.（ 2）求 A .解：（1）另一個(gè)特征值為0 .x1（ 2）設(shè)x2 是屬于 0 的特征向量，則x3此方程組 n 3 ， r A 2 ， n r A 1，基礎(chǔ)解系包含一個(gè)解，任何兩個(gè)解都相干.因而，每個(gè)非零解都是屬于 0的特征向量. 11010113 110 111是一個(gè)解.1 2 30 0 01附錄二向量空間1. n維向量空間及其子空間記為Rn由全部n維實(shí)向量構(gòu)成的集合，這是一個(gè)規(guī)定了加法和數(shù)乘這兩種線(xiàn)性運(yùn)算的集合，我們把它稱(chēng)為 n維向量空間.設(shè)V是Rn的一個(gè)子集，如果它滿(mǎn)足(1)當(dāng)1, 2都屬于V時(shí)，12也屬于V.(2)對(duì)V的每個(gè)元素 和任何實(shí)數(shù)c , c也在V中.則稱(chēng)V為