1、第三章第三章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型3-1 3-1 設(shè)計變量設(shè)計變量3-2 3-2 約束條件約束條件3-3 3-3 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)3-4 3-4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型3-5 3-5 數(shù)學(xué)模型的幾何描述數(shù)學(xué)模型的幾何描述3-6 3-6 優(yōu)化設(shè)計的迭代過程及終止準(zhǔn)則優(yōu)化設(shè)計的迭代過程及終止準(zhǔn)則 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學(xué)表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)。3-1設(shè)計變量設(shè)計變量一、設(shè)計變量一、設(shè)計變量設(shè)計變量：在優(yōu)化設(shè)計過程中是變化的，設(shè)計變量：在優(yōu)化設(shè)計過程中是變化的，需要優(yōu)選

2、的需要優(yōu)選的 量。量。設(shè)計參數(shù)：在優(yōu)化設(shè)計過程中保持不變設(shè)計參數(shù)：在優(yōu)化設(shè)計過程中保持不變或預(yù)先確定或預(yù)先確定 數(shù)值。數(shù)值。 可以是幾何參數(shù)：例，尺寸、外形、可以是幾何參數(shù)：例，尺寸、外形、位置位置 運動學(xué)參數(shù)：運動學(xué)參數(shù)： 例，位移、速度、加例，位移、速度、加速度速度 動力學(xué)參數(shù)：動力學(xué)參數(shù)： 例，力、力矩、應(yīng)力例，力、力矩、應(yīng)力 其它物理量：其它物理量： 例，質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、例，質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、頻率、撓度頻率、撓度 非物理量：非物理量： 例，效率、壽命、本例，效率、壽命、本錢錢設(shè)計向量：用設(shè)計向量：用 X =x1, x2 , X =x1, x2 , ,x nT ,x nT 表表示，示， 是

3、定義在是定義在 n n 維歐氏空間中維歐氏空間中的一個向量。的一個向量。二、設(shè)計點與設(shè)計空間二、設(shè)計點與設(shè)計空間設(shè)計點設(shè)計點: X(k): X(k)（x1(k), x2 (k), x1(k), x2 (k), ,x ,x n(k)n(k)）：）： 是設(shè)計向量是設(shè)計向量X(k)X(k)的端點，代表設(shè)的端點，代表設(shè)計空間中的一個點，也代表第計空間中的一個點，也代表第 k k 個設(shè)個設(shè)計方案?？赡苁强尚蟹桨浮⒁部赡懿皇怯嫹桨?。可能是可行方案、也可能不是可行方案?？尚蟹桨?。設(shè)計空間設(shè)計空間 Rn Rn ： 以以x1, x2 , x1, x2 , ,xn ,xn 為坐標(biāo)軸，構(gòu)成為坐標(biāo)軸，構(gòu)成 n n 維

4、歐氏實空間維歐氏實空間RnRn。它包含了所有可。它包含了所有可能的設(shè)計點，即所有設(shè)計方案。能的設(shè)計點，即所有設(shè)計方案。維歐氏空間維歐氏空間: : 由于工程設(shè)計中的設(shè)計變量都是由于工程設(shè)計中的設(shè)計變量都是實數(shù)，所以稱這種設(shè)計空間為歐式空間實數(shù)，所以稱這種設(shè)計空間為歐式空間三、連續(xù)量與離散量三、連續(xù)量與離散量 一般來說，設(shè)計變量大多是一些一般來說，設(shè)計變量大多是一些連續(xù)變化的量。連續(xù)變化的量。 但在機械設(shè)計中，有些變量也可但在機械設(shè)計中，有些變量也可能是跳躍式的量。例如齒輪的齒數(shù)必能是跳躍式的量。例如齒輪的齒數(shù)必須為整數(shù)，模數(shù)必須符合國家標(biāo)準(zhǔn)所須為整數(shù)，模數(shù)必須符合國家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的值，軸承的尺寸必

5、須符合產(chǎn)品規(guī)定的值，軸承的尺寸必須符合產(chǎn)品樣本中所規(guī)定的值等。凡屬這類跳躍樣本中所規(guī)定的值等。凡屬這類跳躍式的量稱為離散量。式的量稱為離散量。 對于離散設(shè)計變量，在優(yōu)化設(shè)計對于離散設(shè)計變量，在優(yōu)化設(shè)計過程中常常把它們視作連續(xù)量，在求過程中常常把它們視作連續(xù)量，在求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進行圓整或得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個實用的最優(yōu)方案。標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個實用的最優(yōu)方案。3-2 約束條件約束條件 設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這些設(shè)計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計。 一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約

6、束條件，簡稱約束。一、設(shè)計約束的類型一、設(shè)計約束的類型(1) (1) 約束又可按其數(shù)學(xué)表達形式分成等約束又可按其數(shù)學(xué)表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。式約束和不等式約束兩種類型。(2) (2) 根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成： 性能約束性能約束針對性能要求而提出針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；穩(wěn)定性等要求； 邊界約束邊界約束只是對設(shè)計變量的取只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。值范圍加以限制的約束稱作邊界

7、約束。例如，允許機床主軸選擇的尺寸范圍，例如，允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。(3) (3) 顯式約束顯式約束 隱式約束隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式形式 , ,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)變形、應(yīng)如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得?？尚杏颍嚎尚杏颍?在可行域內(nèi)任意一點稱為可行設(shè)計點內(nèi)點

8、），在可行域內(nèi)任意一點稱為可行設(shè)計點內(nèi)點），代表一個可行方案代表一個可行方案, , 可行設(shè)計點的集合可行設(shè)計點的集合D D稱為可行設(shè)稱為可行設(shè)計區(qū)域。計區(qū)域。非可行域：非可行域： 在可行域外的點稱為非可行設(shè)計點外點），代在可行域外的點稱為非可行設(shè)計點外點），代表不可采用的設(shè)計方案，這種設(shè)計點的集合為非可行表不可采用的設(shè)計方案，這種設(shè)計點的集合為非可行域。域。二、可行域和非可行域二、可行域和非可行域3-3 3-3 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 為了對設(shè)計進行定量評價，必須構(gòu)造包含設(shè)計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。 12( )()nF xF xxx， ， ， 在優(yōu)化過程中，通過

9、設(shè)計變量的不斷向F(X)值改善的方向自動調(diào)整，最后求得F(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計變量，所有的設(shè)計變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設(shè)計中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負(fù)荷最小等等。 在最優(yōu)化設(shè)計問題中，可以只有一個目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計中要提出多個目標(biāo)函數(shù)時，這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設(shè)計中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。3-4 3-4 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型綜上所述，最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型一般表示如下

10、：對于無約束最優(yōu)化問題：min()nF XXR式中， 表示n維實歐氏空間。nR對于約束最優(yōu)化問題：min() X :()0 , 1,2,.,()0 , v=1,2.,qnuvF XDRD gXuph X 式中D表示由p個不等約束條件和q個等約束條件所規(guī)定的可行域。通過最優(yōu)化方法求得的一組最優(yōu)設(shè)計變量：12* *,*,*nXxxx 表示了一個最優(yōu)化的設(shè)計方案，稱為最優(yōu)設(shè)計點。對應(yīng)于該設(shè)計方案的目標(biāo)函數(shù)為：12*(*)( *,*,*)nFF XF xxx稱為最優(yōu)化值。稱為最優(yōu)化值。最優(yōu)點和最優(yōu)值兩者構(gòu)成了一個優(yōu)化問題的最優(yōu)解。最優(yōu)點和最優(yōu)值兩者構(gòu)成了一個優(yōu)化問題的最優(yōu)解。在數(shù)學(xué)模型中，若目標(biāo)函數(shù)F

11、X和約束函數(shù) 和 都是設(shè)計變量 的線性函數(shù)，這樣的優(yōu)化問題常稱為線性規(guī)劃問題，否則稱為非線性規(guī)劃問題。()ugX()vh X12*,*,*nxxx3-5數(shù)學(xué)模型的幾何描述數(shù)學(xué)模型的幾何描述 為了進一步說明最優(yōu)化問題的一些基本概念，下面再對它作必要的幾何描述，以便比較直觀地、形象化地理解它。先以一個二維優(yōu)化問題為例。 設(shè)有一個約束最優(yōu)化問題，數(shù)學(xué)模型如下：22121211222123142min(44)()20 ()10 ()0 ()0 xxxXDRDg XxxgXxxgXxgXx ： 對于這樣一個優(yōu)化問題，可用下圖的幾何圖形來說明幾個基本概念。3-6 3-6 優(yōu)化設(shè)計的迭代過程優(yōu)化設(shè)計的迭代過

12、程 及終止準(zhǔn)則及終止準(zhǔn)則一一 、迭代過程與迭代格式、迭代過程與迭代格式 為了適應(yīng)電子計算機的工作特點，要求最優(yōu)化方法具有下列性質(zhì)： 數(shù)值計算，而不是解析方法；數(shù)值計算，而不是解析方法； 具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)，并能進行反復(fù)的運算過程：具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)，并能進行反復(fù)的運算過程： 不要求獲得精確解，而只要求有足夠精度的近似解。不要求獲得精確解，而只要求有足夠精度的近似解。 滿足上述要求的計算過程或計算方法就是所謂的數(shù)值迭代過程 或 數(shù)值迭代方法。 數(shù)值迭代的基本思想是：從某一個選定的初始點 出發(fā)，按照某種最優(yōu)化方法所規(guī)定的原則，確定適當(dāng)?shù)姆较蚝筒介L，獲得第一個新的修改設(shè)計點 ，計算此點的目標(biāo)函數(shù)值

13、使?jié)M足：(0)X(1)X(1)()F X(1)(0)()()F XF X(1)X(2)X最終達到與理論最優(yōu)點X*非常逼近的近似最優(yōu)點X*。(1)( )( )kkkXXX (1)( )( )111(1)( )( )222(1)( )( )333kkkkkkkkkxxxxxxxxx 式中的 就是以 為新起始點，沿著一定的方向 以一定的步長 確定下一個設(shè)計點 的改進迭代矢量。由此可知，每一步迭代格式可寫作：(k)X(k)X(k)S(k+1)X(1)( )( )( )kkkkXXaS 第n步迭代計算的步長。(k)a二、優(yōu)化方法的分類二、優(yōu)化方法的分類 目前已有的最優(yōu)化方法很多，各種方法的區(qū)別就在于確定

14、方向S和步長a的方法不同。這些方法可大致歸納為兩大類：1直接搜索法 這種方法只需要進行函數(shù)的計算與比較來確定優(yōu)化的方向和步長。2間接法 這種方法需要利用函數(shù)的一階或二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣來確定優(yōu)化方向和優(yōu)化步長。 由于大多數(shù)工程設(shè)計問題的設(shè)計變量比較多，函數(shù)形式也比較復(fù)雜，不易求得一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，因此在實際應(yīng)用中，直接搜索法更受工程界的歡迎。 但不論何種具體的優(yōu)化算法，它們在確定方向和步長時都應(yīng)具有以下共同之點：（1所選擇的優(yōu)化方向S是比較容易計算的；（2所選擇的優(yōu)化方向應(yīng)盡可能指向目標(biāo)函數(shù)FX的極小點， 至少在每一個迭代點 附近是指向FX的極小點；（3所選的步長a應(yīng)在已定方向上使目標(biāo)函數(shù)達到極小，

15、或者至 少使目標(biāo)函數(shù)值肴所下降。(k)X三、迭代點列的收斂條件和終止準(zhǔn)則三、迭代點列的收斂條件和終止準(zhǔn)則1點列收斂的柯西準(zhǔn)則若某種迭代過程所選擇的設(shè)計點序列為： 若點列是收斂的，即存在極限：點列 收斂的必要與充分條件是，對于任意指定的足夠小的正數(shù)，存在著自然數(shù)N，使得當(dāng)兩個自然數(shù)m和p大于N時滿足： 滿足上述條件的點列稱為基本序列，這個條件叫做點列收斂的柯西準(zhǔn)則。收斂條件式也可寫作：( ), 0,1,2.kXk ( )*limkkXX()()mpXX2()( )1nmpiiiXX2、優(yōu)化計算的終止準(zhǔn)則通常采用的計算終止準(zhǔn)則有以下幾種形式：（1 1當(dāng)兩相鄰的迭代點當(dāng)兩相鄰的迭代點 和和 之間的距離足夠小時用矢量之間的距離足夠小時用矢量的長度來表示，即為：的長度來表示，即為： 也可以用矢量長度在各坐標(biāo)軸上的分量來表示，即：也可以用矢量長度在各坐標(biāo)軸上的分量來表示，即： ()( )2(1)( )1 mpnkkiiiXXXX或(1)( ), =1,2,kkiiXXin （2當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的下降量已達到充分小時，即： 也可以用目標(biāo)函數(shù)值的相對下降量達到充分小時來表示，即： (1)( )()()kkF XF X(1)( )(1)()()()kkkF XF XF X （3當(dāng)?shù)c的目標(biāo)函數(shù)梯度達到充分小時，即： 但是這種判別準(zhǔn)則很可能把駐點作為最優(yōu)值點輸出，這是