1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上層次分析法在購房中的應(yīng)用 摘要 從我所居住的市內(nèi)中心選擇了四個小區(qū)里的商品房來做決策，他們分別是花園小區(qū)、寧園小區(qū)、臥龍小區(qū)、福隆小區(qū)。在做出選擇時主要需要考慮會影響決策的因素主要有：房價、位置、附近有無學(xué)校、環(huán)境這四個方面。層次分析法是將半定性、半定量的問題轉(zhuǎn)化為定量問題的一種行之有效的方法是分析多目標(biāo)、多準(zhǔn)則的復(fù)雜大系統(tǒng)的強(qiáng)有力的工具。利用層次分析法，從房價、位置、附近有無學(xué)校、環(huán)境四個方面分析了影響個人購房的因素，并進(jìn)一步利用該方法結(jié)合儋州市四個小區(qū)住戶購房選擇的滿意度進(jìn)行調(diào)查和排序，從而得出最滿意的商品房選擇。關(guān)鍵詞 層次分析法；權(quán)重；購房的選擇1. 引言 時

2、光飛逝，一轉(zhuǎn)眼大學(xué)里的時光已悄然渡過。對于有很多即將踏上工作崗位的我們，內(nèi)心的感覺真是五味雜談。一方面離開了學(xué)校，離開了同學(xué)們，這是多么傷感的。要踏進(jìn)了社會。有句千古不變的老話說：“人是漂泊的船，家是溫暖的岸”。奮斗一生，也就是為了自己能過得好，能買得起一個屬于自己的房子。舒適的房子。于是購房問題就順理成章成了我們年輕人無法逃避的問題。那么在如今經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展的時代，商家們也是應(yīng)社會大需求。不斷的有很多商品房供選擇。那么在購房時要怎樣選擇才能既讓自己選擇了一款經(jīng)濟(jì)的房，也讓自己買到了一款舒適滿意的房。這時就有了如何選擇購房這一問題。那么為了解決這一問題，我們就要知道在購房時大家都常常會考慮哪些因

3、素。通過調(diào)查可知我們在選擇住房時通常需要考慮的影響因素一般有：房價、位置、附近有無學(xué)校、環(huán)境物業(yè)管理、治安等多個方面。這些因素之間是相互制約，相互聯(lián)系和影響的，在很多情況下大家都很難做出購買房子的決定。所以，本文以我所居住的市里選四個小區(qū)里的商品房為供選擇的對象，從大多數(shù)人意想購買的房子角度出發(fā)。利用層次分析法（AHP）來進(jìn)行購房決策分析。層次分析法是T.L.Saaty等在20世紀(jì)70年代末提出了一種定性和定量相結(jié)合、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。層次分析法是將定性、或者半定量的問題轉(zhuǎn)化為定量問題的一種有效的方法，是分析多個目標(biāo)，多重準(zhǔn)則的復(fù)雜系統(tǒng)下的強(qiáng)有力的工具，層次分析法思路比較清晰、方法上簡

4、便、實(shí)用范圍廣、系統(tǒng)性強(qiáng)。運(yùn)用層次分析方法結(jié)合 Matlab軟件可以解決購房選擇的相關(guān)問題。并建立層次分析模型，將方案分為三層：即目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層。最后通過一致性檢驗(yàn)，確定出準(zhǔn)則層對于目標(biāo)的權(quán)重以及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重，最終確定出購買哪個小區(qū)里的商品房。2. 預(yù)備知識定義2.1設(shè)矩陣A=，若矩陣A的元素滿足>0，=1/ (=1，2，3，,),則稱矩陣A為正反矩陣。定義2.2若矩陣A=為正反矩陣，并且A=滿足(=1，2，3，,)，則稱矩陣A為一致陣。定理2.1當(dāng)矩陣A=為一致矩陣，則矩陣A具有下列性質(zhì)：（1）>0，=1/，(=1，2，3，,)（2）矩陣A的每一行每一列的元素都

5、是相應(yīng)第一行第一列的元素的正倍數(shù)，因此矩陣A的秩恒等于1. （3）矩陣A的最大特征值=（4）設(shè)=對應(yīng)的特征向量為=，則有=(=1，2，3，,)定理2.2 若矩陣A為一致矩陣，則矩陣A一定可以表示成 其中定理2.3若矩陣A為一致矩陣 ，則矩陣A 的任意一列向量都為矩陣A的最大特征值= 的特征向量。定理2.4若矩陣A為正矩陣，則（1） 矩陣A的最大特征值是正單根。（2） 對應(yīng)的特征向量為正向量（3） ，其中,是矩陣對應(yīng)于的歸一化的特征向量。定理2.5 階正反矩陣的最大特征值，當(dāng)=時，A是一致矩陣。定理2.6 階正反矩陣A是一致矩陣的充分必要條件是矩陣A的最大特征值=定義2.3 假設(shè)影響目標(biāo)O的因素

6、有、，為了比較、對目標(biāo)O的影響程度，每次取兩個因素和，用表示和對O的影響之比，全部比較的結(jié)果可用矩陣A=來表示，稱A為成對比較陣，顯然大于0，=1/ (=1、2、3、4)即A為正反比較陣。2.4 求解矩陣的特征值與特征向量的方法：（1）將矩陣A的每一列向量歸一化得 (=1、2、3、4)（2）將歸一化所得的向量按行求和(=1、2、3、4)（3）將歸一化的向量按行作為近似特征向量（4）計(jì)算矩陣A的最大特征值2.5 層次分析法的思路與人對復(fù)雜決策問題的判斷和思維過程是基本上一致的。其基本過程為：（1） 建立層次結(jié)構(gòu)模型。在經(jīng)過仔細(xì)的分析問題后，將決策問題分成三個層次，最下層為方案層P；中間層為準(zhǔn)則層

7、C（準(zhǔn)則層又可以分成若干個子層），最上層為目標(biāo)層O。（2） 構(gòu)造成對比較陣。通過相互比較確定某個層次中的因素對于上一層次中的每一因素的所有成對比較陣。（3） 權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)。通過成對比較陣求出各層次中的因素對于上一層沒一因素的權(quán)重向量，然后進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。（4） 組合權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)。將層次中的因素對于上一層次的權(quán)重向量及上一層對于總目標(biāo)的權(quán)重向量綜合，確定該層次對于總目標(biāo)的權(quán)重向量，并對總排序進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。3. 問題分析與提出3.1 分析問題：現(xiàn)在我們需要從花園小區(qū)、福隆小區(qū)、臥龍小區(qū)、寧圓小區(qū)（以下簡稱A、B、C、D）四個小區(qū)中選擇一個適合我們的商品房。在這次購買商品房里既要在價格

8、上比較滿意又要交通比較便捷等方面的比較。而A、B、C、D四個小區(qū)有的在價格上更優(yōu)惠，有的在交通位置上更加符合我的需求，有的在環(huán)境方面等吸引我。在等等因素的考慮下我應(yīng)如何選擇購房。所以我選取的影響決策的主要因素為：房價、位置、附近有無學(xué)校、環(huán)境等四個方面。那么在最終的決策時，我會做出購買哪個小區(qū)商品房的選擇。3.2 購買商品房時會考慮的因素本文從大多數(shù)人選房的角度和多數(shù)人實(shí)際的購房特點(diǎn)將購置住房需考慮的因素分為如下的幾類：（1）房價。每個人在購買房是首先都會考慮的主要因素就是房價。都會考慮自己的經(jīng)濟(jì)實(shí)力是否能夠買的起房或者至少是可以付得起房子的首付。這是每個人在買房時都會考慮的最主要的問題。因?yàn)?/p>

9、這還關(guān)系到自己再以后的生活工作里是不是要每個月都有足夠的房貸還給銀行。不至于一輩子都是在為房子奮斗。而每個地區(qū)每個經(jīng)銷商，甚至不同地段，不同的面積，不同的居住環(huán)境等等都會導(dǎo)致房價截然不同。所以在做出購房決策時，我們都要對有選擇的不同房子在房價上進(jìn)行綜合比較。所以房價因素會是我們在購買房子時很重要甚至可以說是最重要的一個因素。（2) 地理位置。在選擇住房時，地理位置的選擇也是一個很重要的因素。首先，如果選擇的住房離我們所工作的單位很遠(yuǎn)的話，每天會浪費(fèi)很大的人力物力財(cái)力在來回上下班的路途中。并且這也給我們自己的生活帶來很大的不方便。買房時為了讓自己過得更好，而不應(yīng)該因?yàn)橘I房而增加自己的生活工作壓力

10、。長期來回路途的奔波還會給自己的工作帶來很大的消極影響。其次，所選擇的住房最好也應(yīng)是交通比較便捷的地方。因?yàn)椴⒉皇敲總€人都能買得起私家車，如果交通不方便也會給工作和生活帶來很大的不便。所以，在選擇住房時，位置的選擇也是一個很重要的因素。（3) 環(huán)境。隨著人民生活水平不斷提高，如今大家也越來越追求有質(zhì)量的生活了。所以在購買房子時，大家也會考慮到自己所要購買的房子的周邊環(huán)境因素。比如附近是否有工廠，如果有工廠，附近是不是也有噪聲污染、空氣污染、水質(zhì)污染等問題。還有周邊的治安是否管理得好。這些都是很重要的因素。甚至?xí)霌碛泻＞胺?、或者靠近公園等的樓房都會更加受到購房者的喜愛。（4) 附近有無學(xué)校。隨

11、著經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，生活水平也在不斷提高，子女的教育問題也就成了人們很關(guān)心的一個問題。如果附件有學(xué)校，將來自己的孩子上學(xué)問題也就不用那么發(fā)愁了。因?yàn)楝F(xiàn)在很多的幼兒園甚至小學(xué)都是以所居住的區(qū)域來分配就讀的?？梢允∪ズ艽笠还P建校費(fèi)。因此在選擇購房時，附近有無學(xué)校也會成為考慮是否購買的一個重要因素。3.3 提出問題： 假設(shè)有A、B、C、D四個小區(qū)的商品房供選擇?，F(xiàn)需要綜合考慮房價、位置、附近有無學(xué)校、環(huán)境等方面因素。那么經(jīng)過綜合比較之后，最終會選擇哪個小區(qū)的房子。4模型建立 根據(jù)實(shí)際情況，將建立以下結(jié)構(gòu)模型，如圖I。將決策問題分解成三個層次，最上層為目標(biāo)層，既選擇商品房；最下層為方案層，即有A、B、C

12、、D四個小區(qū)里的商品房作為供選擇的對象；中間層為準(zhǔn)則層，有房價、位置、附近有無學(xué)校、環(huán)境四個因素作為影響決策的因素。各層間的聯(lián)系用相連的直線表示。選擇商品房目標(biāo)層O環(huán)境有無學(xué)校位置準(zhǔn)則層C房價小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)D小區(qū)A方案層P圖1.1合理選擇購房的層次分析結(jié)構(gòu)圖5.符號說明：.、分別表示A小區(qū)、B小區(qū)、C小區(qū)、D小區(qū)矩陣A為房價、位置、附近有無學(xué)校、環(huán)境這四個影響因素對購買房子的選擇的成對比較陣、分別為A小區(qū)、B小區(qū)、C小區(qū)、D小區(qū)對房價、位置、附近有無學(xué)校、環(huán)境的成對比較陣為矩陣每個矩陣的最大特征值=為、對O的權(quán)重向量。= 為矩陣A的歸一化特征向量。=為矩陣的一致性指標(biāo)。若=0，則A為一致矩陣

13、，當(dāng)越小時，矩陣A的一致性越高為矩陣A的隨機(jī)一致性指標(biāo)。通過查閱資料，可知當(dāng)n=4時，=0.90=為矩陣A的隨機(jī)一致性比率。當(dāng)<0.1時，成對比較矩陣A具有滿意的一致性；當(dāng)時，說明所選取的A沒有滿足一致性，此時，需要重新選取成對比較矩陣A6.模型求解（1）構(gòu)造判斷矩陣：將準(zhǔn)則層C中四個因素、兩兩比較得到對比較矩陣 O 1 3 4 5 1/3 12 4 1/4 1/2 1 3 1/5 1/4 1/3 1 表1.1 判斷矩陣求解矩陣的特征值。用MATLAB編程易解得最大特征值=4.1638且權(quán)重向量由公式得=0.0546于是=0.0607因?yàn)?0.0607<0.1所以矩陣通過了一致性檢

14、驗(yàn)（2）構(gòu)造判斷矩陣-, -, -, -表1.2 -判斷矩陣 1246 1/2135 1/41/3121/61/51/21求解-矩陣的特征值用MATLAB編程易解得最大特征值=4.0487且權(quán)重向量由公式得=0.0162于是=0.0180因?yàn)?0.0180<0.1所以-矩陣通過了一致性檢驗(yàn)表1.3 -判斷矩陣13571/31241/51/2131/71/41/31求解-矩陣的特征值用MATLAB編程易解得最大特征值=4.1016且權(quán)重向量由公式得=0.0339于是=0.0376因?yàn)?0.0376<0.1，所以-矩陣通過了一致性檢驗(yàn)表1.4 -判斷矩陣12341/21231/31/2

15、141/41/31/41求解-矩陣的特征值。用MATLAB編程易解得最大特征值=4.2301且權(quán)重向量由公式得=0.0767于是=0.0852因?yàn)?0.0852<0.1所以-通過了一致性檢驗(yàn)12491/21231/41/2141/91/31/41表1.5 -判斷矩陣求解-矩陣的特征值：用MATLAB編程易解得最大特征值=4.1503且權(quán)重向量由公式得=0.0501于是=0.0556因?yàn)?0.0556<0.1所以-通過了一致性檢驗(yàn)由此可知所選取的四個判斷矩陣-, -, -, -都經(jīng)過了一致性檢驗(yàn)，所以所選取的四個判斷矩陣-, -, -, -對購房中的選擇的影響因素是存在科學(xué)性的，所以

16、可以進(jìn)行下一步的計(jì)算，及計(jì)算總的權(quán)重向量。由上述的四個判斷矩陣-, -, -, -四個權(quán)向量計(jì)算出總的權(quán)重向量。=0.48390.4651+0.27300.5376+0.17680.4138+0.06640.5343 =0.=0.48390.3399+0.27300.2464+0.17680.2690+0.06640.2171 =0.=0.48390.1282+0.27300.1579+0.17680.2414+0.06640.1920 =0.=0.48390.0668+0.27300.0580+0.17680.0759+0.06640.0566 =0.因?yàn)?，所以在購房時應(yīng)優(yōu)先考慮A小區(qū)的商品

17、房，其次是B小區(qū)，再次是C小區(qū)，最后考慮D小區(qū)。將最大特征值和一致性指標(biāo)、列入下表，來選擇商品房決策的第三層的計(jì)算結(jié)果。表1.6 選擇購房決策最終決策層的計(jì)算結(jié)果12340.46510.53760.41380.53430.33990.24640.26900.21710.12820.15790.24140.19200.06680.05800.07590.05664.04874.10164.23014.15030.01620.03390.07670.0501 0.01800.03760.08520.0556從表中的值可以看出，四個判斷矩陣都通過了一致性檢驗(yàn)（3）總排序權(quán)值與一致性檢驗(yàn) 總排序的隨機(jī)

18、一致性比率為=0.0028因?yàn)?.1，所以可以認(rèn)為層次總排序具有滿意的一致性由=（=1,2,3，4），得總排序的權(quán)重向量 （4）結(jié)論：從上面的計(jì)算結(jié)果和分析可知，A小區(qū)的權(quán)重值最大，B小區(qū)的權(quán)重值第二，C小區(qū)的權(quán)重值第三，D小區(qū)的權(quán)重值最小。所以在合理選擇購房時應(yīng)優(yōu)先考慮A小區(qū)的商品房，其次是B小區(qū)，再次是C小區(qū)，最后考慮D小區(qū)。7.結(jié)束語 本文利用層次分析法，得出在選擇商品房的購買選擇時，應(yīng)優(yōu)先考慮哪個小區(qū)的商品房得到的最大滿意評價度。這種最優(yōu)方案的得出是經(jīng)過很多實(shí)際調(diào)查實(shí)際數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上經(jīng)過分析和比較的出來的，是具有一定的科學(xué)性和合理性的。但是由于每個人對準(zhǔn)則層中的影響因素所作出的權(quán)重判斷決

19、策都不同，所以這樣的選擇方法也存在一定的誤差。然而大家購房的出發(fā)點(diǎn)也都有相似之處。因此，用層次分析法分析得到的結(jié)果和實(shí)際的狀況是基本符合的。參考文獻(xiàn)1姜啟源，葉俊，謝金星.數(shù)學(xué)建模（第三版）.高等教育出版社2003:242-243 2唐煥文，賀明峰。2005.數(shù)學(xué)模型引論。北京。高等教育出版社唐耀平，陳幼林，層次分析法在高校畢業(yè)生擇業(yè)中的應(yīng)用J.2004,（6）:191-1933揚(yáng)啟帆，邊馥萍，方道元.1999.數(shù)學(xué)建模.杭州：浙江大學(xué)出版社.19904S. Chatterjee , A. S. Hadi , B. Price. Regression Analysis By Example (

20、third edition).john Wiley &Sons, 20005D. N. Burghes, I. Huntley, J. McDonald .Applying Mathematics: A Course in Mathematical Modeling. John Wiley & Sons, 1982附表用MATLAB編程過程如下：>>a=1,2,3,4;1/2,1,2,3;1/3,1/2,1,4;1/4,1/3,1/4,1a = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 0.5000 1.0000 2.0000 3.0000 0.333

21、3 0.5000 1.0000 4.0000 0.2500 0.3333 0.2500 1.0000>>b=sum(a(:,1),sum(a(:,2),sum(a(:,3),sum(a(:,4);>>d1=a(:,1)/(sum(a(:,1);>>d2=a(:,2)/(sum(a(:,2);>>d3=a(:,3)/(sum(a(:,3);>>d4=a(:,4)/(sum(a(:,4);>>d=d1,d2,d3,d4,d4;>>e=sum(a(1,:),sum(a(2,:),sum(a(3,:),sum(a(4,:);>>f=e/sum(e);>>w=f'>>g=a*w;>>z=(1/4)*sum(g./w);w = 0.4138 0.2690 0.2414 0.0759z = 4.2301>>a=1,3,4,5;1/3,1,2,4;1/4,1/2,1,3;1/5,1/4,1/3,1a = 1.0000 3.0000 4.0000 5.0000 0.3333 1.0000 2.0000 4.0000 0.250