1、中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài) 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理泰勒公式推廣微分中值定理的應(yīng)用與技巧基本概念、內(nèi)容、定理、公式一、羅爾( Ro le )定理 二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束中值定理一、羅爾( Rolle )定理y= f(x) 滿足:(1) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)(3)f( a) = f( b)在( a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使 f() = 0.證:因 f(x) 在a , b上連續(xù)，故在 a, b上取得最大值 M和最小值 m.若 M= m,則 f(x) M

2、,xa, b ,因此 (a, b), f() = 0 .bxyoay= f(x)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若 M m,則 M和 m中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè) M f(a) , 則至少存在一點(diǎn) (a,b), 使f() = M, 則由費(fèi)馬引理得 f() = 0.注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,0 x 10,x= 1yf(x) = x,x1yox 1,1f(x) = xf(x) = x yx0,1ox1o1x1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束limf(x) = limf(x)xa+xb在( a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使 f() = 0.2) 定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可

3、推廣為y= f(x) 在 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo), 且證明提示: 設(shè) F(x) =證 F(x) 在 a, b 上滿足羅爾定理 .f(a+ ),x= af(x),a x bf(b ),x= b機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、拉格朗日中值定理y= f(x)滿足:(1) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù) ?()(2) 在區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn) (a,b) , 使 f() = f(b) f(a).b aa bxyoy= f(x)思路思路思路思路: 利用逆向思維逆向思維逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 , ?(x) 在 a, b 上連續(xù) , 在 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo),

4、且?(a) = bf(a) af(b)= ?(b), 由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)證: 問題轉(zhuǎn)化為證?(x) = f(x) f(b) f(a) xb ab a(a,b), 使?() = 0, 即定理結(jié)論成立 .證畢拉氏目錄上頁下頁返回結(jié)束= 0f(b) f(a)f() b a三、柯西(Cauchy)中值定理= 0f(b) f(a) F() f() F(b) F(a)?()分析:F(b) F(a) = F()(b a) 0f(x) 及 F(x) 滿足 :(1) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)F(x) 0至少存在一點(diǎn) (a,b) ,

5、 使f(b) f(a) = f() .F()F(b) F(a)a b要證?(x) = f(b) f(a) F(x) f(x) F(b) F(a)柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束證: 作輔助函數(shù)( )( )F(b) F(a)?(x) = f(b) f(a) F x fx則?(x) 在a,b上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且?(a) = f(b)F(a) f(a)F(b) = ?(b)F(b) F(a)由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn) (a, b),使 ?() = 0, 即f(b) f(a) = f() .F()F(b) F(a)思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ? f(b) f(a) = f()(b a),

6、(a, b)F(b) F(a) = F()(b a), (a, b)兩個(gè) 不 一定相同錯(cuò)!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上面兩式相比即得結(jié)論.羅爾定理f() = 0yy= f(x)oabxF()f(b) f(a) = f()F(b) F(a)b af() = f(b) f(a)拉格朗日中值定理f(a) = f(b)f(a) = f(b)F(x) = x)n+ 1x x0(n+ 1) ( )(+ (n+ 1)! f 1 柯西中值定理F(x) = xyy= f(x)oab x泰勒中值定理f(x) = f(x0 ) + f(x0 )(x x0 )(n)n+ + n! f(x0 )(x x0 )1n= 0幾

7、個(gè)中值定理的關(guān)系證明中值定理的方法輔助函數(shù)法直觀分析逆向分析例如, 證明拉格朗日定理 : f(b) f(a) = f()(b a)要構(gòu)造滿足羅爾定理?xiàng)l件的輔助函數(shù) .y = f(x)方法1. 直觀分析 由圖可知 , 設(shè)輔助函數(shù)oayxx+ Cby =f (b) f (a) b aF(x) = f(x) f(b) f(a) x Cb a(C為任意常數(shù) )方法2. 逆向分析f(b) f(a) = f()(b a)要證 即證f() f(b) f(a) = 0b aF()F(x) = f(x) f(b) f(a)b a原函數(shù)法F(x) = f(x) f(b) f(a) xb a輔助函數(shù)同樣, 柯西中值

8、定理要證(a, b)f(b) f(a) = f() ,g()g(b) g(a)即證f() f(b) f(a) g() = 0g(b) g(a)F(x) = f(x) f(b) f(a) g(x)g(b) g(a)原函數(shù)法F(x) = f(x) f(b) f(a) g( x)g(b) g(a)設(shè)* 中值定理的條件是充分的, 但非必要. 因此可適當(dāng)減弱.例如, 設(shè) f(x) 在(a,b) 內(nèi)可導(dǎo),且 f(a+ 0) = f(b 0),則至少存在一點(diǎn)證: 設(shè)輔助函數(shù)(a,b),使 f() = 0 . f(b 0) ,F(x) = f(x) , f(a+ 0),x= aa x bx= b顯然 F(x)

9、在a,b 上連續(xù), 在(a,b) 內(nèi)可導(dǎo), 由羅爾 定理可知 , 存在一點(diǎn)(a,b), 使 F() = 0 ,即 f() = 0 .* 中值定理的統(tǒng)一表達(dá)式設(shè) f(x), g(x), h(x)都在a,b上連續(xù) , 且在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn) (a,b),使f() g()= 0 h()f(b)g(b)h(b)f(a)g(a)h(a)證: 按三階行列式展開法有f()g()=h()f(b)g(b)h(b)f(a)g(a)h(a)h(b)f()g(a)h(a)g(b)( )h(b)f(a)h(a)f(b) g +f(b) h()g(b)f(a)g(a)利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)f(a)f(

10、b)f()g(a)g(b)g(a)g(b)g()=h(a)h(b)f()h(a)h(b)h()f(a)f(b) g +f(a)f(b) h()h(a)h(b)( )g(a)g(b)F(x)( )f(b)f(x)g(b)g(x)h(b)h(x)h(b)f(a)h(a)f(b) g xg(b)f(x) f(a)( ) =g(a)h(a)f(a)g(a)g(b)f(b) h x+顯然 F(x) 在a, b 上連續(xù) , 在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且F(a) = F(b) = 0 , 因此,由羅爾定理知至少存在一點(diǎn) (a,b), 使 F() = 0 ,h(a)h(b)=g(a)即f(b)f()g(b)g

11、()= 0h(b)h()f(a)g(a)h(a)F() =說明若取 h(x) 1, g(x) = x, f(a) = f(b) ,即為羅爾定理;設(shè) f(x), g(x), h(x)都在 (a,b) 上連續(xù) , 且在a,b內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn) (a,b),使f() g()= 0 h()f(a)f(b)g(a)g(b)h(a)h(b)若取 h(x) 1, g(x) = x,即為拉格朗日中值定理;若取 h(x) 1, g(x) 0 ,即為柯西中值定理; ( 自己驗(yàn)證 )中值定理的主要應(yīng)用與解題方法中值定理原函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)中值定理的主要應(yīng)用(1) 利用中值定理求極限(2) 研究函數(shù)或?qū)?shù)

12、的性質(zhì)(3) 證明恒等式(4) 判定方程根的存在性和唯一性(5) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論(6) 證明不等式反映反映反映反映（2） 應(yīng)用中值定理的關(guān)鍵為：應(yīng)用中值定理的關(guān)鍵為：如何構(gòu)造合適的輔助函數(shù)？（難點(diǎn)、如何構(gòu)造合適的輔助函數(shù)？（難點(diǎn)、 重點(diǎn)）重點(diǎn)）解題方法:從結(jié)論入手, 利用逆向分析法, 選擇有關(guān)中值定 理及適當(dāng)設(shè)輔助函數(shù) .(1) 證明含一個(gè)中值的等式或證根的存在 , 常用 羅爾定理 , 此時(shí)可用原函數(shù)法設(shè)輔助函數(shù).(2) 若結(jié)論中涉及到含一個(gè)中值的兩個(gè)不同函數(shù),可考慮用柯西中值定理 .注：注：（1） 幾個(gè)中值定理中最重要、最常用的是幾個(gè)中值定理中最重要、最常用的是:羅爾中值定理。羅爾中

13、值定理。(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上中值 , 必須多次 使用中值定理 .(4) 若已知條件或結(jié)論中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式 , 有時(shí)也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理 .(5) 若結(jié)論為恒等式 ,先證變式導(dǎo)數(shù)為 0 , 再利用 特殊點(diǎn)定常數(shù) .(6) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.構(gòu)造輔助函數(shù)的方法構(gòu)造輔助函數(shù)的方法(1)不定積分求積分常數(shù)不定積分求積分常數(shù)法法.構(gòu)造輔助函構(gòu)造輔助函數(shù)數(shù)的步的步驟驟如如下下: 將欲證結(jié)論中將欲證結(jié)論中的的改改寫為寫為 ； 通通過恒過恒等等變變形將形將結(jié)論結(jié)論化化為易為易消消除導(dǎo)除導(dǎo)數(shù)數(shù)符號符號的的形形式式.(即易即易積積 分形分形式式)；

14、利利用觀察用觀察法法或不定或不定積積分分法法,方程兩方程兩邊邊同時(shí)積同時(shí)積分分； （ 或解或解微微 分方程分方程）解解出積分常出積分常數(shù)數(shù),則則即為所求的輔即為所求的輔助助函函數(shù)數(shù)。以拉格朗日及柯西中值定理為以拉格朗日及柯西中值定理為例例， 說明輔助函說明輔助函數(shù)數(shù)的的構(gòu)造作法構(gòu)造作法：. 拉格朗日中拉格朗日中值定理的結(jié)值定理的結(jié)論論:將將 改寫改寫為為方程兩邊同時(shí)積方程兩邊同時(shí)積分分f(b) ) ) ) f f( ( ( (a a a a) ) ) ) xxxx+ + CC CC = = ff( (xx xx) ) b a解出積分常解出積分常數(shù)數(shù)，則則令輔助函令輔助函數(shù)數(shù)柯西中值定理的結(jié)柯西

15、中值定理的結(jié)論論:將將 改改寫為寫為直接積分消直接積分消不不去導(dǎo)數(shù)，故變形去導(dǎo)數(shù)，故變形為為方程兩邊同時(shí)積方程兩邊同時(shí)積分分解出積分常解出積分常數(shù)數(shù)，則則令輔助函令輔助函數(shù)數(shù)(2)常數(shù)變易常數(shù)變易法法此此法法適用于適用于常常數(shù)已分離數(shù)已分離出出來的命來的命題題, 構(gòu)造輔構(gòu)造輔助助函數(shù)的函數(shù)的步步 驟如驟如下下: 將常數(shù)部分設(shè)將常數(shù)部分設(shè)為為 恒等變恒等變形形,將等式一端變?yōu)閷⒌仁揭欢俗優(yōu)橛捎杉凹皹?gòu)成的代數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式式, 另另一端為一端為由由 及及構(gòu)成的代數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式式. 分析關(guān)于端分析關(guān)于端點(diǎn)點(diǎn)的表達(dá)式的表達(dá)式是是否為否為對對稱式或輪換稱式或輪換對對稱稱式式 ,若若是是,只要把端只要把端點(diǎn)

16、點(diǎn), 則換變量后的則換變量后的端端改改成成，改改成成點(diǎn)表達(dá)式為輔助函點(diǎn)表達(dá)式為輔助函數(shù)數(shù).例1. 證明方程 x5 5x+ 1 = 0 有且僅有一個(gè)小于1 的 正實(shí)根 .證: 1) 存在性 .設(shè) f(x) = x5 5x+1,則 f(x) 在 0 , 1 連續(xù) , 且f(0) = 1, f(1) = 3. 由介值定理知存在 x0 (0,1), 使f(x0 ) = 0,即方程有小于 1 的正根 x0 .2) 唯一性 .假設(shè)另有x1 (0, 1), x1 x0 , 使 f(x1) = 0, f(x) 在以x0 , x1 為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 , 在x0 , x1 之間至少存在一點(diǎn) , 使 f

17、() = 0.但 f(x) = 5(x4 1) 0,x( 0, 1), 矛盾, 故假設(shè)不真!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束5.2 .例題選講例2.設(shè) f(x)顯然 ?(x) 在0,1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 因此至少存在 (0 ,1) ,使得?() = n n 1 f() +nf() = 0即nf() + f() = 0機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束求證存在 (0 ,1) , 使 nf() + f() = 0.輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)在0,1 連續(xù)，(0,1) 可導(dǎo)，且 f(1) = 0 ,證： 設(shè)輔助函數(shù) ?(x) = xnf(x)如何想出來的？證: 取點(diǎn) x0 (a,b),再取異于 x0的點(diǎn) x

18、 (a,b),對 f(x) 在以x0 , x為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理得f(x) f(x0 ) = f()(x x0 )( 界于 x0 與x 之間)f(x)=f(x0 ) + f()(x x0 )f(x0 )+f()x x0f(x0 )+ M(b a)令 K =f(x0 )+ M(b a),則對任意 x(a,b),f(x) K,即 f(x) 在(a,b) 內(nèi)有界.例3. 設(shè)函數(shù) f(x) 在(a,b) 內(nèi)可導(dǎo), 且證明 f(x) 在(a,b)內(nèi)有界.f(x) M,例4. 設(shè)函數(shù) f(x)在 0 ,1上連續(xù), 在 (0 ,1) 內(nèi)可導(dǎo), 且 f(0) = 0 , 但當(dāng) x(0 ,1) 時(shí) f(

19、x) 0 , 求證對任意自然數(shù) n, 必有 (0 , 1) ,使nf() = f(1) f()f(1)分析分析分析分析: : 在結(jié)論中換 為 x,得nf(x) = f(1 x)積分積分積分積分 nln f(x) = ln f(1 x) + ln Cf(x)f(1 x)fn(x) f(1 x) = C顯然 F(x) 在 0 ,1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 因此必有(0 , 1) , 使 F() = 0 ,即nfn 1() f() f(1) fn() f(1) = 0因 fn() f(1) 0 ,所以nf() = f(1) f()f(1)證: 設(shè)輔助函數(shù) F(x) = fn(x) f(1 x)不定積分

20、不定積分不定積分不定積分求積分常數(shù)法!例5. 設(shè)函數(shù) f(x)在 0 ,1 上二階可導(dǎo), 且f(0) = f(1) = 0 , 證明至少存在一點(diǎn) (0 ,1) , 使f () = 2 f() .1分析分析分析分析: 在結(jié)論中將 換為 x, 得f (x) =2積分積分積分積分lnf(x) = 2 ln(1 x) + ln Cf(x)1 x(1 x)2 f(x) = C證: 設(shè)輔助函數(shù)F(x) = (1 x)2 f(x)因 f(x)在 0 ,1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件,所以存在(0 ,1) , 使 f() = 0.因此 F(x) 在 ,1上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故必存在 (,1) , 使 F() = 0即

21、有f () = 2 f() ,(, 1) (0 ,1) 1不定積分 求積分常數(shù)法!例6. 設(shè) f(x)在 a,b 上連續(xù), 在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo),且 0 a b, 證明存在 (a, b) ,使2af(b) bf(a) = f() f()ab(b a)證: 方法1 . 因?yàn)樗C結(jié)論左邊為b aa b(b a)af(b) bf(a) =baf(b)f(a)設(shè)輔助函數(shù)xF(x) = f(x)由于F(x) 在 a,b上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,且F(x) = xf(x) f(x) ,易推出所證結(jié)論成立 .x2方法2 . 令2af(b) bf(a) = f() f()ab(b a)= kab(b a)af(

22、b) bf(a)af(b) bf(a) = kab(b a)af(b) kab2= bf(a) ka2bbaf(b) kb2f(a) ka2=因此可考慮設(shè)輔助函數(shù)x( ) kxF(x) =f x 2由于 F(x)在 a,b上滿足羅爾定理?xiàng)l件,(a, b),使 F() = 0 ,由此可推得故存在k = ()x=f(x)x故所證結(jié)論成立.常數(shù)變易法*例7. 設(shè) f(x)在 a,b 上連續(xù), 在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo),且 f(a) = f(b) = 1,證明存在 ,(a, b) , 使e f() + f() = 1證:轉(zhuǎn)化為證 即證e f() + ef() = e設(shè)輔助函數(shù) F(x) = exf(x),

23、 由于它在 a,b 滿足 拉氏中值定理?xiàng)l件,因此存在 (a, b) ,使exf(x) x= = (ex) x=F(b) F(a) = F() b a= e f() + f()b ae eba再對 ?(x) = ex轉(zhuǎn)化為證e f() + ef() = e在 a,b 上用拉氏中值定理 ,則存在 (a,b), 使= eb ae eba因此,(a, b)e f() + ef() = ee f() + f()eb ea b a=(a, b) ,*例8. 設(shè) f(x)在 0 ,1上連續(xù), 在 (0 ,1)內(nèi)可導(dǎo),且 f(0) = 0 , f(1) = 1, 試證對任意給定的正數(shù) a, b,存在 ,(0 , 1) , 使 a證:轉(zhuǎn)化為證= 1f()f() 1, a+b+ a+b因0 aa+ b f(1)a+ b由連續(xù)函數(shù)定理可知,存在(0 , 1) , 使f() = a,a+ bf()f() b即 f(0) 0 時(shí)(x) = 1 + 1 (42(x) = 1 22 1 = 1 2x+1 x(x+1)1 022 (x+ 1 )2 124x+ 1又因 (0) =41(+ ) = lim 1 +