1、一、判斷題1. 是三階微分方程. （）2. 是四階微分方程. （）3. 設(shè)函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)存在，則在點可微. （）4. 設(shè)函數(shù)在點的可微，則在點偏導(dǎo)數(shù)存在. （）5. 二重積分表示以曲面為頂以區(qū)域為底的曲頂柱體的體積. （） 6. 若二重積分表示以曲面為頂，以區(qū)域為底的曲頂柱體的體積. （）7. 若級數(shù)收斂，則 （）8. 若級數(shù)收斂. （）9. 若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂. （）10. 若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂. （）二、填空題1. -2e-x2 + C ，其中C為任意常數(shù) .2. 函數(shù)定義域為 x，y| x2 + y2 > 16 .3. 等于 02dx0x-2f（x,y）dy .4. 級

2、數(shù)收斂性為 發(fā)散 （填“收斂”、“發(fā)散”或“無法判斷斂散性”）.5. 級數(shù)收斂性為 收斂 （填“收斂”、“發(fā)散”或“無法判斷斂散性”）.6. 級數(shù) 無法判斷斂散性（P>1時收斂，P1時發(fā)散） .三、解答題1. 解：由題可知該方程是一個一階線性方程那么 p(x) = 2x , q(x) = 2xe-x2 由公式 y = e-p(x)dx( C + q(x)ep(x)dxdx ) 可得該方程的通解y = e-2x（ C + 2xe-x2ex2dx ） = e-2x（ C + x2 ） 該微分方程的通解是y = e-2x（ C + x2 ），其中C為任意常數(shù)2. 求微分方程的通解.解：由題可知

3、該方程是二階常系數(shù)線性齊次方程而該方程的特征方程為 r2-r-6=0 該特征方程有兩實根即 r1,2=-(-1)2±(-1)2-4(-6)2 可得 r1=2, r2=-3 該微分方程的通解是 y = C1e2x + C2e-3x ，其中C1 , C2為任意常數(shù)3. 求由方程所確定的隱函數(shù)的全微分.解：全微分方程 dz = zx'dx + zy'dy令原式 x2+y2+z2-4z=F 可得Fx'=2x , Fy'=2y , Fz'=2z-4又 zx' = - Fx'Fz' = - 2x2z-4 = - xz-2同理 zy&

4、#39; = - Fy'Fz' = - 2y2z-4 = - yz-2再將zx' ，zy' 代入全微分方程，則可得到該方程的全微分即 dz = - xz-2dx - yz-2dy4. 若，其中求z的兩個偏導(dǎo)數(shù).解：令u = x2-y2，v = xy 那么 zx' = zx = zuux + zvvx = zu'*2x +zv'*y同理 zy' = zy = zuuy + zvvy = -zu'*2y +zv'*xz的兩個偏導(dǎo)數(shù)分別為zx' = 2xzu' + yzv' ，zy' =

5、-2yzu' + xzv'5. 計算二重積分，解：D區(qū)域為如右圖所示的陰影部分原式 = 010xx2ydxdy = 01dx0xx2ydy = 0112x2y21xdx = 110 二重積分x2yd = 1106. 計算二重積分，解：D區(qū)域為右圖所示的陰影部分由于是環(huán)形區(qū)域，所以可以用極坐標來表示即 2r4 ，02 ，而被積函數(shù)則可寫成 f(rcos,rsin) = r2cos 2 那么原式 = 02d24r2cos 2rdr =02cos 2d24r3dr = 2 + sin24 02 r4424 = 607. 判定級數(shù)的收斂性.解：原式 = limn13*5+ 15*7+12n+1(2n+3) = lim