1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）責(zé)編：曾山【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：） 2.勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）解決與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；（4）勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1

2、.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為；（2）驗(yàn)證：與是否具有相等關(guān)系： 若，則ABC是以C為90°的直角三角形； 若時(shí)，ABC是銳角三角形；若時(shí)，ABC是鈍角三角形 2.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：常見的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三

3、角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】類型一、勾股定理及逆定理的應(yīng)用1、如圖所示，等腰直角ABC中，ACB90°，E、F為AB上兩點(diǎn)(E左F右)，且ECF45°，求證：.【思路點(diǎn)撥】由于ACB90°，ECF45&

4、#176;，所以ACEBCF45°，若將ACE和BCF合在一起則為一特殊角45°，于是想到將ACE旋轉(zhuǎn)到BCF的右外側(cè)合并，或?qū)CF繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到ACE的左外側(cè)合并，旋轉(zhuǎn)后的BF邊與AE邊組成一個(gè)直角，聯(lián)想勾股定理即可證明 【答案與解析】解：(1)，理由如下： 將BCF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得ACF，使BCF的BC與AC邊重合， 即ACFBCF， 在ABC中，ACB90°，ACBC， CAFB45°， EAF90° ECF45°， ACEBCF45° ACFBCF， ECF45° 在ECF和ECF中 ECFECF(SAS)，

5、EFEF 在RtAEF中， 【總結(jié)升華】若一個(gè)角的內(nèi)部含有同頂點(diǎn)的半角，(如平角內(nèi)含直角，90°角內(nèi)含45°角，120°角內(nèi)含60°角)，則常常利用旋轉(zhuǎn)法將剩下的部分拼接在一起組成又一個(gè)半角，然后利用角平分線、全等三角形等知識(shí)解決問題舉一反三：【變式】已知凸四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，ADDC，求證：. 【答案】解：將ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°由于DCAD，故點(diǎn)A轉(zhuǎn)至點(diǎn)C點(diǎn)B轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，連結(jié)BE BDDE，BDE60° BDE為等邊三角形，BEBD易證DABDCE，A2，CEAB 四邊形ADCB中

6、ADC60°，ABC30° A1360°60°30°270° 121A270° 3360°(12)90° 2、如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度數(shù)【答案與解析】解：如圖，做ECB=PCA，且使CE=CP，連結(jié)EP，EB在APC和BEC中APCBECPCE為等腰直角三角形CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8又PB2=1，BE2=9PE2+ PB2= BE2 則BPE=90°BPC=135°

7、;【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理的逆定理，通過觀察所要求的角度，作出輔助線，把PA、PB、PC的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形三條邊，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵，當(dāng)然此題也可以利用旋轉(zhuǎn)的思想來(lái)解，即將APC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使CA與CB重合即APCBEC.類型二、勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用3、（2016春豐城市期末）如圖，已知四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積【思路點(diǎn)撥】連接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由AD及CD的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD為直角三角形，根據(jù)四邊形ABCD的面

8、積=直角三角形ABC的面積+直角三角形ACD的面積，即可求出四邊形的面積【答案與解析】解：連接AC，如圖所示：B=90°，ABC為直角三角形，又AB=3，BC=4，根據(jù)勾股定理得：AC2=25，又CD=12，AD=13，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，CD2+AC2=AD2，ACD為直角三角形，ACD=90°，則S四邊形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=×3×4+×5×12=36故四邊形ABCD的面積是36【總結(jié)升華】此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理

9、及勾股定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵4、如圖：正方形ABCD中，E是DC中點(diǎn)，F(xiàn)是EC中點(diǎn).求證：BAF=2EAD.【答案與解析】證明：取BC中點(diǎn)G，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交DC延長(zhǎng)線于H ABG=HCG，BG=CG，AGB=HGC GABHCG GAB=H，AB=CH又 AB=AD，B=D，BG=DE ABGADE GAB=DAE在中，設(shè)，由勾股定理得：又 AF=HF FAH=H FAH=DAE BAF=2DAE【總結(jié)升華】要證BAF=2EAD，一般方法是在BAF中取一個(gè)角使之等于EAD，再證明另一個(gè)角也等于EAD，另一種方法是把小角擴(kuò)大一倍，看它是否等于較大的角.舉一反三：【變式】（2014春防城區(qū)期

10、末）如圖所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長(zhǎng)為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，問過3秒時(shí)，BPQ的面積為多少？【答案】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，周長(zhǎng)為36cm，AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，得x=3，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，過3秒時(shí)，BP=93×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），SPBQ=BPBQ=×（93）×6=18（cm2）

11、故過3秒時(shí)，BPQ的面積為18cm2類型三、勾股定理的實(shí)際應(yīng)用5、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路點(diǎn)撥】作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GB，交CD于點(diǎn)E，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可知應(yīng)在E處飲水，再根據(jù)對(duì)稱性知GB的長(zhǎng)為所走的最短路程，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可解決【答案與解析】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GB交CD于點(diǎn)E，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可以知道在E點(diǎn)處飲水，所走路程最短說(shuō)明如下：在直線CD上任意取一異于點(diǎn)E

12、的點(diǎn)I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE 點(diǎn)G、A關(guān)于直線CD對(duì)稱， AIGI，AEGE由“兩點(diǎn)之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GIBIGBAEBE，于是得證最短路程為GB的長(zhǎng)，自點(diǎn)B作CD的垂線，自點(diǎn)G作BD的垂線交于點(diǎn)H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程為1000米【總結(jié)升華】這是一道有關(guān)極值的典型題目解決這類題目，一方面要考慮“兩點(diǎn)之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個(gè)量，通過與求證的那個(gè)“最大”“最小”的量進(jìn)行比較來(lái)證明，如本題中的I點(diǎn)本題體現(xiàn)了勾股定理在實(shí)

13、際生活中的應(yīng)用舉一反三：【變式】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E，AE3，EB1，在AC上有一點(diǎn)P，使EPBP最短求EPBP的最小值【答案】解：根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知：BPDP，連接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP， 即最短距離EPBP也就是ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根據(jù)勾股定理得： ED0， ED5， 最短距離EPBP56、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力如圖臺(tái)風(fēng)中心在我國(guó)臺(tái)灣海峽的B處，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心25千米，臺(tái)風(fēng)就會(huì)減弱一級(jí)，如圖所示，

14、該臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度沿北偏東30°方向向C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心的風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過4級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響試問：（1）該城市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？【答案與解析】解：（1）該城市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響理由：如圖，過點(diǎn)A作ADBC于D點(diǎn)，則AD即為該城市距離臺(tái)風(fēng)中心的最短距離在RtABD中，因?yàn)锽=30°，AB=240AD=×240120（千米）由題可知，距臺(tái)風(fēng)中心在（12-4）×25=200（千米）以內(nèi)時(shí)，則會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響因?yàn)?20200，因此該城市將會(huì)受到影響（2）依題（1）可知，當(dāng)點(diǎn)A距臺(tái)風(fēng)中心不超過200千米時(shí)，會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，故在BC上作AE=AF=200；臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)F處時(shí)，該城市會(huì)處在臺(tái)風(fēng)影響范圍之內(nèi)（如圖）由勾股定理得，