1、培養(yǎng)學生的運算能力的原則及途徑分類： 教學相長長善救 | 本文是筆者在學生期中考試后，面對學生試卷出現(xiàn)的一些運算問題而進行的一個反思，希 望對全體同學進一步提高運算能力有所幫助。在實際的教學中，學生的智力達到一定水平， 可是成績并沒有提高多少。究其原因，我發(fā)現(xiàn) 學生對教師講授的知識理解掌握很快， 可是在自己進行練習的時候， 錯誤率極高， 而很多原 因可以歸于運算錯誤，常常出現(xiàn)知識要點掌握了， 方法會了， 運算屢屢出錯，所以數(shù)學學習 的效果不理想。 這是目前數(shù)學教學中隨處可見的現(xiàn)象， 讓我們有時真的很無助。 通過期中考 試試卷分析， 我們也發(fā)現(xiàn)， 學生的運算能力低下成為失分的主要問題， 好多錯誤

2、都是因運算 失誤而致。 為此，如何進一步提高學生的運算能力，提高數(shù)學學習質量，成為值得我們思考 的迫切問題。一、國內(nèi)外學生運算能力現(xiàn)狀 根據(jù)美國教育進步評估會的最新報告， 過去十年中， 美國的四年級和八年級學生的數(shù)學運算 能力已經(jīng)大大提高。但是，只有 25的學生能夠熟練進行數(shù)學運算。每四年，美國教育進 步評估會都會對約 10 萬學生進行調查。目前，已經(jīng)有 40 個州參加這項調查。美國教育進步評估會對數(shù)學運算能力熟練與否進行了詳細的定義。 所謂熟練， 就是說學生遇 到有挑戰(zhàn)性的問題時，可以展示“扎實的學術表現(xiàn)” ，既能自己解決問題，又能在此基礎上 有所突破。 所謂熟練程度低， 就是說學生只能部分

3、掌握學校所要求的數(shù)學知識和技能來解決 問題。這項調查還表明：(1)在四年級，每天用計算器的學生數(shù)學成績較差，但是8年級至 12 年級的情況正好相反，這類學生通常都是尖子生。(2)學生如果師從于備課認真或專業(yè)能力強的教師，那么其成績通常較高。 (3)四年級的學生中，每天用 15 至 30 分鐘完成家庭作 業(yè)的人比那些用更長時間的學生成績好；而 12 年級的學生中，兩類學生成績差不多。有學者對我國部分地區(qū)七、 八、九年級學生運算能力進行調查表明， 學生運算能力也不容樂 觀。有學者認為學生運算能力低下都是“計算器惹的禍” ，長期使用計算器，減少了學生計 算能力的訓練，導致學生對數(shù)字的不敏感，不利于學

4、生的動手計算能力和數(shù)學思維的發(fā)展， 目前， 已有合肥、南京、西寧等全國多數(shù)城市中考禁用計算器。 現(xiàn)行的初中教材沒有很多基 礎知識的計算公式， 也沒有運用公式計算的例題和習題，淡化了定性的計算， 從而造成學生 計算題做得少， 加上學生過分依賴計算器，也沒有受到解答計算題的格式、 步驟和方法的規(guī) 范訓練，在高中階段引發(fā)了一系列問題。不少老師也埋怨： “學生的計算能力太差了，連簡 單的運算都過不了關， 甚至數(shù)學基礎好的學生的運算結果也經(jīng)常出錯。 ”高考中的三角函數(shù)、 立體幾何、 解析幾何及壓軸題都要求很強的運算能力， 但現(xiàn)實是， 很多高中生對數(shù)字沒有感 覺，運算能力偏弱， 這讓高中老師很頭疼。這種狀

5、況出現(xiàn)的原因是多方面的。有的學生不對 簡單的公式、 公理、定理進行記憶、 理解， 不明算理， 機械地照搬公式， 不能進行靈活運用； 有的學生不注意觀察、不進行聯(lián)想、不進行比較，不顧運算結果，盲目推演，缺乏合理選擇簡捷運算途徑的意識；也有的學生對提高運算能力缺乏足夠的重視，他們總是把“粗心” “馬虎” 作為借口。 也有相當多的老師只著重解題方法和思路的引導， 而忽視對解題思路的 歸納總結。、運算及其運算能力的意義1.所謂運算是指在運算律的指導下對具體的數(shù)、式進行變形的演繹過程。中學數(shù)學中的運算 包括數(shù)的運算、 式的恒等變形， 方程和不等式的同解變形，初等函數(shù)的運算和求值，各種幾 何量的測量與計算

6、，求數(shù)列和函數(shù)的極限，集合的運算、求導數(shù)、微積分等分析運算，行列 式、矩陣、向量的有關運算，初等超越運算及統(tǒng)計量的計算等。2. 運算能力是指對記憶能力、計算能力、觀察能力、理解能力、聯(lián)想能力、表述能力、邏 輯思維能力等數(shù)學能力的統(tǒng)稱， 是學生在有目的的數(shù)學運算活動中，能合理、靈活、正確的 完成數(shù)學運算影響運算活動效率的個性心理特征。運算能力是思維能力和運算技能的結合， 包括分析運算條件、 探究運算方向、 選擇運算公式、 確定運算程序等一系列過程中的思維能 力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力以及實施運算和計算的技能。3.運算能力的基本要求為：會根據(jù)概念、公式、法則進行正確運算、變

7、形和數(shù)據(jù)處理；根據(jù) 問題的條件和目標， 尋找與設計合理、簡捷的運算途徑； 能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估算， 并能 進行近似計算。4.運算能力的四個要素：準確程度，合理程度，簡捷程度，快慢程度。三、運算能力培養(yǎng)的幾個原則1.堅持階段性原則。運算能力是思維能力與運算技能的結合，是解決問題的一種必備能力。 學生運算能力的差異，主要表現(xiàn)在運算心理的四種品質， 即運算的正確性、 迅速性、靈活性 和合理性上。因此，培養(yǎng)學生的運算能力，必須從培養(yǎng)、訓練、協(xié)調、發(fā)展運算的各能力因 素入手。培養(yǎng)和發(fā)展某一種運算的運算能力大致經(jīng)歷以下幾個階段：(1)理解有關運算的基本知識到形成這種運算的技能的階段。(2)從運算技能上升

8、到運算能力的階段。(3)在各種應用中，進一步提高運算能力的階段。首先要完成從知識到技能的過渡， 重點是準確理解有關知識， 熟練有關運算的方法、 步驟，應該本著“先慢后快” 、“先死后活”的原則。隨著運算技能的形成，逐漸簡化運算步驟，靈 活運用法則、公式。培養(yǎng)學生合理選擇簡捷運算途徑的意識和習慣。計算能力的初步形成，還必須在今后應用中得到鞏固、發(fā)展和深化。在應用過程中，運算的 目的不一定是追求一個簡化的結果，而且要為一定的推理、演繹、判斷服務。2.突出算法思想原則。運算能力培養(yǎng)的出發(fā)點和著眼點不僅是“計算” ，且更有利于學生思維品質的提高，促使學 生對算理、算法的理解，對解題策略的合理、靈活地運

9、用尤為重要。要重視培養(yǎng)良好的運算習慣， 必須以算法思想統(tǒng)帥數(shù)學解題活動， 扎實做好算法分析、 算法 設計、算法評價，真正做到在正式動手之前算理明晰、算法合理。(1)把好審題關，抓好審題訓練審題訓練能培養(yǎng)學生最初定向能力。 增進運算方向的正確性。 要做一個運算問題， 首先要做 到審視性讀題、多角度觀察、綜合性思考，以確定運算方向，過好審題關。細心閱讀題目， 看清數(shù)字、 運算符號， 觀察數(shù)的特點及數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系， 考慮按什么順序進行運算？能不 能簡便運算？什么地方可以口算？估計題目的結果在一個怎樣的范圍內(nèi)？(2)抓好計算關，優(yōu)化運算過程和運算方法的訓練優(yōu)化運算方法， 可以提高運算的合理性。 我們

10、要重視數(shù)學思想對運算的指導作用。 數(shù)學思想 是數(shù)學的基本觀點， 是數(shù)學中最本質、 最高層次的東西， 它是優(yōu)化運算過程和運算方法的指 導原則， 是解決運算合理性的基本策略的源泉， 是數(shù)學運算的靈魂。 指導數(shù)學運算最常用的 是化歸思想，即把要解決的運算問題轉化為已經(jīng)具有確定解法和程序的規(guī)范的運算問題。(3)把好驗算關，認真檢查和驗算。抄題后要檢查有無錯誤，計算后通過估算和驗算及時發(fā) 現(xiàn)和糾正錯誤。 在計算過程中要書寫整潔， 格式規(guī)范。 平時作業(yè)堅決做好沒有演草紙不作題 的習慣，不直接在作業(yè)本上亂涂亂改，保持作業(yè)整潔。3.注意因人而異原則。運算能力的層次性和綜合性， 決定了不同的學生要有不同要求，區(qū)

11、別對待。 學習基礎較好且學有余力的學生可以適當拓展， 做教科書中的星號題和補充題，激發(fā)學習的興趣， 進一步發(fā)展思維的靈活性和綜合運用知識解決實際問題的能力； 對于學習基礎較差的學生， 則要著重 掌握好基礎知識和基本技能，提高解題的正確率，以達到中學數(shù)學教學的基本要求。4.加強足量練習原則。運算能力的提高沒有什么簡便快速的方法， 它的提高是建立在反復， 大量的練習中的， 盡管 這個過程是枯燥的，但是，只要練習量、練習時間搭配合理，選題準確，學生將會從中獲益 匪淺，運算能力的提高也不會很遙遠。四、運算能力的培養(yǎng)途徑(一)學生自我訓練1.準確理解和牢固掌握各種運算所需的概念、性質、 公式、法則和一些

12、常用數(shù)據(jù)； 對于概念、性質、 公式、法則的理解深刻的程度直接影響方法的選擇與運算速度的快慢。概念模糊，公 式、法則含混， 必定影響運算的準確性。 為了提高運算的速度，熟記一些常用的數(shù)據(jù)仍是必 要的。女口 20 以內(nèi)的自然數(shù)的平方數(shù)，簡單的勾股數(shù)，特殊三角函數(shù)值，Ig2、Ig3、n、e精確到 0.001 的近似值等。2.掌握運算的通法、通則，靈活運用概念、性質、公式和法則進行運算。編制、收集一些靈 活性較大的練習題， 從習練中歸納、 積累經(jīng)驗，形成熟練技巧，以提高運算的簡捷性和迅速 性。3.學習中注意教師及例題的典型示范，明確解題的目標、計算的步驟及其依據(jù)。通過典型示 范比較順利的由理解知識，過

13、渡到應用知識，從而形成運算能力。4.提高運算中的推理能力數(shù)學運算的實質是根據(jù)運算定義及性質，從已知數(shù)據(jù)及算式推導出結果的過程， 也是一種推理的過程。 運算的正確性與否取決于推理是否正確， 如果推理不正 確，則運算就出錯。在運算推理中要特別注意等價變換。5.注意關于數(shù)、式的恒等變形(變換)能力的訓練。(1)符號變換，例如，去括號、添括號時的符號變換。(2)互逆變換，例如，加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、微分與積分等。(3) 配方變換。例如， a2+b2=(a+b)2-2ab 等。分解變換，例如，已知 x-y=3 , y-z=5，求 x-z，可以分解 x-z=(x-y)+(y-z)。(5)換元

14、變換，例如，引入輔助元素，構造輔助函數(shù)，添加輔助線，添設參變量等。6.加強運算練習任何能力都是在一定的實踐活動中形成和發(fā)展起來的，為了有效的提高學生的運算能力就必須加強練習， 練習要有目的性、 系統(tǒng)性、 典型性。 通過一題多變、 一題多改、 一題多解、 一法多用， 消除定勢思維， 加強比較意識， 培養(yǎng)運算的熟練性、 準確性、 靈活性、 組織性。以題組訓練形式培養(yǎng)學生運算過程中思維的深刻性，提高運算能力。7. 養(yǎng)成驗算的習慣， 掌握驗算方法 .在進行題目求解的運算的過程中或結束時還須對運算的過 程和結果進行檢驗，以便及時糾正運算過程或結果中出現(xiàn)的錯誤，并掌握驗算方法。例如， 解方程，可以把解代入

15、原方程檢驗，對于解分式方程、無理方程、對數(shù)方程、指數(shù)方程還可 以從未知數(shù)的取值范圍來檢驗。檢驗的方法通常有：還原法、代值法、估值法、逆運算等養(yǎng) 成檢驗、 檢查的習慣， 提高運算過程的思維監(jiān)控能力， 這是形成和發(fā)展運算能力的具體要求 之一，在學習中不容忽視。8. 面對復雜運算的時候，常常要注意以下兩點：1情緒穩(wěn)定，算理明確，過程合理，速度均勻，結果準確；2要自信，爭取一次做對；慢一點，想清楚再寫；少心算，少跳步，草稿紙上也要寫清楚。(二)教師積極引導數(shù)學運算貫穿于數(shù)學學習的全過程，其重要性眾所周知。有的學生不會根據(jù)題意適當?shù)霓k法 ,只會硬套現(xiàn)成的模式 ,把與題目無關的問題生搬到一起 ,將簡單問題

16、復雜化 ,導致 運算過程繁瑣，影響了正常的解答運算能力是運算技能和邏輯思維能力的結合,要求學生不僅會根據(jù)法則、公式等正確地進行運算，而且要理解算理， 能根據(jù)條件尋求合理、簡捷的 計算途徑，達到迅速準確的目的 因此，教師在教學中， 可從以下幾方面加強對學生的引導。1、夯實三基，確保運算的準確性.,靈活選擇數(shù)學的基本概念， 基本性質和基本方法是一切數(shù)學運算的基礎 學生的運算能力不高， 往往 與三基掌握不好有直接關系 經(jīng)?？吹?，學生只是在整個運算的過程中的某一環(huán)節(jié)出現(xiàn)失誤， (往往是概念不清、公式記錯、性質忘記、基本方法沒掌握)就導致了整個運算的錯誤許多學生常把這些運算的失誤， 簡單地歸結為粗心、

17、馬虎， 甚至有的學生誤以為隨著計算機 和計算器技術的發(fā)展普及， 運算能力用不著提高， 其實不然， 運算的準確性不單只是純粹的 計算， 它涉及面廣， 是需要多方面因素的相互作用的它需要對概念的準確理解，對公式的準確記憶， 對性質的準確掌握， 還要有一定的思維能力的配合， 才能保證運算結果的準確無 誤因此，教學時，應該重視基礎知識，必須使學生理解與掌握各種與運算有關的概念、性 質、公式、 法則、算律等， 弄清它們的來龍去脈及各種應用， 常出些與它們有關的正誤辨析， 正用、逆用的系列練習，使學生有著扎實的基礎，保證運算的準確性2、優(yōu)化算理算法，保證運算的合理性運算的合理性是運算能力的核心 它是指運算

18、過程要符合算理， 每一步都應有所依據(jù) 它主 要的表現(xiàn)在于如何確定運算的目標，合理地尋找最佳的運算途徑運算的過程包含著思維過程 ,運算離不開思維 .運算的目標 ,變形的方向 ,運算的路徑 ,它們之間 是密切相關的 .從運算的目標出發(fā) ,研究變形的方向 ,最終產(chǎn)生判斷 ,確定合理的運算途徑 .這一 系列的活動都是運算過程中的思維活動 ,是運算合理性的表現(xiàn) .有時還會出現(xiàn)一題有多種不同 的運算途徑 ,繁簡不同 ,則應加以比較 ,合理選擇最佳方案 ,最優(yōu)化的算法 .因此 ,教學中應注意在 培養(yǎng)學生思維能力上下功夫 ,注重一題多解 ,比較解答的優(yōu)劣 .平時應多鼓勵學生對一道題的 多角度 ,多方位的探索

19、,對提出不同見解的學生應給予肯定,積極發(fā)展學生的思維品質 ,促使運算能力的提高 .3、深入觀察、思考 ,培養(yǎng)運算的靈活性 .在對常規(guī)算法研究的基礎上，針對具體問題，深入研究其非常規(guī)算法，提高運算的靈活性。如解方程 (x-1)(x+2)=70 。該題的一般解法是把方程化成標準的一元二次方程求解。但若把 x-1,x+2 分別視為一整體 ,由于 x+2 與 x-1 的差為 3,故可把 70 分解成差為 3 的兩數(shù)之積 ,從而 求其解即原方程為(x-1)(x+2)=7X10=(-10)X(-7),且 x-1x+2,所以 x-1=7 或 x-1=-10,所以 x=8 或 x=-9.可以看出 ,題目的非常

20、規(guī)解法往往來源于對原題結構形式的觀察思考,具有較強的靈活性 教學中應經(jīng)常和學生一起探索問題的非常規(guī)解法對運算對象進行深入觀察分析 ,培養(yǎng)學生運算的靈活性。4. 追求簡便快捷 ,培養(yǎng)運算的簡捷性。運算的簡捷性即是表現(xiàn)運算過程簡捷迅速.在運算過程中 ,概念、性質、公式等掌握的熟練程度、靈活程度以及數(shù)學思想方法和基本方法的合理使用,在運算的簡捷性中都有著重要的作用。如等差數(shù)列 an 的前 m 項和為 30,前 2m 項和為 100,則它的前 3m 項和為 。本填空題是以等差數(shù)列為素材的計算題，若按一般的解法由已知先求出a1,d,再應用前 n 項和公式求 S3m,則計算量較大如果從等差數(shù)列定義出發(fā)，對

21、等差數(shù)列產(chǎn)生深層次的認識，挖掘出Sm,S2m-Sm ,S3m-S2m 也成等差數(shù)列的這一性質 ,則計算量就變得很小。可見 ,一些對簡化運 算起著重要作用的常見結論、性質等,教學時可以加以補充或引導學生加以挖掘,歸納總結 ,對運算的簡捷性將有所幫助。因此， 教師在教學中要善于引導學生積極思考,所用解法是否最優(yōu) ?并總是以懷疑和挑剔的眼光去審視已有的解法 ,使學生養(yǎng)成追求簡便快捷的意識,培養(yǎng)學生的運算能力。5.讓學生養(yǎng)成良好的運算習慣。運算是一項很嚴謹、 細致有要求準確無誤的工作。 一定要有良好的習慣才能很好的完成， 具 體要求如下：（1 ）認真審題的習慣。審題是解題的基礎。只有認真審題、看清楚要求、看清楚數(shù)據(jù)和符號，分清運算順序，才能 正確地進行計算。只有長期堅持有目的的審題訓練，使學生認識到審題的重要性，從而養(yǎng)成認真審題的習慣。（2）書寫工整，格式規(guī)范的習慣。書寫是否認真，格式是否規(guī)范， 直接反映學生的學習態(tài)度是否端正， 也直接影響到運算的正 確性。如把數(shù)寫的不規(guī)范，字寫的看不清，諸如此類的錯誤， 都是因為書寫不認真或格式不 規(guī)范造成的。所以一定要培養(yǎng)學生書寫工整，格式規(guī)范的習