1、第二節(jié)第二節(jié) 極限的概念極限的概念 一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限 數(shù)列極限是極限概念中最簡單、最根本的情形，是函數(shù)列極限是極限概念中最簡單、最根本的情形，是函數(shù)極限的特例，為進一步討論函數(shù)極限應(yīng)先了解數(shù)列極限數(shù)極限的特例，為進一步討論函數(shù)極限應(yīng)先了解數(shù)列極限. . 1. 數(shù)數(shù)列列的的定定義義 在在某某一一對對應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)則則下下，當(dāng)當(dāng)()n n 依依次次 取取1,2,3, n,時時 ， 對對 應(yīng)應(yīng) 的的 實實 數(shù)數(shù) 排排 成成 一一 列列 數(shù)數(shù) ，12,nx xx這這列列數(shù)數(shù)就就稱稱為為數(shù)數(shù)列列，記記為為 nx. 數(shù)數(shù)列列也也可可理理解解為為定定義義域域為為正正整整數(shù)數(shù)集集*的的函函數(shù)數(shù) *( )

2、,nxf n n 數(shù)數(shù)列列中中的的第第 n 個個數(shù)數(shù)nx叫叫做做數(shù)數(shù)列列的的第第 n 項項或或一一般般項項. 例如數(shù)列：例如數(shù)列： 1 111, ,2 3n 一般項一般項1;nxn 1 2 3,2 3 41nn 一般項一般項1nnxn； 2,4, 6,8,( 1) 2 ,nn 一般項一般項( 1) 2nnxn 11, 1,1, 1,( 1),n 一般項一般項1( 1)nnx ； 上述各數(shù)列， 隨上述各數(shù)列， 隨 n 逐漸增大， 它們有其各自變化趨勢逐漸增大， 它們有其各自變化趨勢. 數(shù)列數(shù)列1n ，當(dāng)，當(dāng) n 無限增大時，一般項無限增大時，一般項1nxn無限接近無限接近于于 0； 數(shù)列數(shù)列1n

3、n，當(dāng)，當(dāng) n 無限增大時，一般項無限增大時，一般項1nnxn無限無限接近于接近于 0； 數(shù)數(shù)列列( 1) 2nn，當(dāng)當(dāng) n 無無限限增增大大時時，( 1) 2nxn 也也無無限限增增大大，所所以以( 1) 2nnxn 不不接接近近于于任任何何確確定定的的常常數(shù)數(shù). 數(shù)數(shù)列列1( 1)n，當(dāng)當(dāng) n 無無限限增增大大時時，當(dāng)當(dāng) n 為為奇奇數(shù)數(shù)時時，1( 1)1nnx ，當(dāng)當(dāng) n 為為偶偶數(shù)數(shù)時時，1( 1)1nnx ，即即nx不不接接近近于于任任何何確確定定的的常常數(shù)數(shù). 從從以以上上四四個個數(shù)數(shù)列列觀觀察察可可知知， nx的的一一般般項項nx的的變變化化趨趨勢勢有有兩兩種種情情形形或或無無限

4、限接接近近于于某某個個確確定定常常數(shù)數(shù)或或不不接接近近于于任任何何確確定定的的常常數(shù)數(shù).為為此此可可得得數(shù)數(shù)列列極極限限的的描描述述性性定定義義如如下下： 定義定義 1 如果數(shù)列如果數(shù)列 nx的項數(shù)的項數(shù) n 無限增大時，一般項無限增大時，一般項nx無限接近于某個確定的常數(shù)無限接近于某個確定的常數(shù) a，則稱，則稱 a 是數(shù)列是數(shù)列 nx的極的極限，此時也稱數(shù)列限，此時也稱數(shù)列 nx收斂于收斂于 a，記作，記作limnnxa或或()nxa n . 如如 ，1lim0nn或或10 nn ；lim11nnn或或11nnn . 定義中“當(dāng)定義中“當(dāng) n 無限增大時，無限增大時，一般項一般項nx無限接近

5、于無限接近于 a”的意思是：當(dāng)?shù)囊馑际牵寒?dāng) n 充分大時，充分大時，nx與與 a 可以任意靠近，要多可以任意靠近，要多近就能有多近， 也就是說，近就能有多近， 也就是說，nxa可以小于任意給的正數(shù)，可以小于任意給的正數(shù)，只要只要 n 充分地大充分地大. 例例 1 作作圖圖并并討討論論數(shù)數(shù)列列 215 5 9 91, ,2 3 4 5nnn 的的極極限限. nO12 3 4 5 612nx圖圖1-22例例 2 作作圖圖并并討討論論數(shù)數(shù)列列2 4 512,3 3 4nn的的極極限限. nO12 3 4 5 612nx圖圖1-23從從以以上上兩兩例例還還可可以以看看出出數(shù)數(shù)列列無無限限接接近近于于極

6、極限限值值的的方方式式是是多多種種多多樣樣的的. 例例如如數(shù)數(shù)列列1nn的的極極限限是是從從小小于于 1 逐逐漸漸增增大大無無限限接接近近于于 1.數(shù)數(shù)列列1nn是是從從大大到到小小無無限限接接近近于于極極限限值值 1； 數(shù)數(shù)列列21nnn 是是在在極極限限值值上上、下下跳跳動動地地?zé)o無限限接接近近于于 2. 例例 3 并不是任數(shù)列都有極限并不是任數(shù)列都有極限. （1） 數(shù)列數(shù)列1 23 4,1,2 34 51nnn正負交錯，正負交錯，當(dāng)當(dāng) n 無限增大時，不接近于任何確定的常數(shù)無限增大時，不接近于任何確定的常數(shù). （2） 數(shù)列數(shù)列1,2, 3,4,1,nn隨隨 n 無限增大其絕無限增大其絕對

7、值對值1nn無限增大，也不接近于任何確定的常數(shù)無限增大，也不接近于任何確定的常數(shù). 對于例對于例 3 中所提到的這些數(shù)列，給出下面定義中所提到的這些數(shù)列，給出下面定義. 定義定義 2 如果數(shù)列如果數(shù)列 nx的項數(shù)的項數(shù) n 無限增大時，它的一無限增大時，它的一般項般項nx不接近于任何確定的常數(shù)，稱數(shù)列不接近于任何確定的常數(shù)，稱數(shù)列 nx沒有極限，沒有極限，或稱數(shù)列或稱數(shù)列 nx發(fā)散，記作發(fā)散，記作limnnx不存在不存在. 當(dāng)當(dāng) n 無限增大時，如果無限增大時，如果nx無限增大，則數(shù)列沒有極無限增大，則數(shù)列沒有極限，習(xí)慣上也稱數(shù)列限，習(xí)慣上也稱數(shù)列 nx的極限是無窮大，記作的極限是無窮大，記作

8、limnnx . 1lim1nn和和lim1nnn都 不 存 在 ， 后 者 可 記 作都 不 存 在 ， 后 者 可 記 作lim1nnn . 為進一步討論收斂數(shù)列與發(fā)散數(shù)列的性態(tài)，下面先為進一步討論收斂數(shù)列與發(fā)散數(shù)列的性態(tài)，下面先給出有界數(shù)列和無界數(shù)列的定義，并探尋數(shù)列收斂的必給出有界數(shù)列和無界數(shù)列的定義，并探尋數(shù)列收斂的必要條件及數(shù)列無界與發(fā)散的關(guān)系要條件及數(shù)列無界與發(fā)散的關(guān)系. . 定義定義 3 對于數(shù)列對于數(shù)列 nx，如果存在正數(shù)，如果存在正數(shù) M，使得對于，使得對于一切一切nx都滿足不等式都滿足不等式nxM，則稱數(shù)列，則稱數(shù)列 nx是有界的；是有界的； 如果這樣的正數(shù)如果這樣的正數(shù)

9、 M 不存在，就說數(shù)列不存在，就說數(shù)列 nx是無界的是無界的. 收斂數(shù)列收斂數(shù)列21nn一定有界，取一定有界，取2M ，對于一切，對于一切nx都都有不等式有不等式 2221nn 成立成立. 發(fā)散數(shù)列發(fā)散數(shù)列1n也可能有界，也可能有界，11n； 無界數(shù)列無界數(shù)列( 1) 2nn一定發(fā)散；一定發(fā)散； 有 界 數(shù) 列有 界 數(shù) 列11 ( 1)2n 不 一 定 收 斂 ，不 一 定 收 斂 ，11 ( 1)12n ，但當(dāng)，但當(dāng) n 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，11( 1)02n ；當(dāng)；當(dāng)n 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，11( 1)12n . 綜上可知：收斂數(shù)列必有界綜上可知：收斂數(shù)列必有界.數(shù)列有界是數(shù)列收斂的數(shù)列

10、有界是數(shù)列收斂的必要條件，而不是充分條件必要條件，而不是充分條件.有界數(shù)列未必收斂有界數(shù)列未必收斂. 定定義義 4 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)( )f x在在(0)xm m時時有有定定義義，當(dāng)當(dāng) x 無無限限增增大大（記記作作x ）時時，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值無無限限接接近近于于確確定定的的數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A 是是函函數(shù)數(shù)( )f x當(dāng)當(dāng)x 時時的的極極限限.記記作作lim( )xf xA或或( )()f xA x . 二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限 前前面面已已說說過過，數(shù)數(shù)列列是是一一種種特特殊殊的的函函數(shù)數(shù)，因因此此，可可以以類類似似于于數(shù)數(shù)列列來來討討論論自自變變量量 x 在在某某一一變變化化過

11、過程程中中函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極限限. 根根據(jù)據(jù)自自變變量量 x 的的變變化化過過程程分分以以下下兩兩種種情情況況討討論論函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極限限： 1.自自變變量量 x 的的絕絕對對值值x無無限限增增大大即即趨趨于于無無窮窮大大（記記作作x ） 時時， 函函數(shù)數(shù)值值( )f x的的的的變變化化情情形形：（簡簡記記為為當(dāng)當(dāng)x 時時，( )f x的的極極限限）. 例例4 在同一坐標(biāo)系下作數(shù)列在同一坐標(biāo)系下作數(shù)列1nxn和函數(shù)和函數(shù)1(0)yxx的圖形的圖形.并分別觀察并分別觀察1()nxnn 及及1()yxx 的變化的變化趨勢，并指出各自的極限趨勢，并指出各自的極限. 1x2x3x

12、5x4x6x圖圖1-24xO2 3 4 5 611y12例例 5 lime0 xx，lim exx ，此此時時lim exx既既不不等等于于 0，也也不不是是；1lim0 xx，1lim0 xx，則則 1lim0 xx；lim arctan2xx，lim arctan2xx ，此此時時 limarctanxx不不存存在在. 如如果果 limxf xC或或 limxf xC，則則直直線線yC是是函函數(shù)數(shù) yf x的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線. 因因為為lim 20 xx，21lim2xxx，因因此此直直線線0y 與與2y 分分別別為為函函數(shù)數(shù)2xy 與與21xyx圖圖形形的的水水平平漸漸

13、近近線線. 類似地可以定義函數(shù)極限類似地可以定義函數(shù)極限 lim( )xf x 或或( )f x ()x . 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)lim( )xf x 與與lim( )xf x 時，時，lim( )xf x . 2. 自變量自變量x任意地接近于有限值任意地接近于有限值 0 x或者說趨于有限或者說趨于有限值值0 x（記作（記作0 xx）時，函數(shù)值）時，函數(shù)值 f x的變化情形： （簡記的變化情形： （簡記為當(dāng)為當(dāng)0 xx時，時， f x的極限）的極限）. 在給出在給出0 xx時函數(shù)極限之前，我們先考察時函數(shù)極限之前，我們先考察例例 6. x3yo圖圖1-2532121 211xf xx例例 6 當(dāng)當(dāng)

14、1x 時時，函函數(shù)數(shù) 211xf xx的的變變化化情情況況 例例 7 因為因為21723xx，所以，當(dāng)，所以，當(dāng)3x 時，時，217x，即，即 ( )mf xM.此處此處 21f xx在在3x 處有定義，且當(dāng)處有定義，且當(dāng)3x 時，時， f x的極限值恰好是的極限值恰好是 2f. yxO11圖圖2-5圖圖1-26因此，當(dāng)因此，當(dāng) 及及 都存在都存在, 但不相等但不相等, 或者或者)(0 xf0()f x)(0 xf與與 中至少有一個不存在時，就可斷言中至少有一個不存在時，就可斷言 存在存在.0lim( )xxf x0()f x例例 9 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21,1( )2,1xxf xx 證明：當(dāng)證明：當(dāng)1x 時，時，( )f x的的極限不存在極限不存在. 證證：1(1 )lim(21)1xfx，1(1 )lim( )2xff x， 即即(1 )(1 ),ff1lim( )xf x不不存存在在. 例例 10 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)221,( )221,xxf xxx 求求22lim( ),lim( ),xx