1、Riemann 猜想漫談 （十二 ）作者：盧昌海Montgomery關(guān)于RiemannZ函數(shù)非平凡零點(diǎn)分布的論文于 1973年發(fā) 表在了美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的系列出版物純數(shù)學(xué)專題討論文集（Proc.Symp.PureMath.上。但最初幾年里它并沒(méi)有吸引多少眼球，因 為這種存在于零點(diǎn)分布與隨機(jī)矩陣?yán)碚撝g的關(guān)聯(lián)無(wú)論有多么奇妙， 在當(dāng)時(shí)都還只是一個(gè)純粹的猜測(cè)， 既沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明， 也沒(méi)有直 接的數(shù)值證據(jù)。我們?cè)诘谑?、十四兩?jié)中曾經(jīng)介紹過(guò)對(duì)Riema nnZ函數(shù)非平凡零點(diǎn)進(jìn)行大規(guī)模計(jì)算的部分歷史。在Montgomery的論文發(fā)表之初， 人們對(duì)零點(diǎn)的計(jì)算還只進(jìn)行到幾百萬(wàn)個(gè)， 而且如我們 在第十五節(jié)中所

2、說(shuō)一一那些計(jì)算大都只是驗(yàn)證了 前N個(gè)零點(diǎn)”位于 臨界線上，卻不曾涉及零點(diǎn)的具體數(shù)值。既然沒(méi)有具體數(shù)值，自然也 就無(wú)法用來(lái)檢驗(yàn) Montgomery 的對(duì)關(guān)聯(lián)假設(shè)了。更何況 如我們?cè)?第十六節(jié)中所說(shuō) 為了檢驗(yàn)后者，我們需要研究虛部很大的零點(diǎn)， 這顯然也是當(dāng)時(shí)的計(jì)算所遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能觸及的。因此當(dāng)時(shí)就連 Montgomery 自己也覺得對(duì)他的猜測(cè)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證將是極為遙遠(yuǎn)的將 來(lái)的事情。但是Montgomery和我們?cè)诘谑墓?jié)中提到過(guò)的那位輸?shù)袅似咸丫频?Zagier 一樣大大低估了計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的發(fā)展速度。在 Montgomery 的論文發(fā)表五年之后的某一天， 他又來(lái)到了普林斯頓。 不過(guò)這次不是為了覲見Sel

3、berg,而是來(lái)做一個(gè)有關(guān)Riemann函數(shù)零 點(diǎn)分布的演講。在那次演講的聽眾中有一位來(lái)自 32英里外的貝爾實(shí) 驗(yàn)室(BellLabs)的年輕人，他被Montgomery所講述的零點(diǎn)分布與隨機(jī) 矩陣?yán)碚撻g的關(guān)聯(lián)深深地吸引住了。 這位年輕人所在的實(shí)驗(yàn)室恰好擁 有當(dāng)時(shí)著名的 Cray 巨型計(jì)算機(jī)。這位年輕人就是我們?cè)诘谑?jié)中 提到的 Odlyzko。普林斯頓真是 Montgomery 的福地，五年前與 Dyson 在這里的相遇， 使他了解到了零點(diǎn)分布與隨機(jī)矩陣?yán)碚撝g的神秘關(guān)聯(lián)， 從而為他的 研究注入了一種奇異的魅力。 五年后又是在這里， 這種奇異的魅力打 動(dòng)了 Odlyzko，從而有了我們?cè)诘?/p>

4、十六節(jié)中介紹過(guò)的 Odlyzko對(duì)Rieman nZ函數(shù)非平凡零點(diǎn)的大規(guī)模計(jì)算分析。這些計(jì)算為Montgomery 所猜測(cè)的零點(diǎn)分布與隨機(jī)矩陣?yán)碚撻g的關(guān)聯(lián)提供了大量 的數(shù)值證據(jù) 注一 。這種關(guān)聯(lián)， 即經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臍w一化之后的 RiemannZ 函數(shù)非平凡零點(diǎn)的間距分布與 Gauss幺正系綜(參閱第十八節(jié))的本征 值間距分布相同，也因此漸漸地被人們稱為了 Montgomery-Odlyzko 定律(Montgomery-OdlyzkoLaw)注二。Montgomery-Odlyzko定律雖然是用Gauss幺正系綜來(lái)表述的，但我 們?cè)诘谑斯?jié)中曾經(jīng)提到過(guò)， 隨機(jī)矩陣?yán)碚摰谋菊髦捣植荚诰仃囯A數(shù)Nx時(shí)具

5、有普適性。因此Montgomery-Odlyzko定律所給出的關(guān)聯(lián)并 不限于Gauss幺正系綜。不僅如此，這種本征值分布的普適性還有一 層含義，那就是它不僅在各種系綜下都相同， 而且對(duì)系綜中任何一個(gè) 典型的系統(tǒng) 即任何一個(gè)典型的隨機(jī)厄密矩陣 都相同。換句話 說(shuō)，我們不僅不需要指定系綜的分布函數(shù)， 甚至連系綜本身都不需要， 只要隨便取出一個(gè)隨機(jī)厄密矩陣就可以了。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律實(shí)際上意味著Riemann匸函數(shù)非平凡零點(diǎn)的分布可以用任何一個(gè) 典型隨機(jī)厄密矩陣的本征值分布來(lái)描述 注三 。Montgomery 當(dāng)初的研究 如我們?cè)诘谑?jié)中介紹的 只涉及 零點(diǎn)分布的對(duì)

6、關(guān)聯(lián)函數(shù)。 在他之后，人們對(duì)零點(diǎn)分布的高階關(guān)聯(lián)函數(shù) 也作了研究。2019年，Z.Rudnick 與 P.Sarnak及 E.B.Bogomolny 與 分別 證明”了零點(diǎn)分布的高階關(guān)聯(lián)函數(shù)也與相應(yīng)的隨機(jī)厄 密矩陣的本征值關(guān)聯(lián)函數(shù)相同。 美中不足的是，我們不得不對(duì)這種 “證 明”加上引號(hào)，因?yàn)樗鼈兒?Montgomery 的研究一樣，并不是真正嚴(yán) 格的證明， 它們或是引進(jìn)了額外的限制條件 （如 Z.Rudnick 與 P.Sarnak 的研究），或是運(yùn)用了本身尚未得到證明的 Riema nn猜想及強(qiáng)孿生素 數(shù)猜想（如 E.B.Bogomolny 與 的研究）。但即便如此，所有這些理論及計(jì)算的結(jié)果

7、還是非常清楚地顯示出Riemann Z函數(shù)非平凡零點(diǎn)的分布與隨機(jī)厄密矩陣的本征值分布從而與由隨機(jī)厄密矩陣?yán)碚撍枋龅囊幌盗袕?fù)雜物理體系的性質(zhì) 之間的確存在著令人矚目的關(guān)聯(lián)。 Montgomery-Odlyzko 定律在 “經(jīng)驗(yàn)”意義上的成立幾乎已是一個(gè)毋庸置疑的事實(shí)。二十.Hilbert-P lya 猜想那么在RiemanZ函數(shù)非平凡零點(diǎn)這樣的純數(shù)學(xué)客體與由隨機(jī)矩陣?yán)?論所描述的純物理現(xiàn)象之間為什么會(huì)出現(xiàn)像 Montgomery-Odlyzko 定 律那樣的關(guān)聯(lián)呢？很遺憾，這是一個(gè)我們至今也未能完全理解的謎 團(tuán)。不過(guò)有意思的是，雖然在與 Montgomery論文的發(fā)表已相隔幾十 年的今天我們?nèi)?/p>

8、未能徹底理解 Montgomery-Odlyzko 定律的本質(zhì)，可是遠(yuǎn)在 Montgomery 的論文發(fā)表之前六十余年前的二十世紀(jì)一、二十 年代，數(shù)學(xué)界就曾經(jīng)流傳過(guò)一個(gè)與 Montgomery-Odlyzko 定律極有淵 源的猜想，這個(gè)猜想也是用兩個(gè)人的名字命名的，叫做Hilbert-P lya猜想(Hilbert-P lyaconjecture),它的內(nèi)容是這樣的：Hilbert-P lya猜想：Riemann Z函數(shù)的非平凡零點(diǎn)與某個(gè)厄密算符的本 征值相對(duì)應(yīng)。當(dāng)然，確切地講，Hilbert-P 1軸 猜想指的是：如果把 Riemann匸函數(shù) 的非平凡零點(diǎn)寫成p =1/2+it的形式，則那些

9、t與某個(gè)厄密算符的本征 值一一對(duì)應(yīng) 注四。我們知道,厄密算符的本征值全都是實(shí)數(shù)。因此 如果那些t與某個(gè)厄密算符的本征值相對(duì)應(yīng)，則它們必定全都是實(shí)數(shù)， 從而意味著所有非平凡零點(diǎn)p =1/2+的實(shí)部都等于1/2,這正是Riemann猜想的內(nèi)容。因此如果 Hilbert-P lya猜想成立，則 Riemann 猜想也必定成立。我們?cè)谏瞎?jié)中提到，Montgomery-Odlyzko定律表明Riemann函數(shù)非 平凡零點(diǎn)的分布可以用任何一個(gè)典型隨機(jī)厄密矩陣的本征值分布來(lái) 描述。這種描述雖然奇妙,終究只是統(tǒng)計(jì)意義上的描述。但如果Hilbert-P lya猜想成立，則RiemannZ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)干脆就直

10、接 與某個(gè)厄密矩陣的本征值一一對(duì)應(yīng)了。 這是嚴(yán)格意義上的對(duì)應(yīng), 有了 這種對(duì)應(yīng)，統(tǒng)計(jì)意義上的對(duì)應(yīng)自然就不在話下。因此Hilbert-P lyoa猜想雖然比 Montgomery-Odlyzko 定律早了六十余年,卻是一個(gè)比 Montgomery-Odlyzko 定律更強(qiáng)的命題！歷史真是富有戲劇性，從二十世紀(jì)早期開始流傳的Hilbert-P I爐猜想 居然在無(wú)形之中與半個(gè)多世紀(jì)之后才出現(xiàn)的 Montgomery-Odlyzko 定 律做了跨越時(shí)間的遙遠(yuǎn)呼應(yīng)。但這一呼應(yīng)實(shí)在是太遙遠(yuǎn)了， Montgomery 的論文尚且因?yàn)槿狈ψC據(jù) 而遭到冷場(chǎng)，Hilbert-P lya猜想自然就更無(wú)人問(wèn)津了。這種

11、冷落是如 此徹底，以至于當(dāng) Montgomery 的論文及后續(xù)研究重新燃起人們對(duì) Hilbert-P lyya 猜想的興趣，并開始追溯它的起源時(shí)，大家驚訝地發(fā)現(xiàn) 不僅Hilbert和GeorgePdya(1887-1985)兩人不曾在人們找尋得到的任 何發(fā)表物或手稿之中留下過(guò)一絲一毫有關(guān)Hilbert-P ly猜想的內(nèi)容。而且在 Montgomery 之前所有其他人的文字之中竟然也找不到任何與 這一猜想有關(guān)的敘述。 一個(gè)隱約流傳了大半個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)猜想竟似乎 沒(méi)有落下過(guò)半點(diǎn)文字記錄，卻一直流傳了下來(lái)，真是一個(gè)奇跡！ 但 Odlyzko 執(zhí)著地想要探尋這一奇跡的起點(diǎn)。那時(shí)候 Hilbert 早已去

12、 世，Polya卻還健在。1981年12月8日，Odlyzko給Pclya發(fā)去了一 封信，詢問(wèn) Hilbert-P lyya 猜想的來(lái)龍去脈。當(dāng)時(shí) Pylya 已是九十四歲 的高齡，臥病在床，基本不再執(zhí)筆回復(fù)信件了，但 Odlyzko 的信卻很 及時(shí)地得到了他的親筆回復(fù)。畢竟，對(duì)一位數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，自己的名字 能夠與偉大的 Hilbert 出現(xiàn)在同一個(gè)猜想中是一種巨大的榮耀。Pclya在回信中這樣寫道 注五：很感謝你 12 月 8 日的來(lái)信。我只能敘述一下自己的經(jīng)歷。1914年初之前的兩年里我在 Gttingen。我打算向Landau學(xué)習(xí)解析數(shù) 論。有一天他問(wèn)我： “你學(xué)過(guò)一些物理，你知道任何物理

13、上的原因使 Riema nn猜想必須成立嗎？ ”我回答說(shuō)，如果E函數(shù)的非平凡零點(diǎn)與某個(gè)物理問(wèn)題存在這樣一種關(guān)聯(lián)， 使得 Riemann 猜想等價(jià)于該物理問(wèn)題中所有本征值都是實(shí)數(shù)這一事實(shí)，那么Riemann 猜想就必須成立。三年后（1985年）P dya也離開了人世，他給 Odlyzko的這封回信便成 了迄今所知有關(guān)Hilbert-P lyd猜想的唯一文字記錄。至于早已去世的 Hilbert 在什么場(chǎng)合下提出過(guò)類似的想法， 則也許將成為數(shù)學(xué)史上一個(gè) 永遠(yuǎn)的謎團(tuán)了。二十一只iema nn體系何處覓？如上所述，假如Hilbert-P lyd猜想成立，則Riemann函數(shù)的非平凡 零點(diǎn)將與某個(gè)厄密算符

14、的本征值一一對(duì)應(yīng)。 我們知道厄密算符可以用 來(lái)表示量子力學(xué)體系的哈密頓量， 而厄密算符的本征值則對(duì)應(yīng)于該量 子力學(xué)體系的能級(jí)。因此如果 Hilbert-P lyd猜想成立，則RiemannZ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)有可能對(duì)應(yīng)于某個(gè)量子力學(xué)體系的能級(jí)， 非平凡零 點(diǎn)的全體則對(duì)應(yīng)于該量子力學(xué)體系的能譜。 我們把這一特殊的量子力 學(xué)體系稱為Riemann體系，把這一體系的哈密頓量稱為 Riemann算 符注六。那么這個(gè)神秘的Riemann體系如果存在的話會(huì)是一個(gè)什么樣的量子力學(xué)體系呢？這個(gè)問(wèn)題的答案目前當(dāng)然還不存在。 不過(guò)，有關(guān)這個(gè)問(wèn)題目前所知道 的最重要的線索顯然是來(lái)自 Montgomery-Odlyz

15、ko 定律。由于Montgomery-Odlyzko定律表明RiemannZ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)分布與隨 機(jī)厄密矩陣的本征值分布相同，因此我們不難猜測(cè)，Riema nn算符應(yīng)該是一個(gè)特殊的隨機(jī)厄密矩陣。 那么由這個(gè)特殊的隨機(jī)厄密矩陣所描述的量子力學(xué)體系會(huì)具有什么特點(diǎn)呢？這個(gè)問(wèn)題自二十世紀(jì)七十年 代末以來(lái)有許多人研究過(guò)。 1983 年，法國(guó)核物理研究所(InstitutdePhysiqueNucI aire)的 O.Bohigas、M.J.Giannoni 和 C.Schmit 等人提出了一個(gè)猜想， 即由隨機(jī)厄密矩陣所描述的量子體系在經(jīng)典極 限下對(duì)應(yīng)于經(jīng)典混沌體系。這一猜想被稱為Bohigas-Gi

16、annoni -Schmit(BGS)猜想注七,它獲得了一些數(shù)值計(jì)算的 支持(比如對(duì)一些以經(jīng)典混沌體系為極限的特定量子體系的能級(jí)計(jì)算 得出了與這一猜想相容的結(jié)果 )，但迄今尚未得到嚴(yán)格證明。不過(guò)雖 然尚未證明，但從物理角度上講，這一猜想具有一定的合理性，因?yàn)?與經(jīng)典混沌體系相對(duì)應(yīng)的量子體系的波函數(shù)會(huì)在一定程度上秉承經(jīng) 典軌跡的混沌性， 從而使得哈密頓量的矩陣元呈現(xiàn)出隨機(jī)性， 這正是 隨機(jī)厄密矩陣的特點(diǎn)。由此看來(lái)，Riemann體系很可能是一個(gè)與經(jīng)典混沌體系相對(duì)應(yīng)的量子 體系。那么，這個(gè)作為 Riemann 體系經(jīng)典近似的經(jīng)典混沌體系又具有 什么樣的特征呢？這個(gè)問(wèn)題人們也做過(guò)一些研究。 由于我們

17、所知道的 有關(guān)Riemann體系最明確的信息是這一體系的能譜因?yàn)樗cRiemann Z函數(shù)的非平凡零點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。因此研究 Riemann體系的特征 顯然要從能譜入手。 描述量子體系能譜的一個(gè)很有用的工具是所謂的 能級(jí)密度函數(shù)：p (E)=藝 n-EnE這里的SE-En)是所謂的Dirac函數(shù)，求和對(duì)所有能級(jí)進(jìn)行。 早在二十世紀(jì)六十年末和七十年代初， 出生于瑞士、 一度跟隨著名物 理學(xué)家 WolfgangPauli(1900-1958)學(xué)習(xí)過(guò)量子力學(xué)的物理學(xué)家MartinGutzwiller(1925-) 就對(duì)這一能級(jí)密度函數(shù)的經(jīng)典極限進(jìn)行了研 究，并得到了一個(gè)我們現(xiàn)在稱之為 Gutzwiller

18、 求跡公式(Gutzwillertraceformula)的結(jié)果。在對(duì)應(yīng)的經(jīng)典體系具有混沌性的情形 下， Gutzwiller 求跡公式為：p (E)= p (E)+2 藝 p 藝 kAp,kcos(2 n kSp/h+ a p)這里的h為Planek常數(shù)，p (E是一個(gè)平均密度。我們感興趣的是第二 項(xiàng)，它包含了一個(gè)對(duì)經(jīng)典極限下所有閉合軌道 p 以及沿閉合軌道的繞 轉(zhuǎn)數(shù)k(k為正整數(shù))的雙重求和。求和式中的Sp是閉合軌道p的作用 量，ap是個(gè)相位，被稱為 Maslov相位(Maslovphase)或Maslov指 標(biāo)(Maslovindex)。而Ap,k與閉合軌道的性質(zhì)有關(guān)，可以表示為： Ap

19、,k=Tp/hdet(Mpk-I)1/2其中 邛是閉合軌道p的周期，Mp則是描述閉合軌道p的穩(wěn)定性的 一個(gè)單值矩陣 (monodromymatrix)。另一方面，我們也可以定義一個(gè)與量子體系的能級(jí)密度函數(shù)完全類似的RiemanZ函數(shù)非平凡零點(diǎn)的密度函數(shù)：p (t)= E-rtri) (t并利用Riemann Z函數(shù)的性質(zhì)對(duì)這一密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。1985年，英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家 MichaelBerry(1941-)給出了這一計(jì)算的結(jié) 果：p (t)= -2 pE kln(p)/2-ke(fli)/2cosktIn(p)這個(gè)公式看似尋常，卻包含了一個(gè)非常值得注意的特點(diǎn)，那就是：其 中的 k 雖然是正

20、整數(shù)， p 卻受到更大的限制。事實(shí)上，這個(gè)公式中的 p 是素?cái)?shù)而非一般的正整數(shù)！將這個(gè)結(jié)果與前面有關(guān)量子體系能級(jí)密 度的計(jì)算相比較，我們發(fā)現(xiàn)為了使兩者一致，必須有：a p= nTp=ln(p)Sp=(ht/2 n )TpAp,k二Tp/2 n eXTp/2)這其中最簡(jiǎn)潔而漂亮的關(guān)系式就是 Tp=ln(p)，它表明與Riemann體系 相對(duì)應(yīng)的經(jīng)典體系具有周期等于素?cái)?shù)對(duì)數(shù)In (p)的閉合軌道！這無(wú)疑是這一體系最奇異的特征之一。研究Riemann體系的努力仍在繼續(xù)著，在一些數(shù)學(xué)物理學(xué)家的心目 中，它甚至已經(jīng)成為了一種證明 Riemann猜想的新的努力方向，即所 謂的物理證明 注八。會(huì)不會(huì)有一天人

21、們?cè)谟钪娴哪硞€(gè)角落里發(fā)現(xiàn)一 個(gè)奇特的物理體系，它的經(jīng)典基本周期恰好是In2,ln 3,l n5 ?或者它的量子能譜恰好包含 14.1347251,21.0220396,250108575(賣者 們應(yīng)該還記得這些是什么數(shù)吧 ) ？我們不知道。也許并不存在這樣的 體系，但如果存在的話，它無(wú)疑是大自然最美麗的奇跡之一。只要想 到像素?cái)?shù)和RiemannZ函數(shù)非平凡零點(diǎn)這樣純粹的數(shù)學(xué)元素竟有可能 出現(xiàn)在物理的天空里， 變成優(yōu)美的軌道和絢麗的光譜線， 我們就不能 不驚嘆于數(shù)學(xué)與物理的神奇，驚嘆于大自然的無(wú)窮造化。而這一切， 正是科學(xué)的偉大魅力所在。注釋1. 這種數(shù)值證據(jù)之一便是我們?cè)诘谑?jié)中給出的關(guān)于M

22、ontgomery零點(diǎn)對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)的擬合曲線。2. 這“定律”二字通常在物理學(xué)中用得比在數(shù)學(xué)中多，它很貼切地表達(dá) 了這一命題雖有大量的數(shù)值證據(jù)， 卻缺乏數(shù)學(xué)意義上的嚴(yán)格證明這一 特點(diǎn)。3當(dāng)然，別忘了 NH=這一條件。4自第一節(jié)中引進(jìn)s=1/2+it以來(lái)，當(dāng)我們提到RiemannZ函數(shù)的非平 凡零點(diǎn)時(shí)，實(shí)際指的往往是零點(diǎn)虛部的大小 t，這一點(diǎn)讀者應(yīng)該能很 容易地從上下文中判斷出來(lái)。5. P lya提到的E函數(shù)應(yīng)該是指我們?cè)诘谖骞?jié)的注釋中提到的Riemann本人所定義的E函數(shù)。Riemann猜想等價(jià)于那個(gè)E函數(shù)的零點(diǎn)為實(shí)數(shù)。6. 嚴(yán)格講，量子力學(xué)中所有的可觀測(cè)量都是由厄密算符表示的，哈密 頓量只是其

23、中之一。 不僅如此， 由厄密算符的本征值所描述的物理量 甚至并不限于量子力學(xué)中的物理量。從 Pclya給Odlyzko的信中也可 以看到，Pdya當(dāng)年并沒(méi)有對(duì)與Riemann Z函數(shù)非平凡零點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的 物 理問(wèn)題”做具體的猜測(cè)。因此從 Hilbert-P lya猜想到Riemann體系是 后人所做的進(jìn)一步猜測(cè)。 之所以做這種進(jìn)一步猜測(cè)， 除了哈密頓量對(duì) 物理體系所具有的重要性外， 或許也是因?yàn)殡S機(jī)矩陣?yán)碚撟畛跏窃谘?究原子核能級(jí)時(shí)被引入物理學(xué)中的。 另一方面， 量子體系的能級(jí)是自 然界中含義最為深刻的離散現(xiàn)象之一， 這或許也是人們把注意力集中 到這一方向上的原因之一。語(yǔ)文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章 ,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落 ,對(duì)提高 學(xué)生的水平會(huì)大有裨益?，F(xiàn)在 ,不少語(yǔ)文教師在分析課文時(shí) ,把文章解 體的支離破