1、專題研究ZH U A N T I Y A N J I U 92數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2010.7單因素及雙因素方差分析及檢驗(yàn)的原理及統(tǒng)計(jì)應(yīng)用張玲(遼寧丹東地質(zhì)工程職業(yè)學(xué)院118008【摘要】本文主要介紹了方差分析的基本原理及其統(tǒng)計(jì)應(yīng)用,并總結(jié)出進(jìn)行方差分析的計(jì)算步驟、計(jì)算公式匯總、離差的分解,同時(shí)利用單因素及雙因素的方差分析的原理對(duì)生產(chǎn)中的實(shí)際問題做了比較詳實(shí)的剖析,以便對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)這一理論的過程中能深入淺出,加深理解.【關(guān)鍵詞】單因素方差分析;雙因素方差分析;離差分解;F 檢驗(yàn)方差分析是研究一個(gè)(或多個(gè)自變量對(duì)一個(gè)(或多個(gè)因變量影響的方法.在科學(xué)試驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中,影響一事物的因素往往是很多的.例如,

2、在化工生產(chǎn)中,在原料成分、原料劑量、催化劑、反應(yīng)溫度、壓力、溶液濃度、反應(yīng)時(shí)間、機(jī)器設(shè)備操作人員的水平等因素,每一因素的改變都有可能影響產(chǎn)品的數(shù)量和質(zhì)量,有些因素影響較大,有些較小,為了使生產(chǎn)過程得以穩(wěn)定,保證優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn),就有必要找出對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量有顯著影響的那些因素.為此,我們需要進(jìn)行試驗(yàn).方差分析就是根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析,鑒別各個(gè)有關(guān)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響的有效方法.我們稱自變量為因素,單個(gè)表現(xiàn)形式為因素分組.可根據(jù)因素個(gè)數(shù)劃分方差分析的類型.若只有1個(gè)自變量和1個(gè)因變量,則稱為單因素方差分析;相應(yīng)的,若有2個(gè)自變量,則稱為雙因素方差分析,以此類推.若因變量多于一個(gè),則稱為多維方差分析.進(jìn)行方差

3、分析的過程我將其總結(jié)為三個(gè)步驟:(1表述問題.(2分析離差平方和.(3檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性.一、單因素方差分析1.表述問題為了找出方差分析的核心,我們先看下面這個(gè)問題:為了考察某種化工產(chǎn)品收率(%的影響,選擇了四種不同的溫度.在同一溫度下,各做五次試驗(yàn).測得的結(jié)果如下表所示:表1:試驗(yàn)結(jié)果表試驗(yàn)號(hào)溫度12345平均收率60849087938187659789968895937092878287828675817989908184總平均收率x =87.5.我們的目的是考察溫度這個(gè)因素對(duì)產(chǎn)品收率的影響,所以在做試驗(yàn)時(shí),除了溫度外,其他條件如工人的技術(shù)水平、原材料、試驗(yàn)器械等都要盡可能地相同.從平均收率來

4、看,好像溫度對(duì)收率有一定的影響.但仔細(xì)觀察一下又不是那樣直觀.表現(xiàn)在:(1同一溫度下的收率并不完全一樣.所以產(chǎn)生這種差異,是由于試驗(yàn)過程中存在著各種偶然因素的干擾和測量誤差等因素所致.這一類誤差統(tǒng)稱為試驗(yàn)誤差或隨機(jī)誤差.(2存在著不同溫度的影響.這種由于條件變更引起的差異,稱為條件變差.現(xiàn)在的問題為:試驗(yàn)誤差和條件變差哪一個(gè)是主要的.如果條件變差是主要的,那么應(yīng)選擇較好的工藝條件進(jìn)行生產(chǎn)或確定進(jìn)一步的試驗(yàn)方向.為了敘述方便,我們把不同條件稱為水平,上面的例子中,溫度分為四個(gè)水平,機(jī)器分為m 個(gè)水平.這里我們引入如下記號(hào):x i j =觀察值.其中:i :作為自變量表現(xiàn)形式的因素分組標(biāo)號(hào)(i =

5、1,2,3,;j :因素分組內(nèi)觀察值的標(biāo)號(hào)(j =1,2,3,;x i:因素分組觀察值的平均值;x :所有觀察值的總均值.2.分析離差平方和我們可以這樣理解,若溫度對(duì)收率無影響,則某化工產(chǎn)品收率的預(yù)測值是x .若假設(shè)溫度對(duì)收率有影響,則應(yīng)根據(jù)溫度,化工產(chǎn)品的預(yù)測值分別為x 1,x 2,x 3,x 4.觀察值與預(yù)測值的偏差(x i j -x i 歸因于隨機(jī)外部影響,因而未被解釋.于是,總離差可分解為兩部分(所謂的離差分解:總離差=已解釋離差+未解釋離差.在方差分析中,可將上述單個(gè)觀察值的總離差分解推廣到所有觀察的離差平方和.即總離差平方和=因素分組間離差平方和+因素分組內(nèi)離差平方和.現(xiàn)將方差分析

6、計(jì)算公式總結(jié)如下表二所示:表2:一個(gè)因素的方差分析表偏差來源偏差平方和自由度均方組間Q 1=n ni =1(x i-x 2m-1S 21=Q 1m-1組內(nèi)Q 2=m i =1nj =1(x i j -x i2m n -mS 22=Q 2m n -m 總和Q=mi =1nj =1(x i j-x 2m n -1S 2=Q 2m n -1Z H U A N T I Y A N J I U 專題研究93 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2010.7我們把數(shù)據(jù)按表二計(jì)算如下:表3:離差平方的計(jì)算偏差來源偏差平方和自由度均方組間Q 1=n ni =1(x i-x 2=195m-1=3S 21=Q 1m-1=65組內(nèi)Q 2

7、=mi =1nj =1(x i j -x i2=334m n -m=16S 22=Q 2m n -m =20.875總和Q =mi =1n j =1(x i j-x 2=546m n -1=191S 2=Q 2m n -1=28.7373.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性我們認(rèn)為求出的因素分組間和因素分組內(nèi)方差表明,可猜測因子“溫度”對(duì)產(chǎn)品的收率沒有影響,為了能在統(tǒng)計(jì)上檢驗(yàn)此猜測,我們用S 21比S 22:F 實(shí)際=S21S 22,其中F 實(shí)際表示實(shí)際F值.根據(jù)表四有F 實(shí)際=S 21S 22=6520.875=3.1138.實(shí)際F 值的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)取決于F 分布的狀況.檢驗(yàn)的出發(fā)點(diǎn)是零假設(shè)(H 0:不同的溫度對(duì)產(chǎn)

8、品收率相同;備選假設(shè)H 1為:不同的溫度對(duì)產(chǎn)品的收率的影響不同.F 檢驗(yàn)提出的問題用公式表示為:H 0:1=2=3=0.H 1:至少有一個(gè)值0.通過比較F 值與查表所得的理論F 值進(jìn)行檢驗(yàn),理論F 值表對(duì)各信任概率給出的一個(gè)檢驗(yàn)值,如果給定的顯著水平為=0.05,則F 0.05(3.16=3.24,由于3.1138<3.24,所以認(rèn)為溫度對(duì)產(chǎn)品的收率沒有顯著影響.二、雙因素方差分析我們上面討論的是單因素的方差分析,但是影響產(chǎn)品質(zhì)量和數(shù)量的重要因素往往不只一個(gè),例如,機(jī)器、工人的技術(shù)水平、原料等都是重要因素.這就需要討論多因素的方差分析.為了方便起見,我們對(duì)于兩個(gè)因素的方差分析也可以總結(jié)成

9、下表所示的形式,便于同學(xué)們計(jì)算及記憶和理解.表4:兩個(gè)因素的方差分析表偏差來源平方和自由度均方F 值A(chǔ) 的影響Q 1=n ni =1(x i-x 2m-1S 21F A =S 21S 23B 的影響Q 2=m nj =1(x j-x 2n -1S 22F B =S 22S 23交互影響A×B Q 3=c mi =1nj =1(x i j -x i -x j+x 2(m-1·(n -1S 23=Q 3(n -1(m-1F A ×B =S 23S 24誤差Q 4=m i =1nj =1(x i j -x i -x j+x 2m n (c -1S 24=Q 4m n (

10、c -1總和Q=mi =1nj =1(x i j-x 2m n c -1那么我們還是按照上面所論述的因素方差分析的步驟進(jìn)行兩個(gè)因素的方差分析.1.表述問題要試驗(yàn)8臺(tái)同類機(jī)器性能是否相同,4名工人的技術(shù)是否有顯著差異,使每位工人在每臺(tái)機(jī)器上操作一個(gè)工作日得到產(chǎn)量如表五所示:表5:某種橡膠各種不同配方試樣的拉力氧化鋅(B 拉伸力促進(jìn)劑(A 一二三四131.3334.3635.3639.38233.3436.3737.3938.41335.3737.3839.4042.442.分析離差平方和根據(jù)方差分析基本原理(離差分解我們以如下樹形圖為基礎(chǔ).根據(jù)上圖有如下關(guān)系式:總偏差=因素A 造成的偏差+因素B

11、 造成的偏差+因素A 和B 的交互作用造成的偏差+組內(nèi)偏差.將其結(jié)果計(jì)算如下表六所示:表6:某種橡膠不同配方拉伸力的方差分析表偏差來源平方和自由度均方F 值A(chǔ) 56.6228.319.4B 132.2344.130.2A ×B 4.760.80.55誤差17.5121.46總和211.0233.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性在雙因素方差分析中,比較所有的均值可以檢驗(yàn)兩個(gè)因素的不同效應(yīng).若所有的均值相等,則可假設(shè)兩個(gè)因素的各因素分組對(duì)因變量的影響相同(零假設(shè).否則,可假設(shè)至少一個(gè)因素分組與其他因素分組產(chǎn)生的影響不同(備選假設(shè).其他問題的解決涉及各因素及交互效應(yīng)的單獨(dú)分析.此時(shí)的零假設(shè)為:各因素分組及交

12、互效應(yīng)的平均值相等.根據(jù)計(jì)算的方差分析表,對(duì)=0.01,F 0.01(2.12=6.9,F 0.01(2.12=6,F 0.01(0.12=4.82,因19.4>6.9,30.2>6,0.55<4.82,所以促進(jìn)劑和氧化鋅的影響都是顯著的,而它們的交互作用則可以忽略.三、方差分析的推廣在以上的論述中,我們都認(rèn)為每個(gè)單元格中的觀察值個(gè)數(shù)相同,方差分析的第一個(gè)推廣是引入數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不等的單元格,由此須調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)差分解分式,但標(biāo)準(zhǔn)差分解的原理不變,只是增加對(duì)每個(gè)觀察值的加權(quán).另一個(gè)推廣是在分析引入兩個(gè)以上的因素,標(biāo)準(zhǔn)差分解的原理同樣保持不變.例如,三因素方差分析與雙因素方專題研究ZH U

13、 A N T I Y A N J I U 94 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2010.7差分析的原理相同,加入第三個(gè)因素僅使標(biāo)準(zhǔn)差分解略微發(fā)生變化.總離差平方和分解如下圖所示:三因素設(shè)計(jì)的總離差平方和分解與雙因素方差分析相比,三因素方差分析的特點(diǎn)在于,可能的交互效應(yīng)有兩個(gè)層面:一是因素間兩兩的交互效應(yīng),二是所有的三個(gè)因素的交互效應(yīng).分析中引入三個(gè)以上的因素,則因素交互效應(yīng)的分析層面相應(yīng)增多,但此時(shí)交互作用的實(shí)際意義就會(huì)降低或減少.若根據(jù)F 檢驗(yàn),拒絕所有的因素分組影響相同的零假設(shè),則必然會(huì)產(chǎn)生這樣的問題:哪些因素分組的影響不同于其他?對(duì)此,可運(yùn)用所謂的我維檢驗(yàn)(均值檢驗(yàn).該檢驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了成對(duì)均值的比較或均值線性

14、組合間的比較.四、方差分析的應(yīng)用建議要應(yīng)用方差分析,必須滿足一些前提條件,這涉及調(diào)查數(shù)據(jù)特征和數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià).從科學(xué)理論角度看,必須提出關(guān)于自變量(如溫度與因變量(如收率間影響關(guān)系的假設(shè),要由方差分析解答的理論問題不能先從數(shù)據(jù)中得出.除了得出統(tǒng)計(jì)上顯著的結(jié)果,還能否得出具有重要實(shí)際意義的論斷取決于影響關(guān)系假設(shè)的質(zhì)量.統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)的選擇提出了一定要求.在研究中,自變量可能具有任意的測試標(biāo)準(zhǔn)(名義、序數(shù)及基數(shù)的尺度,但因變量必須是基數(shù)測度的.因素間必須具有明顯的區(qū)別,就是說,它們的必須是完全不同的因變量影響量.若從兩個(gè)假定不同因素中得出相同的關(guān)系,則因變量的波動(dòng)不再明確地歸因于其中一個(gè)因素.【參考文

15、獻(xiàn)】1盛驟.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì).北京:高等教育出版社,2001(12.2李志偉.統(tǒng)計(jì)分析概論.北京:對(duì)外貿(mào)易出版社,1984(10.3德克勞斯·巴克毫斯.多元統(tǒng)計(jì)分析方法.上海:上海人民出版社,2008(10.4美P .L .M e y e r .概率引論及統(tǒng)計(jì)應(yīng)用.北京:高等教育出版社,1986(8.5薛毅.最優(yōu)化原理和方法.北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社,2001(1.6孫文瑜,徐成賢,朱德通.最優(yōu)化方法M .北京:高等教育出版社,2004(1.7吳乙申.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué).北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1986(11.(上接91頁 2z x y=-s e c 2x s e c 2y t a n (x +

16、y -s e c 2x t a n y s e c 2(x +y -t a n x s e c 2y s e c 2(x +y ,29 2z y2=-2t a n x s e c 2y s e c 2(x +y -2t a n x t a n y t a n (x +y s e c 2y +s e c 2(x +y .30聯(lián)立組成方程組z x =-s e c 2x t a n y t a n (x +y -t a n x t a n y s e c 2(x +y =0, z y =-t a n x s e c 2y t a n (x +y -t a n x t a n y s e c 2(x +y =0,解之得x =3,y =3.x =y =p =3.將x =y =p =3分別代入 28 29 30,得A =123,B=83,C=123,=B 2-A C=(832-123·123=-240<0,且A =123>0,由命題1知:z =t a n x t a n y t a n p 在x =y =p =3時(shí)取得極小值,極小值為z 極小=t a n 3t a n 3t a n 3=33.由這個(gè)問題的實(shí)際意義知該極小值就是所求最小值.解法2(利用拉格朗日乘數(shù)法略.推廣6在三角形A B C 中,x ,y ,p 分別是它的三個(gè)內(nèi)角,