1、高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法一、相鄰問題捆綁法題目中規(guī)定相鄰的幾個元素并為一個組（當(dāng)作一個元素）參與排列. 例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的 排法種數(shù)有種。二、相離問題插空法元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定相 離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端.例2:七個人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)三、定序問題縮倍法在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3: A B CD E五個人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊（A、B可 不相鄰），那么不同的排法種數(shù)有 。四、標(biāo)

2、號排位問題分步法把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一 個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4:將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個 數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有 。五、有序分配問題逐分法有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5:有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需 2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人 中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有 。六、多元問題分類法元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì) 算，最后總計(jì)。例6:由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且沒有重復(fù)數(shù)

3、字的六位數(shù)，其中個位數(shù) 字小于十位數(shù)字的共有 個。例7:從1，2，3,100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被 7 整除，這兩個數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？例8:從1, 2,100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使其和能被 4整除的取法 （不計(jì)順序）有多少種？七、交叉問題集合法某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式n（ A- B） = n（ A） n（ B）- n（ A °E）例9 :從6名運(yùn)動員中選出4個參加4X100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙 不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？八、定位問題優(yōu)先法某個（或幾個）元素要排在指定位置，可先排這個（幾個

4、）元素，再排其他元素。 例10: 1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_種。九、多排問題單排法把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例11： 6個不同的元素排成前后兩排，每排 3個元素，那么不同的排法種數(shù)例12： 8個不同的元素排成前后兩排，每排 4個元素，其中某2個元素要排在 前排，某1個元素要排在后排，有多少種排法？ 十、“至少”問題間接法關(guān)于“至少”類型組合問題，用間接法較方便。例13:從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型 電視機(jī)各一臺，則不同取法共有種。十一、選排問題先取后排法從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，

5、 再安排到一定位置上，可用先取后排 法。例14：四個不同的球放入編號為1, 2, 3, 4的四個盒中，則恰有一個空盒的 放法共有種例15： 9名乒乓球運(yùn)動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練， 有多少種不同分組法？ 十二、部分合條件問題排除法在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。例16：以一個正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個。例17：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，不同的取法 共有種。十三、復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法例18:馬路上有編號為1, 2, 39九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉 相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩

6、盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？ 十四、利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法例19：圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個？高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法一、相鄰問題捆綁法題目中規(guī)定相鄰的幾個元素并為一個組（當(dāng)作一個元素）參與排列.例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的 排法種數(shù)有種。分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，貝U本題相當(dāng)于4人的全排列，A： =24 種。二、相離問題插空法元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定相 離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端.例2： 七個人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰

7、，那么不同排法的種數(shù)分析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為A種，再用甲乙去插6個空位有A種, 不同的排法種數(shù)是AA2 =3600種。三、定序問題縮倍法在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3: A B CD E五個人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊（A、B可 不相鄰），那么不同的排法種數(shù)有 。分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即丄代=60種。2四、標(biāo)號排位問題分步法把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一 個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4:將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1 2、3、

8、4的四個方格里，每格填一個 數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有 o分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對 應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填 法，共有3X 3X仁9種填法。五、有序分配問題逐分法有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5:有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需 2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人 中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有 o分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下的 8人中選1人承擔(dān)乙 項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有 G20CC

9、； = 2520 種。六、多元問題分類法元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì) 算，最后總計(jì)。例6:由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù) 字小于十位數(shù)字的共有 個。分析：按題意，個位數(shù)字只可能是0, 1, 2, 3, 4共5種情況，分別有A個，a4a3as,a3a1a3，a2a3a3，a1aI個，合并總計(jì) 300個。例7:從1, 2, 3,100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？分析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被 7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集

10、I,能被7整除的數(shù)的集合記做 '7,14,21198共有 14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做 A-'1,2,3,4J|,100共有86個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有G：，從A中任取一個，又從A中任取一個共有Ci；C；6，兩種情形共符合要求的取法有 C4 C；4C；6 =1295種。例8:從1, 2,100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使其和能被 4整除的取法 (不計(jì)順序)有多少種？分析：將I1,2,|3,10分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A-4, 8, 121 100能被4除余1的數(shù)集B胡,5,9,|97?，能被4除余2的數(shù)集C=2,6,|H，98?

11、，能被4除余3的數(shù)集D3,7,11，川99?，易見這四個集合中每一個有 25個元素；從A中任取兩個數(shù)符合要；從B,D中各取一個數(shù)也符合要求；從 C中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有c25C25C25C25 種七、交叉問題集合法某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式n( A_. B) = n( A) n( B)- n( A °B例9 :從6名運(yùn)動員中選出4個參加4X100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙 不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？分析：設(shè)全集1= 6人中任取4人參賽的排列, A=甲第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根據(jù)

12、求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：八、定位問題優(yōu)先法某個(或幾個)元素要排在指定位置，可先排這個(幾個)元素，再排其他元素。例10: 1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不 同的排法有種。分析：老師在中間三個位置上選一個有 A3種，4名同學(xué)在其余4個位置上有a4種方法；所以共有a3a4 = 72種。九、多排問題單排法把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例11： 6個不同的元素排成前后兩排，每排 3個元素，那么不同的排法種數(shù) 是。分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共 As -720 種。例12： 8個不同的元素排成前后

13、兩排，每排 4個元素，其中某2個元素要排在 前排，某1個元素要排在后排，有多少種排法？分析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排 2個，有A2種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有 a1種，其余5個元素任排5個位置上有A5種，故共有A4A4 As =5760種排法。十、“至少”問題間接法關(guān)于“至少”類型組合問題，用間接法較方便。例13:從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型 電視機(jī)各一臺，則不同取法共有種。分析1:逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的 電視機(jī)，故不同的取法共有c3-cl-c53 =70種。分析2：至少要甲型和乙 型電

14、視機(jī)各一臺可分兩種情況： 甲型1臺乙型2臺；甲型 2臺乙型1臺；故不同的取法有c5c4+c5c：=7o種。十一、選排問題先取后排法從幾類元素中取出符合題意的幾個元素， 再安排到一定位置上，可用先取后排 法。例14：四個不同的球放入編號為1, 2, 3, 4的四個盒中，則恰有一個空盒的 放法共有種分析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C：種，再排：在四個盒中每次排3個有A3種，故共有C4A3 =144種。例15： 9名乒乓球運(yùn)動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？分析：先取男女運(yùn)動員各2名，有CC：種，這四名運(yùn)動員混和雙打練習(xí)有 Af中排 法，故共有

15、C；C；A； =120種。十二、部分合條件問題排除法在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。例16：以一個正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個。分析：正方體8個頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成 Cs四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C；-12=58個。例17：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，不同的取法 共有種。分析：10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)共有C10種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：在四面體 的四個面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為 C4，四個面共有4C：個；過空間四邊形各邊 中點(diǎn)的平行四邊形共3個；過棱上三點(diǎn)與對棱中點(diǎn)的三角形共 6個；所以四點(diǎn)不共 面的情況的種數(shù)是 況4C： 一3一6 =141種。十三、復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法例18:馬路上有編號為1, 2, 39九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉 相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的