1、北師大版初中數(shù)學定理知識點匯總 九年級 ( 上冊)第一章證明(二)等腰三角形的“三線合一” ：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等邊三角形是特殊的等腰三角形， 作一條等邊三角形的三線合一線， 將等邊三角形分成兩個全等的直角三角形，其中一個銳角等于30o，這它所對的直角邊必然等于斜邊的一半。有一個角等于 60o的等腰三角形是等邊三角形。如果知道一個三角形為直角三角形首先要想的定理有：勾股定理： a2b2c2 （注意區(qū)分斜邊與直角邊）在直角三角形中，如有一個內(nèi)角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現(xiàn)）垂直平分線是垂直

2、于一條線段并且平分這條線段的直線。（注意著重號的意義）<直線與射線有垂線，但無垂直平分線>線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等。（如圖1所示， AO=BO=CO）AADFOOCCBBE圖 1圖 2角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角平分線逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。三角形三條角平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內(nèi)心。( 如

3、圖 2 所示， OD=OE=OF)第二章一元二次方程只含有一個未知數(shù)的整式方程，且都可以化為 ax 2bxc0 （a、b、c 為常數(shù)， a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。把 ax2bx c 0 （a、b、c 為常數(shù)， a0）稱為一元二次方程的一般形式，a 為二次項系數(shù)； b 為一次項系數(shù)； c 為常數(shù)項。解一元二次方程的方法：配方法 < 即將其變?yōu)?(x)20 的形式>m公式法xbb24ac（注意在找 abc 時須先把方程化為一般形式）2a分解因式法 把方程的一邊變成 0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘” ）配方法解一元二次方程的基本

4、步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式；將二次項系數(shù)化成1；把常數(shù)項移到方程的右邊；兩邊加上一次項系數(shù)的一半的平方；把方程轉化成 ( xm)20 的形式；兩邊開方求其根。根與系數(shù)的關系：當b2 -4ac>0 時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當 b2-4ac=0 時，方程有兩個相等的實數(shù)根；2當 b -4ac<0 時，方程無實數(shù)根。如果一元二次方程ax2bxc0的兩根分別為x1、x2，則有：x1x2bax1x2ca。一元二次方程的根與系數(shù)的關系的作用：（ 1）已知方程的一根，求另一根；（ 2）不解方程，求二次方程的根 x1 、x2 的對稱式的值，特別注意以下公式： x12x22( x1

5、x2 ) 22x1 x2 11x1 x2x1x2x1x2( x1 x2 ) 2( x1x2 )24x1 x2 | x1x2 |( x1x2 ) 24x1x2 (| x1 | x2 |)2( x1x2 ) 22x1 x22| x1 x2 | x13x23(x1 x2 )33x1 x2 ( x1 x2 )其他能用 x1x2 或 x1 x2表達的代數(shù)式。（ 3）已知方程的兩根 x1、 x2 ，可以構造一元二次方程：x2( 1x2)xx1x20x（ 4）已知兩數(shù)x1 、 x2的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉化為求一元二次方程x 2( x1x2 ) x x1 x20 的根在利用方程來解應用題時，主要分為

6、兩個步驟：設未知數(shù)（在設未知數(shù)時，大多數(shù)情況只要設問題為 x；但也有時也須根據(jù)已知條件及等量關系等諸多方面考慮） ；尋找等量關系（一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。分析方程求解處理問題的過程可以進一步概括為：問題解答抽象檢驗第三章證明（三）平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等, 對角相等 , 對角線互相平分。平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

7、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行線之間的距離： 若兩條直線互相平行， 則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì) , 且四條邊都相等 , 兩條對角線互相垂直平分, 每一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角

8、都是直角。 （矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。對角線相等的平行四邊形是矩形。四個角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。圖形，有兩條對稱軸）正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系(如圖 3所示)：梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。兩條腰相等的梯形叫做等

9、腰梯形。菱形一組鄰邊相等一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。（正方形是軸對稱一個內(nèi)角為直角（或對角線相等）一組鄰邊相等且一個內(nèi)角為直角平行四邊形正方形（或對角線互相垂直平分）一鄰邊相等一內(nèi)角為直角矩形或對角線垂直鵬翔教圖 3等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等，對角線相等。同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。夾在兩條平行線間的平行線段相等。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半第四章視圖與投影三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖的右邊。主

10、視圖：基本可認為從物體正面視得的圖象俯視圖：基本可認為從物體上面視得的圖象左視圖：基本可認為從物體左面視得的圖象視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面 ( 平面或曲面 ) ，而相連的兩個閉合線框一定不在一個平面上。在一個外形線框內(nèi)所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體） 上凸出或凹的各個小的平面體（或曲面體） 。在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投

11、影稱為中心投影。區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源；觀察影子。眼睛的位置稱為視點；由視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。從正面、上面、側面看到的圖形就是常見的正投影，是當光線與投影垂直時的投影。點在一個平面上的投影仍是一個點；線段在一個面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時，投影為一點；線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。第五章反比例

12、函數(shù)反比例函數(shù)的概念：一般地，yk （k 為常數(shù)， k 0）叫做反比例函數(shù)，即 y 是 xx的反比例函數(shù)。（x 為自變量， y 為因變量，其中x 不能為零）反比例函數(shù)的等價形式：y 是 x 的反比例函數(shù)yk (k 0) xy kx 1( k 0) xy k(k 0) 變量 y 與 x 成反比例，比例系數(shù)為 k.判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)關系有兩種方法：按照反比例函數(shù)的定義判斷；看兩個變量的乘積是否為定值<即 xyk >。（通常第二種方法更適用）反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線反比例函數(shù)的畫法的注意事項：反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點法”是不能畫的；選取的點越多畫的圖

13、越準確；畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特征） 。反比例函數(shù)性質(zhì)：當 k>0 時，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而減小；當 k<0 時，雙曲線的兩支分別位于二、 四象限；在每個象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大；雙曲線的兩支會無限接近坐標軸（ x 軸和 y 軸），但不會與坐標軸相交。反比例函數(shù)圖象的幾何特征 :( 如圖 4 所示 )點 P(x,y) 在雙曲線上都有 S矩形 OAPB | xy | | k | S AOB1 | xy |1 | k |22第六章 頻率與概率BPPB在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)；OAA O圖 4每一小組

14、的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率；即：頻數(shù)頻數(shù)頻率實驗次數(shù)數(shù)據(jù)總數(shù)在頻率分布直方圖中，由于各個小長方形的面積等于相應各組的頻率，而各組頻率的和等于 1。因此，各個小長方形的面積的和等于 1。頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準確，后者直觀。用一件事件發(fā)生的頻率來估計這一件事件發(fā)生的概率?？捎昧斜淼姆椒ㄇ蟪龈怕?，但此方法不太適用較復雜情況。假設布袋內(nèi)有 m個黑球，通過多次試驗，我們可以估計出布袋內(nèi)隨機摸出一球，它為白球的概率；要估算池塘里有多少條魚， 我們可先從池塘里捉上 100 條魚做記號，再放回池塘，之后再從池塘中捉上 200 條魚，如果其中有 1

15、0 條魚是有標記的，再設池塘共有 x 條魚，則可依照 10010 估算出魚的條數(shù)。（注意估算出來的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應謂之x 200“約是 XX”）生活中存在大量的不確定事件， 概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學模型， 它能準確地衡量出事件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會發(fā)生。初中數(shù)學知識點總結 ( 下冊 )第一章直角三角形邊的關系一 .正切：定義：在RtABC 中，銳角A 的對邊與鄰邊的比叫做A 的正切，記作tanA ，即A的對邊A的鄰邊; tanA 是一個完整的符號，它表示 A 的正切，記號里習慣省去角的符號“” ；tanA 沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中 A 的對邊與鄰邊的比；ta

16、nA 不表示“ tan ”乘以“ A”；初中階段，我們只學習直角三角形中， A 是銳角的正切；tanA 的值越大，梯子越陡， A越大； A 越大，梯子越陡， tanA 的值越大。二 .正弦：定義：在 Rt ABC 中，銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記作sinA ，即sin AA的對邊;斜邊三 .余弦：的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，即定義：在RtABC 中，銳角AAcosAcos AA的鄰邊;斜邊余切：定義：在 RtABC 中，銳角 A 的鄰邊與對邊的比叫做 A 的余切，記作cotA ，即cotAA的鄰邊;A的對邊一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切

17、、正切。（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達：若A 為銳角，則sin Acos(90A)；0o30 o45 o60 o90 ocos Asin(90A)sin 01231222tan Acot(90A)；cos13210222cot Atan(90A)tan 03133當從低處觀測高處的目標時， 視線與cot 3130水平線3所成的銳角稱為仰角當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出， (1) 當角度在 0° 90°間變化時，正弦值、

18、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大 ( 或減小 ) 而減小 ( 或增大 ) 。(2)0 sin 1，0cos 1。同角的三角函數(shù)間的關系：倒數(shù)關系： tg ·ctg =1。在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形圖 1中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在 ABC中， C 為直角， A、 B、 C所對的邊分別為 a、b、c，則有(1) 三邊之間的關系： a2+b2=c2；(2) 兩銳角的關系： A B=90°；(3)邊與角之間的關系：Ba ,b , tan Aa ,b ;

19、sin Acos Acot Accbai=h:lsin Bbab, cot Ba, cos B,tan B;ccab(4) 面積公式 : S1 ab 1 chc (hc 為 C邊上的高 );22hCAl圖 2(5) 直角三角形的內(nèi)切圓半徑 r a b c 2(6) 直角三角形的外接圓半徑 R1 c2解直角三角形的幾種基本類型列表如下：解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖 4圖 3 如圖 2，坡面與水平面的夾角叫做坡角( 或叫做坡比 ) 。用字母 i 表示，即 ihtan Al從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖 3，OA、 OB、OC的方位角分別為 45°

20、、 135°、 225°。指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角， 叫做方向角。 如圖 4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東 45°( 東南方向 ) 、南偏西為 60°，北偏西 60°。第二章二次函數(shù)二次函數(shù)的概念：形如2(是常數(shù)，a0) 的函數(shù)，叫做的二次y ax bx、 b、xc a函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。yax2 (a0) 是二次函數(shù)的特例，此時常數(shù) b=c=0.在寫二次函數(shù)的關系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關系，列出相應的函數(shù)關系式，并確定自變量的取值范圍。二次

21、函數(shù) y ax2 的圖象是一條頂點在原點關于 y 軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開口方向、對稱性、 y 隨 x 的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與 x 軸的交點等方面來描述。函數(shù)的定義域是全體實數(shù)；拋物線的頂點在 (0 ，0) ，對稱軸是 y 軸( 或稱直線 x0) 。當 a0 時，拋物線開口向上， 并且向上方無限伸展。 當 a0 時，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。函數(shù)的增減性：時 隨 增大而減小;B、當 a0 時A、當 a0 時 x 0 , y xx 0時, y隨 x增大而增大 .x 0時, y隨 x增大而增大 ;x 0時, y隨x增大而減小 .當 a越大

22、，拋物線開口越?。划?a越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當 a0，且 x 0 時函數(shù)有最小值，最小值是 0；當 a0，且 x0時函數(shù)有最大值，最大值是0二次函數(shù) yax2c 的圖象是一條頂點在y 軸上且與 y 軸對稱的拋物線二次函數(shù) y ax2bx c 的圖象是以 xb 為對稱軸，頂點在（b ， 4acb2）的2a2a4a拋物線。（開口方向和大小由 a 來決定）|a| 的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y 軸，y 隨 x 增長（或下降）速度越快；|a| 的越小，拋物線的開口程度越大， 越遠離對稱軸 y 軸，y 隨 x 增長（或下降）速度越慢。二次函數(shù) yax2c 的圖象中， a

23、 的符號決定拋物線的開口方向，|a| 決定拋物線的開口程度大小， c 決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。二次函數(shù) yax2bx c 的圖象與 yax2 的圖象的關系：y ax2bxc 的圖象可以由 yax2 的圖象平移得到，其步驟如下：將 y2bxc 配方成 y axh2k 的形式；（其中b，4acb2axh=k=）；()2a4a把拋物線 yax 2向右（ h>0）或向左（ h<0）平移 |h| 個單位，得到 y=a(x-h)2 的圖象；再把拋物線y a( x h)2 向上（ k>0）或向下（ k<0）平移 | k|個單位，便得到y(tǒng)a( xh)2k 的圖象。二次

24、函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)：二次函數(shù) yax2bxc 配方成 y a( xb ) 24ac b2則拋物線的b2a4a頂點坐標：（ b2對稱軸： x=， 4ac b）2a2a4ab增減性：若 a>0，則當 x<2a增大而增大。b時， y 隨 x 的增大而減?。划攛>2a時， y 隨 x 的若 a<0，則當 x< b2ab時， y 隨 x 的增大而增大；當x>2a時， y 隨 x 的增大而減小。最值：若 a>0，則當 x=b 時，y最小4ac b2；若 a<0，則當 x=b 時，y最大4ac b22a4a2a4a畫二次函數(shù) y ax2bx c 的圖

25、象：我們可以利用它與函數(shù) yax 2 的關系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點法 - 五點法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：先找出頂點（ b ， 4acb2），畫出對稱軸 x=b ；2a4a2a找出圖象上關于直線x=b 對稱的四個點（如與坐標的交點等） ；2a把上述五點連成光滑的曲線。2 ¤二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成 y=a(x-h) +k 的形式求得，也可以借助圖象觀察。理解問題；分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關系；用數(shù)學的方式表示它們之間的關系；做數(shù)學求解；檢驗結果的合理性、拓展性等。二次函數(shù) yax2bxc 的圖象 ( 拋物線

26、) 與 x 軸的兩個交點的橫坐標 x1，x2 是對應一元二次方程 ax 2bxc0 的兩個實數(shù)根拋物線與 x 軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：b24ac >0 <=> 拋物線與 x 軸有 2個交點；b24ac =0 <=> 拋物線與 x 軸有 1個交點；b24ac <0 <=> 拋物線與 x 軸有 0個交點（無交點）；當 b24ac >0 時，設拋物線與x 軸的兩個交點為A、 B，則這兩個點之間的距離：| AB | | x1 x2 | ( x2x1 )2( x1x2 ) 24x1x2化簡后即為：| AB|b24ac (

27、240)-這就是拋物線與x軸的兩交點之bac| a |間的距離公式。第三章圓一 . 車輪為什么做成圓形 1. 圓的定義：描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段 OA繞它固定的一個端點 O旋轉一周，另一個端點A 隨之旋轉所形成的圓形叫做圓；固定的端點 O叫做圓心；線段 OA叫做半徑；以點 O為圓心的圓，記作 O，讀作“圓 O”集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一確定： 一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。 2. 點與圓的位置關系

28、及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為 r ，點到圓心的距離為 d，則點在圓上 <=> d=r;點在圓內(nèi) <=> d<r;點在圓外 <=> d>r.其中點在圓上的數(shù)量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。二.圓的對稱性 : 1. 與圓相關的概念：弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，以CD 為端點的弧記為“”，讀作“圓弧 CD”或“弧 CD”。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。?/p>

29、大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。 ( 為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。 ) 弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角 .弦心距 : 從圓心到弦的距離叫做弦心距. 2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。 3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知

30、對于一個圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎Φ牧踊?。上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。4.定理：在同圓或等圓中 , 相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論 :在同圓或等圓中 , 如果兩個圓心角、 兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等 , 那么它們所對應的其余各組量都分別相等 .三.圓周角和圓心角的關系 : 1. 1°的弧的概念 : 把頂點在圓心的周角等分成 360 份時 , 每一份的角都是 1°的圓心角 , 相應的整個圓也被等分成 360 份 , 每一份同樣的弧叫 1°弧

31、 . 2. 圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等 .這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等 , 而不是角與弧相等 . 即不能寫成 AOB= , 這是錯誤的 .3.圓周角的定義 :頂點在圓上 , 并且兩邊都與圓相交的角, 叫做圓周角 .4.圓周角定理 :一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論 1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論 2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；四 .確定圓的條件 :1.理解確定一個圓必須的具備兩個條件:圓心和半徑 , 圓心決定圓的位置 , 半徑?jīng)Q定圓的大小 .經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓 ,

32、經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓 , 其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上 . 2. 經(jīng)過三點作圓要分兩種情況 :(1) 經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓 .(2) 經(jīng)過不在同一直線上的三點 , 能且僅能作一個圓 . 定理 : 不在同一直線上的三個點確定一個圓 . 3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念:(1) 三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形 : 經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓 , 這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形 .(2) 三角形的外心 : 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心 .(3) 三角形的外心的性質(zhì) : 三角形外心到三頂點的距離相等 .五.直線與圓的位置關系1.直

33、線和圓相交、相切相離的定義:(1) 相交 : 直線與圓有兩個公共點時 , 叫做直線和圓相交 , 這時直線叫做圓的割線 .(2) 相切 : 直線和圓有惟一公共點時 , 叫做直線和圓相切 , 這時直線叫做圓的切線 , 惟一的公共點做切點 .(3) 相離 : 直線和圓沒有公共點時 , 叫做直線和圓相離 . 2. 直線與圓的位置關系的數(shù)量特征 :設 O的半徑為 r ，圓心 O到直線的距離為 d； d<r <=> 直線 L 和 O相交 . d=r <=> 直線 L 和 O相切 .d>r <=> 直線 L 和 O相離 . 3. 切線的總判定定理 :經(jīng)過半徑的

34、外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線. 4. 切線的性質(zhì)定理 :圓的切線垂直于過切點的半徑.推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 . 推論 2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 . 分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結論間的關系 , 可得如下結論 :如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個, 就可推出第三個 .垂直于切線 ;過切點 ;過圓心 . 5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念 .和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 , 內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心 , 這個三角形叫做圓的外切三角形 . 6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì) :(1) 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等 .(2)

35、 過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角 .由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線 : 連接內(nèi)心和三角形的頂點 , 該線平分三角形的這個內(nèi)角.六. 圓和圓的位置關系 . 1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含 ( 包括同心圓 ) 這五種位置關系的定義 .(1) 外離 : 兩個圓沒有公共點 , 并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時 , 叫做這兩個圓外離 .(2) 外切 : 兩個圓有惟一的公共點 , 并且除了這個公共點以外 , 每個圓上的點都在另一個圓的外部時 , 叫做這兩個圓外切 . 這個惟一的公共點叫做切點 .(3) 相交 : 兩個圓有兩個公共點 , 此時叫做這個兩個圓相交 .(4) 內(nèi)切 : 兩個圓有惟

36、一的公共點 , 并且除了這個公共點以外 , 一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時 , 叫做這兩個圓內(nèi)切 . 這個惟一的公共點叫做切點 .(5) 內(nèi)含 : 兩個圓沒有公共點 , 并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時 , 叫做這兩個圓內(nèi)含 . 兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例 . 2. 兩圓位置關系的性質(zhì)與判定 :(1) 兩圓外離 <=> d>R+r(2) 兩圓外切 <=> d=R+r(3) 兩圓相交 <=> R-r<d<R+r (R r)(4) 兩圓內(nèi)切 <=> d=R-r (R>r)(5) 兩圓內(nèi)含 <=> d<R-

37、r (R>r) 3. 相切兩圓的性質(zhì) :如果兩個圓相切 , 那么切點一定在連心線上. 4. 相交兩圓的性質(zhì) :相交兩圓的連心線垂直平分公共弦 .七 . 弧長及扇形的面積 1. 圓周長公式 :圓周長 C=2 R (R 表示圓的半徑 )2.弧長公式 :弧長 ln R (R 表示圓的半徑 , n表示弧所對的圓心角的度數(shù) )180 3. 扇形定義 :一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形. 4. 弓形定義 :由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5.圓的面積公式 .圓的面積 SR 2 (R 表示圓的半徑 )6.扇形的面積公式 :2扇形的面積 S扇形

38、n R(R 表示圓的半徑 , n 表示弧所對的圓心角的度數(shù))360弓形的面積公式 :( 如圖 5)ABOOOABABCCC圖 5(1) 當弓形所含的弧是劣弧時 , S弓形 S扇形 S三角形(2) 當弓形所含的弧是優(yōu)弧時 , S弓形 S扇形 S三角形(3) 當弓形所含的弧是半圓時 ,S弓形1R2S扇形2八.圓錐的有關概念 : 1. 圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉一周而形成的圖形, 另一條直角邊旋轉而成的面叫做圓錐的底面 , 斜邊旋轉而成的面叫做圓錐的側面 . 2. 圓錐的側面展開圖與側面積計算 :圓錐的側面展開圖是一個扇形 , 這個扇形的半徑是圓錐側面的母線長、 弧長是圓錐

39、底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點 .如果設圓錐底面半徑為r, 側面母線長 ( 扇形半徑 ) 是 l,底面圓周長 ( 扇形弧長 ) 為 c,那么它的側面積是 :S側1 cl1 2 rlrlA22S表S側S底面rlr 2r (r l )¤九 .與圓有關的輔助線OP1. 如圓中有弦的條件 , 常作弦心距 , 或過弦的一端作半徑為輔助線 .2. 如圓中有直徑的條件 , 可作出直徑上的圓周角 .B3. 如一個圓有切線的條件 , 常作過切點的半徑 ( 或直徑 ) 為輔助線 . 圖 64. 若條件交代了某點是切點時 , 連結圓心和切點是最常用的輔助線 . ¤十 . 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四

40、個頂點都在同一個圓上 , 這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形 , 這個圓叫做這個四邊形的外接圓 .圓內(nèi)接四邊形的特征 : 圓內(nèi)接四邊形的對角互補 ;圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.十一 . 北師版數(shù)學未出理的有關圓的性質(zhì)定理1. 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。如圖 6， PA， PB分別切 O于 A、BPA=PB，PO平分 APBA2弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。O如圖 7，CD切 O于 C，則， ACD= BB3 和圓有關的比例線段：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條

41、弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等；C推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。如圖 8，AP?PB=CP?PD2如圖 9，若 CD AB于 P，AB為 O直徑，則 CP=AP?PB 4切割線定理切割線定理，從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。如圖 10， PT切 O于 T， PA是割線，點 A、B 是它與 O的交點，則 PT2=PA?PBPA、PC是 O的兩條割線，則PD?PC=PB?PA5兩圓連心線的性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點一定在

42、連心線上，或者說，連心線過切點。如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖 11， O1 與 O2 交于 A、B 兩點，則連心線O1O2 AB且 AC=BC。6兩圓的公切線兩圓的兩條外公切線的長及兩條內(nèi)公切線的長相等。如圖 12，AB分別切 O1 與 O2 于 A、B，連結 O1A，O2B，過 O2 作 O2C O1A 于 C，公切線長為 l ，兩圓的圓心距為 d，半徑分別為 R， r 則外公切線長：D圖 7Ld 2(Rr ) 2如圖 13，AB分別切 O1 與 O2 于 A、B，O2 C AB，O2CO1C于 C，O1 半徑為 R，2半徑為 r ，則內(nèi)公切線長： L22Od( R r

43、 )CBDCPDBOPAAAOOPBDTACA圖 10圖 8圖 9ROdO1CO2O1d1COR2B圖 11O2rrABB圖 12C圖 13第四章統(tǒng)計與概率1. 實驗頻率與理論概率的關系只是在實驗次數(shù)很多時 , 實驗頻率接近于理論概念 , 但實驗次數(shù)再多 , 也很難保證實驗結果與理論值相等 , 這就是“隨機事件”的特點 .三. 游戲公平嗎 ?1. 游戲的公平性是指游戲雙方各有 50%贏的機會 , 或者游戲多方贏的機會相等 .2. 表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的概率. 一個事件發(fā)生的概率取值在0 與 1之間.3. 概率的預測的計算方法 : 某事件 A 發(fā)生的概率 :事件 A包含的基本事件的個數(shù)P基本事件的總數(shù)4.用分析的辦法求事件發(fā)生的概率要注意關鍵性的兩點:(1) 要弄清楚我們關注的是發(fā)生哪個或哪些結果 ;(2) 要弄清楚所有機會均等的結果 .（注：表示重點部分；¤表示了解部分；表示僅供參閱部分；）北師大版初中數(shù)學定理知識點匯總 九年級 ( 下冊)第一章直角三角形邊的關系一 .正切：定義：在Rt ABC 中，銳角 A 的對邊與鄰邊的比叫做A 的正切，記作tanA ，即A的對邊tan A;A的鄰邊 tanA 是一個完整的符號，它表示 A 的正切，記號里習慣省去角的符號“”； tanA 沒有