1、導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算【考綱要求】1 .掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。2 .掌握常函數(shù)y=C,募函數(shù)y=xn ( n為有理數(shù))，三角函數(shù)y=sinx , y=cosx ,指數(shù)函數(shù)y=ex, y=ax,對(duì) 數(shù)函數(shù)y=lnx , y=log ax的導(dǎo)數(shù)公式；3 .掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；并能解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題。4 .掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！局R(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念：1 .導(dǎo)數(shù)的定義：即:f (x°x) - f(%)Lx對(duì)函數(shù)y = f (x),在點(diǎn)x = %處給自變量x以增量Ax ,函數(shù)y相應(yīng)有增量Ay = f

2、(x0 +Ax) - f (x0)。 若極限 螞 普=雞f(x0+R - f(x。)存在，則此極限稱為 f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)，記作 f '(xo)或 y'|x子,此時(shí)也稱f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。(或 f,(x0) = lim f(x)-f(x0)x %x-x0要點(diǎn)詮釋：增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。2 .導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)xw (a,b),都對(duì)應(yīng)著一個(gè)f/(x)為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的確定的導(dǎo)數(shù)f /(x),從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù) f

3、 / (x),稱這個(gè)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念,f '(x0)是常數(shù),是函數(shù)f'(x)在x=x0處的函數(shù)值，反映函數(shù)f(x)在x= %附近的變化情況。要點(diǎn)詮釋:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念,f '(x0)是常數(shù),是函數(shù)f'(x)在x=x0處的函數(shù)值，反映函數(shù)f(x)在x=x0附近的變化情況。3 .導(dǎo)數(shù)幾何意義:(1)曲線的切線曲線上一點(diǎn) P(X0, y0)及其附近一點(diǎn) Q(X0+4x,y 0+4y),經(jīng)過點(diǎn)P、Q作曲線的割線 PQP,則有kPQ = tan P=".當(dāng)點(diǎn)Q(x0+4x,y 0+y)沿曲

4、線無限接近于點(diǎn)P(x0, y0),即 x-0:x的極限位置直線 PT叫做曲線在點(diǎn) P處的切線。其傾斜角為時(shí)，割線PQ(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：若切線的傾斜角為 口 ,則當(dāng) x-0時(shí)，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)f '(選)是曲線y = f (x)上點(diǎn)(x°, f(x°)處的切線的斜率 要點(diǎn)詮釋：若曲線y = f (x)在點(diǎn)P(x0, f (凡)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直。f'(%) = 0,f'(x。)>0,切線與x軸正向夾角為銳角；f '(%)<0,切線與x軸正向夾角為鈍角；

5、 切線與x軸平行。(3)曲線的切線方程如果y = f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則曲線y = f (x)在點(diǎn)(x0, f(%)處的切線方程為： y-“)= f/(%)(乂-%)?？键c(diǎn)二：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1) f(x) =C (C為常數(shù))，f'(x)=0(2) f(x)=xn (n 為有理數(shù))，f'(x)=n-xn'(3) f(x)=sinx, f'(x)=cosx(4) f(x)=cosx, f'(x) =-sin x(5) f (x) =e, f '(x) = ex(6) f (x) =ax, f '(x) =ax In a1(7) f

6、(x)=lnx, f'(x) = 一1(8) f(x)=logaX, f'(x)= logae x考點(diǎn)三：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)f(x), g(x)均可導(dǎo)(1)和差的導(dǎo)數(shù)：f(x) 士g(x)' = f'(x)±g'(x)(2)積的導(dǎo)數(shù)：f (x) g (x)' = f '(x)g(x) + f (x)g '(x)(3)商的導(dǎo)數(shù)： B1M皿f3)g(x)g(x)2考點(diǎn)四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則y'x =y'u y'x 或 f'x (x) =f'(u)'(x)即復(fù)合函數(shù)y = f

7、N(x)對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)y'x,等于已知函數(shù)y對(duì)中間變量u=5(x)的導(dǎo)數(shù)y'u,乘以中間變量u對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)u'x。要點(diǎn)詮釋：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏。求導(dǎo)后，要把 中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)?！镜湫屠}】類型一：導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用例1、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)1 f(x)x在x=1處的導(dǎo)數(shù)。1【解析】一.,y = f(1 x)-f(1)= -1.1 . x1 - . 1 x 1 二1 - x、1 x(1 ,1 x) 1 -x-x(1 )1：x) 1 x7 :1x (1,1： =x” 1 ：=xf'(1) =則,y【

8、變式】已知函數(shù) y = 1 -x x(1)求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).17(2)求曲線y= JX上一點(diǎn)P(4,)處的切線方程。x4【答案】(i)(4)=f(4 . ：x) - f (4)xx1 1-4 . x - ( -2)4 x4-(. 4 x -2)4 .：x4xx-xlx-14(4 . x)1J4十4x+2 ,516(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn)P(4, -7)處的切線斜率為f'(4),4 5，所求切線的斜率為 -？。1675，所求切線萬程為 y+= (x -4),整理得5x+16y+8=0。416例2、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.【解析】設(shè)f (x) = x3 2

9、x .f(1：x) - f (1)Lx(1 . ：x)32(1 . ：x) -(13 2 1)=lim x 0x2. x(x) 3 x 5二義2=則.0(x)3 x 5 =5由f(1)=3 ,故切點(diǎn)為(1, 3),切線方程為 y-3=5(x -1),即y=5x2.舉一反三：【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算394565典型例題五】【變式】過(1,0)點(diǎn)，曲線y=x3的切線方程為 ?！敬鸢浮吭O(shè)所求切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為P (xo, yo),則切線斜率為k=3x02則所求切線方程為y = 3x02(xx0)+%3,又因?yàn)榍芯€過(1,0)點(diǎn)，代入,3x = 0 或 x0 = 一2所以切線方程為 y =0或27x

10、4y 27 =0類型三：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)例3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(2)2.，.、(3) y =log2 x log2 x ；(4)【解析】144 1(1) y = (-4) = (x ) = -4 xy=2x33x2+5x + 45-4x3(2) y' = (潺)'=(x5)'=入一5一535x2(3) y = log2 x2log2x =log2 x , y' = (log2 x)'1x ln 2(4) y' = 2(x3)'-3(x2)'+5(x)'+(4)' =6x2-6x+5舉一反三：【變式】求下列

11、函數(shù)的導(dǎo)數(shù):y =xVx ；(3)一.x , . 一 2 x、y - -2sin (1 -2cos -)24y=6x3 4x2+9x 63y' =(x、x)' =(x2)'2 x、 c . -c u ,、 c .y = -2sin -(1-2cos -)= 2sin (2cos一- 1) = 2sin cos= sin x242422 y' = cosx.(3 )y' =6(x3)' -4(x2)' 9(x)' -(6)' =18x2 -8x 9例4.求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)x(3 )-1【解析】(1)法一:去掉括號(hào)后求導(dǎo).f

12、(x)= 2x3 -3x2 2x-322f(x)=(x +1)(2x-3); (2) y=x sinx;/ /、 x cosx(4) y=x sin x一一 2 一 一f'(x) =6x -6x 2法二：利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則f '(x) = (x2 1)'(2x -3) (x2 1) (2x -3)'=2x(2x- 3)+(x (x sin x)-xcosx - xsin x sin x - cosx -12(x sin x)舉一反三：【變式1】下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2(1) y = (x+1)(2x +3x-1)；(2) y【答案】(1)法一：y =2x3 +3

13、x2 - x +2x2 +3x -1 =2x3 + 5x2 + 2x -1. 一 2 一 一y = 6x 10x 2法二：y ; (x 1)(2x2 3x-1) (x 1)(2x2 3x-1)= 2x2 3x -1 + (x 1) (4x 3)=6x2 10x 2+1) X 2=6x2 6x+2(2) y' = (x2) ' sinx +x2 (sinx ) ' =2xsinx + x2cosx.一、,(ex 1)(ex -1)-(ex 1)(ex-1) _ -2ex(3) =L 2 -/ x 八 2(e -1)(e -1)(4) y'=(x cosx) (x

14、sin x) -(x cosx)(x sin x)2(x sin x)2x3 * -3x . x-1_ (1 一sin x)(x sin x) 一(x cosx)(1 cosx)1二 3y = 3x2 -x25i 3冗-x x 22【變式2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2) y = (、，x 11); (3) y =x5x sin x2x(1) y23y'=3x -2x .(2) y二（、工1廣心 "x1 -x二 xx423(3)- y =x3+x"2+xsinx ,3 -l y' =3x -x (x )'sin x x (sin x)' 2。23 二

15、4 c=3x - - x -2x sin x x cosx.2類型四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題例5.求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù).1(1) y=4;(2) y=ln(x+2)；(1-3x) 2x 1一 一(3) y =e ；(4) y=cos(2x + 1).【解析】(1) y =u4，u =1 -3x .y'x =y'u u'x =()' (1-3x) 5_54 -4u(-3)=12u_12.一 _5(1 -3x)(2) y =ln u , u = x +2 y'x =y1 u'x =(lnu)'(x 2)'1 .1=- 1 =u x 2(3) y

16、 =eu, u =2x +1 . y'x =y'u u'x=(eu)' (2x 1)'u 2x1=2e = 2e(4) y =cosu , u =2x +1,y'x = y'u u'x =(cosu)' (2x 1)-2sin u - -2sin(2 x - 1).舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) y = (1+2x2)8； y=%'x+3G(3) y=ln (x+ Ji +x2 )；(4) f (x) =e"(cosx + sinx)(1)令 u =1 +2x2, y = u8,.yx;yu

17、ux =(u8) (1 2x2)=8u7 4x -32x(1 2x2)7.11令 u tx x3,y = u3,11/2/2二r 1 1 .yx = (u 3) (x x3) u 3 (1 x 3) 331 x +x3)2 )-3(3)1:21y =x二 1一x2(x 1 x)=x=Tx211 x2(4 )f '(x)=e，(-x)'(cosx sinx) e (cosx sinx)'二-e*cosx sinx) e"(-sinx cosx)二e'(sinx cosx - cosx-sinx)二e"(-2sinx)-2e" sin

18、x類型五：曲線的切線方程求解問題例6. (2016年新課標(biāo)出卷理)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，f(x) =ln( -x) 3x錯(cuò)誤！未找到引用源。，則曲線y = f (x )在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是【解析】當(dāng)x>0時(shí)，x<0,則f(-x) = lnx-3x.又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以 一.一 一一一1 -. . ._f (x) = f(x)=ln x 3x,所以f (x) = 3,則切線斜率為f (1)=2,所以切線方程為xy +3 = -2(x-1),即 y = 2x1 .【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算394565典型例題三例7 .如圖，函數(shù)

19、y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是 y=-x+5,則f (3) + f' (3)=【解析】"3)=2,f '(3)=-1f'(3) f(3) =1【答案】1舉一反三：【變式】(2014碑林區(qū)校級(jí)一模)若存在過點(diǎn) 實(shí)數(shù)a的值.【解析】設(shè)直線與曲線 y = x3的切點(diǎn)坐標(biāo)為227的斜率k=3x01 2 3 =0或卜=，4若k = 0 ,此時(shí)切線的方程為 y = 0y =0由2 15，消去y，可得ax2y = ax x -9425斛得：a = -642727右女=，且切線萬程為 y=(x1),4427y=- x -1由4，消去y可得ax2 215 八y = ax -x -9432 15(1,0)的直線與曲線 y = x y = ax + *一9者防目切，求31y0 = x03為心3則4 y02解得：M =0或x0 =一，則切線=3x02J x01+ x9=0,其中 A=0,即 一+36a = 0449一一=0又由 & =0可得 9 + 9a=04解得：a = -1w 25 .故a = 或-1C.64解得一1wkv0或 k&g